La principale motivation des travaux de cette thèse est d'étudier l'aspect conforme du spectre de l'opérateur de Dirac sur une variété à bord. Dans un premier temps, on donnera des estimations de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac fondamental de la variété M sous deux conditions à bord locales prenant en compte leurs propriétés conformes. Une étude détaillée de ces conditions à bord permet alors de clore cette première partie par une estimation classique du spectre de l'opérateur de Dirac, raffinant un résultat antèrieur de O. Hijazi, S. Montiel et A. Roldan. Dans un second temps, on construit un invariant spinoriel conforme à partir de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac sous une des conditions à bord étudiée dans le premier chapitre. Cet invariant peut être vu comme l'analogue de l'invariant de Yamabe dans le cadre spinoriel. Une étude approfondie de cet invariant conduit de manière naturelle à la construction de la fonction de Green de l'opérateur de Dirac.

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes issus de la relativité générale : la construction de données initiales pour le problème de Cauchy des équations d’Einstein et le théorème de la masse positive. Nous construisons tout d’abord des données initiales en utilisant la méthode dite conforme introduite par Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] et Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg– D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a]. Plus particulièrement, nous étudions les équations –de contrainte conforme– qui apparaissent dans cette méthode sur des variétés riemanniennes compactes de dimension n > 3. Dans cette thèse, nous donnons une preuve simplifiée du résultat de [Dahl et al., 2012], puis nous étendons et nous généralisons les théorèmes de M. Holst–G. Nagy–G. Tsogtgerel [Holst et al., 2009] et de D. Maxwell [Maxwell, 2009] dans le cas de données initiales à courbure moyenne fortement nonconstante. Nous donnons au passage un point de vue unifié sur ces résultats. En parallèle, nous donnons des résultats de non-existence et de non-unicité pour les équations de la méthode conforme sous certaines hypothèses. / The aim of this thesis is the study of two topical issues arising from general relativity: finding initial data for the Cauchy problem with respect to the Einstein equations and the positive mass theorem. For the first issue, in the context of the conformal method introduced by Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] and Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg–D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a], we consider the conformal constraint equations on compact Riemannian manifolds of dimension n > 3. In this thesis, we simplify the proof of [Dahl et al., 2012, Theorem 1.1], extend and sharpen the far-from CMC result proven by Holst– Nagy–Tsogtgerel [Holst et al., 2009], Maxwell [Maxwell, 2009] and give an unifying viewpoint of these results. Besides discussing the solvability of the conformal constraint equations, we will also show nonexistence and nonuniqueness results for solutions to the conformal constraint equations under certain assumptions.