En 1984 Jones découvrit son invariant polynomial, qui ne ressemblait à aucun concept connu auparavant. En quelques années cette découverte a provoqué l'invention de nombreux autres invariants polynomiaux et des invariants dits quantiques ou de type fini, issus des représentations du groupe des tresses et souvent inspirés par des analogies avec la physique théorique. Malgré leurs mérites pour la théorie des nœuds et des 3-variétés, ces invariants restent peu compris du coté de la topologie algébrique, et parfois de la topologie tout court. Ce mémoire présente et discute quelques éléments de réponse.

Cette thèse porte sur les invariants des sphères d'homologie entière de dimension 3, et en particulier sur les invariants de type fini pour la filtration de Goussarov-Habiro.<br />Dans une première partie, on étudie la variation d'un invariant de degré 2n après chirurgie le long d'une surface par un élément du 2n-ième terme de la série centrale descendante du groupe de Torelli. Dans le cas d'un commutateur de 2n éléments du groupe de Torelli, on exprime cette variation en fonction de l'homomorphisme de Johnson évalué sur ces 2n éléments et du système de poids de l'invariant.<br /><br />Le calcul des claspers de Goussarov-Habiro donne des équivalences topologiques entre des chirurgies sur des corps en anses plongés dans les variétés. Ce calcul a déjà permis de préciser le comportement des invariants de type fini lors de nombreuses modifications topologiques. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à un raffinement de ce calcul. Ce raffinement est ensuite appliqué à l'obtention d'une formule de chirurgie géométrique sur les noeuds pour les invariants de degré 4, c'est-à-dire que l'on exprime la variation d'un tel invariant après chirurgie sur un noeud en fonction d'invariants de courbes tracées au voisinage d'une surface de Seifert de ce noeud.

En 1998, R. Gompf a défini un invariant homotopique des champs de plans orientés des 3-variétés fermées orientées. Cet invariant est défini pour les champs de plans orientés xi; de toute 3-variété fermée orientée M dont la première classe de Chern c_1(xi) est un élément de torsion de H_2(M;Z). Dans le premier chapitre de la thèse, nous définissons une extension de l’invariant de Gompf pour toutes les 3-variétés compactes orientées à bord et nous étudions ses variations lors de chirurgies lagrangiennes. Il en résulte que l’invariant de Gompf étendu peut être vu comme un invariant de type fini de degré 2.L’invariant Théta est un invariant de variétés de dimension 3 parallélisées qui provient de la partie de degré 1 du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons. G. Kuperberg et D. Thurston ont identifié l’invariant Théta(M,tau) d’une sphère d’homologie entière M munie d’une parallélisation tau; à lambda_cw(M) + 1/4·p_1(tau) où lambda_cw désigne la généralisation de Walker de l’invariant de Casson et p_1 est un invariant de la parallélisation définie à partir d’une première classe de Pontrjagin. C. Lescop a étendu l’invariant Théta aux sphères d’homologie rationnelle munies d’une classe d’homotopie de combings et elle a montré que pour toute sphère d’homologie rationnelle M munie d’un combing X, la formule Théta(M,[X]) = 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]) était encore valable pour une extension ad hoc des nombres de Pontrjagin aux combings. Elle a aussi donné une formule combinatoire pour l’invariant Théta d’une sphère d’homologie rationnelle présentée par un diagramme de Heegaard et munie d’un combing associé au diagramme, et elle a démontré combinatoirement que cette formule définit un invariant homotopique des couples (M,[X]). Dans le prolongement de ce travail, le deuxième chapitre de la thèse présente une preuve combinatoire de la décomposition de cet invariant combinatoire comme 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]). Cette preuve repose sur la théorie des invariants de type fini des sphères d’homologie rationnelle relativement aux chirurgies lagrangiennes établie par D. Moussard en 2012 / In 1998, R. Gompf defined a homotopy invariant of oriented 2-plane fields in 3-manifolds. This invariant is defined for oriented 2-plane fields xi in a closed oriented 3-manifold M when the first Chern class c_1(xi) is a torsion element of H_2(M;Z). In Chapter I, we define an extension of the Gompf invariant for all compact oriented 3-manifolds with boundary and we study its iterated variations under Lagrangian-preserving surgeries. It follows that the extended Gompf invariant has degree two for a suitable finite type invariant theory.The Theta-invariant is an invariant of parallelized 3-manifolds constructed from the degree one part of the perturbative expansion of Chern–Simons theory. G. Kuperberg and D. Thurston identified the invariant Theta(M,tau) of a rational homology 3-sphere M equipped with a parallelization tau with 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1(tau) where lambda_cw denotes Walker’s generalization of the Casson invariant and where p_1 is an invariant of parallelizations defined using a first Pontrjagin class. C. Lescop extended the Theta-invariant to rational homology 3-spheres equipped with a homotopy class of combings and she showed that for all rational homology 3-sphere M equipped with a combing X, the relation Theta(M,[X]) = 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]) still holds using an ad hoc extension of the Pontrjagin numbers for combings. She also gave a combinatorial formula for the Theta-invariant of a rational homology 3-sphere represented by a Heeagaard diagram and equipped with a combing associated to the diagram, and she proved that this formula defines a homotopy invariant of the pair (M,[X]), in a combinatorial way. Following this work, Chapter II presents a combinatorial proof of the decomposition of this combinatorial invariant as 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]). This proof relies on the finite type invariant theory for rational homology 3-spheres with respect to Lagrangian-preserving surgeries established by D. Moussard in 2012

