Esta dissertação apresenta uma experiência de aplicação de sequência de atividades cujo tema central é números relativos, envolvendo uso de jogos. Tal sequência foi aplicada em uma turma do sétimo ano de uma escola particular da cidade de Porto Alegre. A construção da sequência apoiou-se em literatura que afirma que jogos podem propiciar contextos que façam mais sentido aos alunos do que as situações ditas do cotidiano, comumente retratadas em livros didáticos. Buscou-se, por meio dos jogos, constituir contextos que provocassem a necessidade da representação de números de sentidos opostos e das operações com esses números, incluindo situações complexas como a do efeito resultante da retirada de um número negativo. Foram coletados registros da produção dos alunos e das discussões em sala de aula por meio de gravação em áudio, fotografias de cadernos e do quadro-negro, e questionários preenchidos pelos alunos após cada atividade. A análise desses materiais permitiu concluir que os jogos representaram uma sustentação para o pensamento lógico e operatório dos alunos, na construção dos esquemas mobilizados para somar e subtrair números positivos e negativos. / This work presents an experiment of an activity sequence centered on Relative Numbers and involving the use of games. Such sequence was applied in a seventh grade class of a Porto Alegre’s private school. The conception of the sequence was supported by literature that affirms that games can provide contexts that make more sense to the students than the so-called “daily situations” frequently presented in didactic books. It was sought, by the games, to constitute contexts that provoked the need for representation of numbers with opposite signs and the operations with those numbers, including more complex cases, like the result of subtracting a negative number. The data collected includes audio recordings of students’ production and discussions, notebooks and blackboard’s photographs, and questionnaires filled by students after each activity. The analysis of this data allowed me to conclude that games could support the logical and operational thinking of the students in the construction of mobilized schemes to add and subtract positive and negative numbers.

Neste trabalho demonstram-se os teoremas de ponto fixo de Brouwer e Kakutani com o objetivo de provar a existência do equilíbrio de Nash em jogos finitos em forma normal. No primeiro capítulo apresentam-se as definições de teoria dos jogos, começando com jogos finitos em forma normal e terminando com o conceito de equilíbrio de Nash. Na primeira seção do capítulo dois desenvolve-se a teoria de simplexes, em Rn, e se demonstra o teorema de Brouwer. Na seção seguinte, são relacionadas as propriedades de semi-continuidade superior e gráfico fechado em set functions, para então provar os teoremas de Celina e von Neumann que, em conjunto com o teorema de Brouwer, resultam no teorema de Kakutani no fim da seção. Como último resultado é demonstrado o teorema de existência do equilíbrio de Nash em jogos finitos em forma normal através do teorema de Kakutani, mostrando que o equilíbrio de Nash é um ponto fixo de uma set function. / In this work, the fixed-point theorems of Kakutani and Brouwer are proved with the intention of showing the existence of Nash equilibrium in finite normal-form games. In the first chapter the needed definitions of game theory are shown, starting with finite normal-form games and ending with the concept of Nash equilibrium. In the first section of chapter two, simplex theory in Rn is developed and then the Brouwer fixer point theorem is proved. In the next section, some relations of upper hemi-continuity and closed graph in set functions are shown, then proving the theorems of Celina and von Neumann that, along with Brouwer theorem, result in Kakutani fixed-point theorem in the end of the section. As the last result, the existence of Nash equilibrium in finite normal-form games is proved through Kakutani’s theorem, relating the Nash equilibrium to the fixed-point of a set function.

Nesta pesquisa, abordamos uma perspectiva para o uso de jogos de Role Playing Game como recurso nas aulas de matemática. Foi implantado e avaliado o uso do jogo de RPG em turmas regulares de Ensino Médio, com a temática de investigação de casos criminais, buscando verificar quais são as vantagens e quais as dificuldades possíveis ao seu uso como recurso pedagógico na aprendizagem de matemática. As análises foram realizadas considerando a teoria construtivista de Piaget sobre o trabalho cooperativo em sala de aula e sua importância para a aprendizagem. Ao final, apresentamos pontos que devem ser considerados para a implantação de jogos de RPG por professores, além de disponibilizar, como produto final da pesquisa, um sistema de RPG com enfoque à aplicação em sala de aula. / In this research, we address a perspective for the use of Role Playing Games like a resource for mathematics teaching. Was implemented and evaluated the RPG game use in regular high school classes, with the criminal scene investigation cases theme, trying to verify the advantages and what the possible difficulties from its use as a teaching resource in mathematics learning. The analyzes were performed considering the constructivist theory from Piaget of cooperative work and his importance for learning. Finally, we present the elements to be considered for the implementation of a RPG game by the teachers and, in addition to providing, the final product of the research, a system of RPG with a focus on implementation in the classroom.

