<p>This thesis concerns the approximation of optimally controlled partial differential equations for applications in optimal design and reconstruction. Such optimal control problems are often ill-posed and need to be regularized to obtain good approximations. We here use the theory of the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equations to construct regularizations and derive error estimates for optimal design problems. The constructed Pontryagin method is a simple and general method where the first, analytical, step is to regularize the Hamiltonian. Next its stationary Hamiltonian system, a nonlinear partial differential equation, is computed efficiently with the Newton method using a sparse Jacobian. An error estimate for the difference between exact and approximate objective functions is derived, depending only on the difference of the Hamiltonian and its finite dimensional regularization along the solution path and its<em> L</em>² projection, i.e. not on the difference of the exact and approximate solutions to the Hamiltonian systems. In the thesis we present solutions to applications such as optimal design and reconstruction of conducting materials and elastic structures.</p>

Thesis (Ph. D.)--University of Missouri-Columbia, 2003. / Typescript. Vita. Includes bibliographical references (leaves 105-112). Also available on the Internet.

Thesis (Ph. D.)--University of Missouri-Columbia, 2003. / Typescript. Vita. Includes bibliographical references (leaves 105-112). Also available on the Internet.

Thesis (Ph. D.)--University of Washington, 2003. / Vita. Includes bibliographical references (p. 134-137).

Thesis (M. Phil.)--University of Hong Kong, 2002. / Includes bibliographical references (leaves.

This work introduces a combination of image processing and analysis methods that perform feature extraction, shape analysis and tomographic reconstruction of Electron Microscopy images. These have been implemented on images of the AIDS virus interacting with neutralizing molecules. The AIDS virus spike is the primary target of drug design as it is directly involved in infecting host cells. First, a fully automated technique is introduced that can extract sub-volumes of the AIDS virus spike and be used to build a statistical model without the need for any user supervision. Such an automatic feature extraction method can significantly enhance the overall process of shape analysis of the AIDS virus spike imaged through the electron microscope. Accurate models of the virus spike will help in the development of better drug design strategies. Secondly, a tomographic reconstruction method implemented using a shape based regularization technique is introduced. Spatial models of known features in the structure being reconstructed are integrated into the reconstruction process as regularizers. This regularization scheme is driven locally through shape information obtained from segmentation and compared with a known spatial model. This method shows reduced blurring, and an improvement in the resolution of the reconstructed volume was also measured. It performs better than popular current techniques and can be extended to other tomographic modalities. Improved Electron Tomography reconstructions will provide better structure elucidation and improved feature visualization, which can aid in solving key biological issues. / text