Cette thèse a pour objet l'étude des invariants de type fini des sphères d'homologie rationnelle de dimension 3, et des nœuds homologiquement triviaux dans ces sphères. Les principaux résultats sont présentés dans le chapitre 2. Ils sont démontrés dans les chapitres 3 à 6. Le chapitre 3 est un article intitulé ''Finite type invariants of rational homology 3-spheres'', à paraître dans Algebraic & Geometric Topology. Il décrit le gradué associé à la filtration de l'espace vectoriel rationnel engendré par les sphères d'homologie rationnelle, définie par les chirurgies rationnelles préservant le lagrangien. Le chapitre 4 est un article intitulé ''On Alexander modules and Blanchfield forms of null-homologous knots in rational homology spheres'', publié dans Journal of Knot Theory and its Ramifications. Il contient la classification des modules d'Alexander des nœuds homologiquement triviaux dans les sphères d'homologie rationnelle, et une étude des formes de Blanchfield définies sur ces modules. Dans la suite, on considère les paires (M,K) formées d'une sphère d'homologie rationnelle M et d'un nœud K homologiquement trivial dans M. Dans le chapitre 5, on montre que deux telles paires ont des modules d'Alexander rationnels munis de leurs formes de Blanchfield isomorphes si et seulement si elles s'obtiennent l'une de l'autre par une suite finie de chirurgies rationnelles nulles préservant le lagrangien, c'est-à-dire effectuées sur des corps en anses d'homologie rationnelle homologiquement triviaux dans le complémentaire du nœud. Dans le chapitre 6, on étudie le gradué associé à la filtration de l'espace vectoriel rationnel engendré par les paires (M,K) définie par les chirurgies rationnelles nulles préservant le lagrangien. Ces deux derniers chapitres comportent des travaux en progrès.

Cette thèse a pour objet l'étude des invariants de type fini des sphères d'homologie rationnelle de dimension 3, et des nœuds homologiquement triviaux dans ces sphères. Les principaux résultats sont présentés dans le chapitre 2. Ils sont démontrés dans les chapitres 3 à 6. Le chapitre 3 est un article intitulé ``Finite type invariants of rational homology 3-spheres'', à paraître dans Algebraic & Geometric Topology. Il décrit le gradué associé à la filtration de l'espace vectoriel rationnel engendré par les sphères d'homologie rationnelle, définie par les chirurgies rationnelles préservant le lagrangien. Le chapitre 4 est un article intitulé ``On Alexander modules and Blanchfield forms of null-homologous knots in rational homology spheres'', publié dans Journal of Knot Theory and its Ramifications. Il contient la classification des modules d'Alexander des nœuds homologiquement triviaux dans les sphères d'homologie rationnelle, et une étude des formes de Blanchfield définies sur ces modules. Dans la suite, on considère les paires (M,K) formées d'une sphère d'homologie rationnelle M et d'un nœud K homologiquement trivial dans M. Dans le chapitre 5, on montre que deux telles paires ont des modules d'Alexander rationnels munis de leurs formes de Blanchfield isomorphes si et seulement si elles s'obtiennent l'une de l'autre par une suite finie de chirurgies rationnelles nulles préservant le lagrangien, c'est-à-dire effectuées sur des corps en anses d'homologie rationnelle homologiquement triviaux dans le complémentaire du nœud. Dans le chapitre 6, on étudie le gradué associé à la filtration de l'espace vectoriel rationnel engendré par les paires (M,K) définie par les chirurgies rationnelles nulles préservant le lagrangien. Ces deux derniers chapitres comportent des travaux en progrès. / This thesis contains a study of finite type invariants of rational homology 3-spheres, and of null-homologous knots in these spheres. The main results are described in Chapter 2, and proved in Chapters 3 to 6. Chapter 3 is an article entitled ``Finite type invariants of rational homology 3-spheres'', to appear in Algebraic & Geometric Topology. In this article, we describe the graded space associated with the filtration of the rational vector space generated by rational homology spheres, defined by rational Lagrangian-preserving surgeries. Chapter 4 is an article entitled ``On Alexander modules and Blanchfield forms of null-homologous knots in rational homology spheres'', published in Journal of Knot Theory and its Ramifications. It contains the classification of the Alexander modules of null-homologous knots in rational homology spheres, and a study of the Blanchfield forms defined on these modules. In the sequel, we consider pairs (M,K) made of a rational homology sphere M and a null-homologous knot K in M. In Chapter 5, we prove that two such pairs have isomorphic rational Alexander modules endowed with their Blanchfield forms if and only if they can be obtained from one another by a finite sequence of null rational Lagrangian-preserving surgeries, i.e. Lagrangian-preserving surgeries performed on rational homology handlebodies homologically trivial in the complement of the knot. In Chapter 6, we study the graded space associated with the filtration of the rational vector space generated by pairs (M,K) defined by null rational Lagrangian-preserving surgeries. These last two chapters contain work in progress.