Neste trabalho demonstram-se os teoremas de ponto fixo de Brouwer e Kakutani com o objetivo de provar a existência do equilíbrio de Nash em jogos finitos em forma normal. No primeiro capítulo apresentam-se as definições de teoria dos jogos, começando com jogos finitos em forma normal e terminando com o conceito de equilíbrio de Nash. Na primeira seção do capítulo dois desenvolve-se a teoria de simplexes, em Rn, e se demonstra o teorema de Brouwer. Na seção seguinte, são relacionadas as propriedades de semi-continuidade superior e gráfico fechado em set functions, para então provar os teoremas de Celina e von Neumann que, em conjunto com o teorema de Brouwer, resultam no teorema de Kakutani no fim da seção. Como último resultado é demonstrado o teorema de existência do equilíbrio de Nash em jogos finitos em forma normal através do teorema de Kakutani, mostrando que o equilíbrio de Nash é um ponto fixo de uma set function. / In this work, the fixed-point theorems of Kakutani and Brouwer are proved with the intention of showing the existence of Nash equilibrium in finite normal-form games. In the first chapter the needed definitions of game theory are shown, starting with finite normal-form games and ending with the concept of Nash equilibrium. In the first section of chapter two, simplex theory in Rn is developed and then the Brouwer fixer point theorem is proved. In the next section, some relations of upper hemi-continuity and closed graph in set functions are shown, then proving the theorems of Celina and von Neumann that, along with Brouwer theorem, result in Kakutani fixed-point theorem in the end of the section. As the last result, the existence of Nash equilibrium in finite normal-form games is proved through Kakutani’s theorem, relating the Nash equilibrium to the fixed-point of a set function.

Esta dissertação apresenta uma experiência de aplicação de sequência de atividades cujo tema central é números relativos, envolvendo uso de jogos. Tal sequência foi aplicada em uma turma do sétimo ano de uma escola particular da cidade de Porto Alegre. A construção da sequência apoiou-se em literatura que afirma que jogos podem propiciar contextos que façam mais sentido aos alunos do que as situações ditas do cotidiano, comumente retratadas em livros didáticos. Buscou-se, por meio dos jogos, constituir contextos que provocassem a necessidade da representação de números de sentidos opostos e das operações com esses números, incluindo situações complexas como a do efeito resultante da retirada de um número negativo. Foram coletados registros da produção dos alunos e das discussões em sala de aula por meio de gravação em áudio, fotografias de cadernos e do quadro-negro, e questionários preenchidos pelos alunos após cada atividade. A análise desses materiais permitiu concluir que os jogos representaram uma sustentação para o pensamento lógico e operatório dos alunos, na construção dos esquemas mobilizados para somar e subtrair números positivos e negativos. / This work presents an experiment of an activity sequence centered on Relative Numbers and involving the use of games. Such sequence was applied in a seventh grade class of a Porto Alegre’s private school. The conception of the sequence was supported by literature that affirms that games can provide contexts that make more sense to the students than the so-called “daily situations” frequently presented in didactic books. It was sought, by the games, to constitute contexts that provoked the need for representation of numbers with opposite signs and the operations with those numbers, including more complex cases, like the result of subtracting a negative number. The data collected includes audio recordings of students’ production and discussions, notebooks and blackboard’s photographs, and questionnaires filled by students after each activity. The analysis of this data allowed me to conclude that games could support the logical and operational thinking of the students in the construction of mobilized schemes to add and subtract positive and negative numbers.

