Le but dans cette thèse est d'expliciter les liens entre les propriétés analytiques, géométriques et topologiques des variétés compactes de dimension n supérieure ou égale à 3 et le comportement des valeurs propres de l'opérateur de Yamabe. On commence par étudier les propriétés de ces valeurs propres : l'un des remarques principales est que leur signe est invariant par un changement conforme de métriques. On s'intéresse plus particulièrement à la deuxième valeur propre de l'opérateur de Yamabe et on fait le lien entre son signe et l'existence des solutions nodales de l'équation de Yamabe. Pour finir, nous donnons une formule de chirurgie pour le second invariant de Yamabe, qui nous permet d'en obtenir une borne inférieure sous certaines hypothèses topologiques / The goal of this thesis is to study the relationships between the analytical, geometrical and topological properties of compact manifolds of dimension n greater or equal to 3 and the behavior of the eigenvalues of the Yamabe operator. We start by studying the properties of these eigenvalues : One of the most important observation is that their sign is a conformal invariant. We are interested particulary by the study of the seconf eigenvalue of the Yamabe operator and we enlight the relations between its sign and the existence of nodal solutions of the Yamabe equation. At last, we etablish a surgery formula for the second Yamabe invariant which allows to obtain a lower bond for the second Yamabe invariant under some topological hypothesis

La géométrie de Cauchy-Riemann, CR en abrégé, est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles pseudoconvexes de $C^{n+1}$, lorsque $ngeq 1$. Nous considérons le cas générique où les variétés CR considérées sont de contact. La géométrie CR présente de nombreuses similarités avec la géométrie conforme ; les invariants mis au jour et les techniques éprouvées en géométrie conforme peuvent donc être adaptées dans ce contexte. Nous nous intéressons dans cette thèse à deux invariants de ce type. Dans une première partie, en utilisant la géométrie asymptotiquement hyperbolique complexe, nous introduisons un opérateur différentiel CR covariant agissant sur les applications allant d'une variété CR vers une variété riemannienne, égal pour les fonctions à l'opérateur de Paneitz CR. Dans une seconde partie, nous proposons un invariant de Yamabe pour les variétés de contact admettant une structure CR, et nous étudions son comportement sous somme connexe. / Cauchy-Riemann geometry, CR for short, is the natural geometry of real pseudoconvex hypersurfaces of $C^{n+1}$ for $ngeq 1$. We consider the generic case when CR manifolds are contact manifolds. CR geometry presents strong analogies with conformal geometry; hence, known invariants and techniques of conformal geometry can be transported to that context. We focus in this thesis on two such invariants. In a first part, using asymptotically complex hyperbolic geometry, we introduce a CR covariant differential operator on maps from a CR manifold to a Riemannian manifold, which coincides on functions with the CR Paneitz operator. In a second part, we propose a Yamabe invariant for contact manifolds which admit a CR structure, and we study its behaviour under connected sum.

La principale motivation des travaux de cette thèse est d'étudier l'aspect conforme du spectre de l'opérateur de Dirac sur une variété à bord. Dans un premier temps, on donnera des estimations de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac fondamental de la variété M sous deux conditions à bord locales prenant en compte leurs propriétés conformes. Une étude détaillée de ces conditions à bord permet alors de clore cette première partie par une estimation classique du spectre de l'opérateur de Dirac, raffinant un résultat antèrieur de O. Hijazi, S. Montiel et A. Roldan. Dans un second temps, on construit un invariant spinoriel conforme à partir de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac sous une des conditions à bord étudiée dans le premier chapitre. Cet invariant peut être vu comme l'analogue de l'invariant de Yamabe dans le cadre spinoriel. Une étude approfondie de cet invariant conduit de manière naturelle à la construction de la fonction de Green de l'opérateur de Dirac.