BRITO, F. C. A. Resolução de problema via inteiros algébricos. 48 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-19T19:52:07Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411778 bytes, checksum: 245d4362c4e5b55412ceece791de8db2 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia Favor informar ao aluno que o trabalho necessita das seguintes correções: Na parte inferior da capa e folha de rosto deve constar somente a cidade e o ano. Os itens Palavras-Chave e Abstract são separadas após o Resumo e Abstract por um espaço. E os termos dos mesmos são separados e finalizados por ponto. No Sumário e no texto as seções secundárias não são em caixa alta. Ex: Definições preliminares on 2017-07-20T11:46:28Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-26T18:59:32Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411116 bytes, checksum: bc403e168ae0eaacd43db637cf408e48 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-27T11:14:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411116 bytes, checksum: bc403e168ae0eaacd43db637cf408e48 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-27T11:14:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_fcabrito.pdf: 411116 bytes, checksum: bc403e168ae0eaacd43db637cf408e48 (MD5) Previous issue date: 2017-07 / In this paper, we present the definitions of integral domain, euclidean domain, principal ideal domain and unique factorization domain and we prove the implications Euclidean Domain ⇒ Principal Ideal Domain ⇒ Unique Factorization Domain. We check that the set of Gaussian integers is a unique factorization domain, we find its prime elements and we describe several properties of this set, applying them especially to describe, completely, the Pythagorean triples and to calculate the number of ways one can write an integer as a sum of two squares. We also check that the set of Eisenstein integers is a unique factorization domain, we also find its prime elements and we apply the properties of this set to describe the general form of a triple of integers that are sides of a triangle with an angle of 60 o . We present the general form of the integers of Q [√d] and, for d < 0, we exhibit all values of d for which this ring a unique factorization domain. Lastly, we apply the developed theory to solve several problems of mathematical olympiads. / Neste trabalho, apresentamos as definições de domínio de integridade, domínio euclidiano, domínio de ideais principais e domínio de fatoração única e provamos as implicaçõoes Domínio Euclidiano ⇒ Domínio de Ideais Principais ⇒ Domínio de Fatoração Única.Verificamos que o conjunto dos inteiros de Gauss é um domínio de fatoração única, encontramos seus elementos primos e descrevemos diversas propriedades desse conjunto, aplicando-as especialmente para descrever, de maneira completa, as ternas pitagóricas e para calcular o número de maneiras de representar um inteiro como soma de dois quadrados. Verificamos também que o conjunto dos inteiros de Eisenstein é um domínio de fatoração única, também encontramos seus elementos primos e aplicamos as propriedades desse conjunto para descrever a forma geral de uma terna de inteiros que são lados de um triângulo com um ângulo de 60º. Apresentamos a forma geral dos anéis de inteiros de Q [√d] e, para o caso d < 0, exibimos todos os valores de d que tornam esse anel um domínio de fatoração única. Por fim, aplicamos a teoria desenvolvida para resolver diversos problemas de olimpíadas de matemática.

Apresentamos duas construções para unidades de uma ordem em uma classe de álgebras de quatérnios que é anel de divisão: as unidades de Pell e as unidades de Gauss. Classificamos os anéis de inteiros de extensões quadráticas racionais, $R$, cujo grupo de unidades $\\U (R G)$ é hiperbólico para um certo grupo $G$ fixado. Também classificamos os semigrupos finitos $S$, tal que, para a álgebra unitária $\\Q S$ e para toda $\\Z$-ordem $\\Gamma$ de $\\Q S$, o grupo de unidades $\\U (\\Gamma)$ é hiperbólico. Nesse mesmo contexto, classificamos os {\\it RA}-loops $L$ cujo loop de unidades $\\U (\\Z L)$ não contém um subgrupo abeliano livre de posto dois. / For a given division algebra of a quaternion algebra, we construct and define two types of units of its $\\Z$-orders: Pell units and Gauss units. Also, for the quadratic imaginary extensions over the racionals and some fixed group $G$, we classify the algebraic integral rings for which the unit group ring is a hyperbolic group. We also classify the finite semigroups $S$, for which all integral orders $\\Gamma$ of $\\Q S$ have hyperbolic unit group $\\U(\\Gamma)$. We conclude with the classification of the $RA$-loops $L$ for which the unit loop of its integral loop ring does not contain a free abelian subgroup of rank two.

Apresentamos duas construções para unidades de uma ordem em uma classe de álgebras de quatérnios que é anel de divisão: as unidades de Pell e as unidades de Gauss. Classificamos os anéis de inteiros de extensões quadráticas racionais, $R$, cujo grupo de unidades $\\U (R G)$ é hiperbólico para um certo grupo $G$ fixado. Também classificamos os semigrupos finitos $S$, tal que, para a álgebra unitária $\\Q S$ e para toda $\\Z$-ordem $\\Gamma$ de $\\Q S$, o grupo de unidades $\\U (\\Gamma)$ é hiperbólico. Nesse mesmo contexto, classificamos os {\\it RA}-loops $L$ cujo loop de unidades $\\U (\\Z L)$ não contém um subgrupo abeliano livre de posto dois. / For a given division algebra of a quaternion algebra, we construct and define two types of units of its $\\Z$-orders: Pell units and Gauss units. Also, for the quadratic imaginary extensions over the racionals and some fixed group $G$, we classify the algebraic integral rings for which the unit group ring is a hyperbolic group. We also classify the finite semigroups $S$, for which all integral orders $\\Gamma$ of $\\Q S$ have hyperbolic unit group $\\U(\\Gamma)$. We conclude with the classification of the $RA$-loops $L$ for which the unit loop of its integral loop ring does not contain a free abelian subgroup of rank two.