Esta dissertação apresenta uma experiência de aplicação de sequência de atividades cujo tema central é números relativos, envolvendo uso de jogos. Tal sequência foi aplicada em uma turma do sétimo ano de uma escola particular da cidade de Porto Alegre. A construção da sequência apoiou-se em literatura que afirma que jogos podem propiciar contextos que façam mais sentido aos alunos do que as situações ditas do cotidiano, comumente retratadas em livros didáticos. Buscou-se, por meio dos jogos, constituir contextos que provocassem a necessidade da representação de números de sentidos opostos e das operações com esses números, incluindo situações complexas como a do efeito resultante da retirada de um número negativo. Foram coletados registros da produção dos alunos e das discussões em sala de aula por meio de gravação em áudio, fotografias de cadernos e do quadro-negro, e questionários preenchidos pelos alunos após cada atividade. A análise desses materiais permitiu concluir que os jogos representaram uma sustentação para o pensamento lógico e operatório dos alunos, na construção dos esquemas mobilizados para somar e subtrair números positivos e negativos. / This work presents an experiment of an activity sequence centered on Relative Numbers and involving the use of games. Such sequence was applied in a seventh grade class of a Porto Alegre’s private school. The conception of the sequence was supported by literature that affirms that games can provide contexts that make more sense to the students than the so-called “daily situations” frequently presented in didactic books. It was sought, by the games, to constitute contexts that provoked the need for representation of numbers with opposite signs and the operations with those numbers, including more complex cases, like the result of subtracting a negative number. The data collected includes audio recordings of students’ production and discussions, notebooks and blackboard’s photographs, and questionnaires filled by students after each activity. The analysis of this data allowed me to conclude that games could support the logical and operational thinking of the students in the construction of mobilized schemes to add and subtract positive and negative numbers.

Nesta pesquisa, abordamos uma perspectiva para o uso de jogos de Role Playing Game como recurso nas aulas de matemática. Foi implantado e avaliado o uso do jogo de RPG em turmas regulares de Ensino Médio, com a temática de investigação de casos criminais, buscando verificar quais são as vantagens e quais as dificuldades possíveis ao seu uso como recurso pedagógico na aprendizagem de matemática. As análises foram realizadas considerando a teoria construtivista de Piaget sobre o trabalho cooperativo em sala de aula e sua importância para a aprendizagem. Ao final, apresentamos pontos que devem ser considerados para a implantação de jogos de RPG por professores, além de disponibilizar, como produto final da pesquisa, um sistema de RPG com enfoque à aplicação em sala de aula. / In this research, we address a perspective for the use of Role Playing Games like a resource for mathematics teaching. Was implemented and evaluated the RPG game use in regular high school classes, with the criminal scene investigation cases theme, trying to verify the advantages and what the possible difficulties from its use as a teaching resource in mathematics learning. The analyzes were performed considering the constructivist theory from Piaget of cooperative work and his importance for learning. Finally, we present the elements to be considered for the implementation of a RPG game by the teachers and, in addition to providing, the final product of the research, a system of RPG with a focus on implementation in the classroom.

Nesta pesquisa, abordamos uma perspectiva para o uso de jogos de Role Playing Game como recurso nas aulas de matemática. Foi implantado e avaliado o uso do jogo de RPG em turmas regulares de Ensino Médio, com a temática de investigação de casos criminais, buscando verificar quais são as vantagens e quais as dificuldades possíveis ao seu uso como recurso pedagógico na aprendizagem de matemática. As análises foram realizadas considerando a teoria construtivista de Piaget sobre o trabalho cooperativo em sala de aula e sua importância para a aprendizagem. Ao final, apresentamos pontos que devem ser considerados para a implantação de jogos de RPG por professores, além de disponibilizar, como produto final da pesquisa, um sistema de RPG com enfoque à aplicação em sala de aula. / In this research, we address a perspective for the use of Role Playing Games like a resource for mathematics teaching. Was implemented and evaluated the RPG game use in regular high school classes, with the criminal scene investigation cases theme, trying to verify the advantages and what the possible difficulties from its use as a teaching resource in mathematics learning. The analyzes were performed considering the constructivist theory from Piaget of cooperative work and his importance for learning. Finally, we present the elements to be considered for the implementation of a RPG game by the teachers and, in addition to providing, the final product of the research, a system of RPG with a focus on implementation in the classroom.