Not available / text

Not available / text

published_or_final_version / Physics / Master / Master of Philosophy

Η ηλεκτροεγκεφαλογραφία (EEG) και η μαγνητοεγκεφαλογραφία (MEG) είναι ιδιαίτερα χρήσιμες μέθοδοι εγκεφαλικών απεικονίσεων διότι έχουν πολύ καλή χρονική ανάλυση, της τάξεως του sec. Επειδή οι εγκεφαλικές διεργασίες εκτελούνται με μικρότερους ρυθμούς, οι εγκεφαλικές απεικονίσεις μέσω της EEG και MEG δίνουν τη δυνατότητα να παρακολουθούμε το λειτουργικό εγκέφαλο. Στο ευθύ πρόβλημα EEG γνωρίζουμε τη νευρωνική διέγερση που αναπτύσσεται εσωτερικά του εγκεφάλου και υπολογίζουμε το παραγόμενο ηλεκτρικό δυναμικό σε κάθε σημείο στο εξωτερικό ή στο εσωτερικό του εγκεφάλου. Αντίστοιχα στο ευθύ πρόβλημα MEG υπολογίζουμε το μαγνητικό δυναμικό εξωτερικά του εγκεφάλου. Στο αντίστροφο πρόβλημα της EEG γνωρίζουμε το ηλεκτρικό δυναμικό, από μετρήσεις, εξωτερικά του εγκεφάλου, στην επιφάνεια του κρανίου, και ζητάμε να προσδιορίσουμε τη νευρωνική διέγερση που το προκάλεσε. Για τη MEG γνωρίζουμε το μαγνητικό δυναμικό που καταγράφεται εξωτερικά του κρανίου και ζητάμε τη νευρωνική διέγερση που αναπτύχθηκε εσωτερικά του εγκεφάλου. Στην παρούσα εργασία επιλύονται οκτώ προβλήματα. Το ευθύ πρόβλημα και το αντίστροφο πρόβλημα της EEG και της MEG σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση η νευρωνική διέγερση εντοπίζεται σε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή το ρεύμα που δημιουργήθηκε εσωτερικά του εγκεφάλου λόγω μιας εγκεφαλικής διεργασίας αναπαρίσταται με δίπολα που κατανέμονται κατά μήκος ενός μικρού ευθύγραμμου τμήματος. Επιλύουμε αρχικά το ευθύ πρόβλημα της EEG και στη συνέχεια το αντίστροφο πρόβλημα. Καταλήγουμε σε ένα μη γραμμικό σύστημα που, στη γενική περίπτωση, επιλύεται αριθμητικά για να υπολογίσει τη θέση και τη ροπή της διπολικής πηγής, τον προσανατολισμό και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Αναλυτικά επιλύουμε δύο ειδικές περιπτώσεις και βρίσκουμε μοναδική λύση. Στην πρώτη ειδική περίπτωση το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο στον άξονα, ενώ στη δεύτερη στο άξονα και το κέντρο του, και στις δύο περιπτώσεις, είναι πάνω στο άξονα . Το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα το επιλύουμε και για την περίπτωση της MEG δίνοντας αναλυτικά τη λύση στην περίπτωση που το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο στο άξονα και το κέντρο του είναι επάνω στο άξονα. Στη δεύτερη περίπτωση μελετάμε ακριβώς τα ίδια προβλήματα όταν η νευρωνική διέγερση εντοπίζεται σε ένα μικρό κυκλικό δίσκο που το επίπεδό του είναι κάθετο στο διάνυσμα θέσης του κέντρου του δίσκου. Επιλύουμε το πρόβλημα σε συγκριμένη θέση του δίσκου για να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί. Εφαρμόζουμε κατάλληλες στροφές Euler ώστε το επίπεδό του να βρεθεί σε θέση παράλληλη στο επίπεδο και το κέντρο του δίσκου να βρίσκεται πάνω στον άξονα. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε στροφές Euler και το επαναφέρουμε στην αρχική θέση. Αφού επιλύσουμε τα ευθύ προβλήματα της EEG και MEG ξεχωριστά, προσδιορίζουμε, επιλύοντας το αντίστροφο, τη θέση του κυκλικού δίσκου. Καταλήγουμε σε ένα σύστημα μη γραμμικό που απαιτεί αριθμητική επίλυση τόσο για την EEG όσο και για τη MEG Αναλυτικά, επιλύουμε το αντίστροφο για την EEG σε μια ειδική περίπτωση κατά την οποία ο δίσκος είναι παράλληλος στο επίπεδο και το κέντρο του βρίσκεται πάνω στον άξονα και βρίσκουμε τη μοναδική λύση η οποία προσδιορίζει τη θέση του δίσκου, την ακτίνα του και τη ροπή της διπολικής πηγής. Με την επίλυση των προβλημάτων αυτών επιβεβαιώνουμε και τα αποτελέσματα της εργασίας των Albanese και Monk. Συγκεκριμένα, έδειξαν ότι δε μπορεί να προσδιοριστεί ο φορέας του ρεύματος που εντοπίζεται σε χώρο τριών διαστάσεων. Στην παρούσα διατριβή καθορίζουμε την έκτασης της νευρωνικής διέγερσης όταν η διάσταση του φορέα της είναι μικρότερη του τρία. / Electroencephalography (EEG) and Magnetoencephalography (MEG) are the two brain imaging modalities which have the necessary temporal resolution, sec for the study of the functional brain. Albanese and Monk have demonstrated that it is impossible to identify the extent of a localized three-dimensional current distribution lying inside a three-dimensional conductive medium. The purpose of the present work is to show that, as already predicted by Albanese and Monk, this result is not true if the current distribution is restricted on a one or two- dimensional set. The calculation of the values of the electric potential on the surface of the head defines the forward problem of EEG, while the calculation of the magnetic flux density a few centimeters outside the head defines the forward problem of MEG. The inverse EEG problem seeks to identify the neuronal current within the brain from the knowledge of the electric potential on the surface of the head. The corresponding inverse MEG problem seeks this neuronal current from the knowledge of the magnetic flux outside the head. In the present dissertation we study eight particular problems. They concern the forward and the inverse problem of EEG and MEG in two special geometric cases. In one geometrical case the neuronal current is supported on a small line segment and the neuronal current is represented by a dipole distribution along this line segment. First we solve the forward EEG problem and then we solve the inverse problem of identifying the location, the orientation, the size and the average dipolar moment over the line segment. We arrive at a nonlinear algebraic system which we solve analytically in two special cases. Next we solve the corresponding forward and the inverse MEG problems for the same structure. A second case concerns the relative EEG and MEG problems when the current is supported on a small disc normal to a radius of the conducting sphere. As before, we solve the EEG and MEG problems separately and then we solve the inverse EEG and MEG problems which determine the position, the orientation and the size of the disk supporting the primary neuronal current.