Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Extremo Sul Catarinense-UNESC, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação. / O presente estudo é consequência advinda de reflexões com base na literatura que aponta para problemas relacionados ao ensino e aprendizagem referentes ao conceito de número relativo. Por decorrência, apresenta-se a proposta de Davýdov e colaboradores para a organização do ensino de Matemática que traz como princípio básico o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes, tendo como premissa o conceito de número real, cujo fundamento é a relação entre grandezas. Essa ideia central se constitui em critério para a caracterização do número em positivo e negativo. Sendo assim, a relatividade numérica se manifesta no contexto de número negativo e positivo sem privilégio inicial para as singularidades (natural, inteiro, racional e irracional). É nesse âmbito que se define o objeto da presente pesquisa: o modo davydoviano de organização do ensino com foco para o conceito de número negativo. O problema de pesquisa é: Que necessidades se apresentam no âmbito das atividades de ensino e estudo, mais especificamente no modo davydoviano de organização do ensino referente às tarefas particulares voltadas ao conceito de números negativos? A pesquisa teve como objetivo investigar as necessidades inerentes ao processo davydoviano de organização do ensino referentes ao conceito de números negativos. Trata-se de uma pesquisa qualitativa na modalidade bibliográfica que tem como fonte de análise um livro didático do estudante e um livro de orientação ao professor correspondentes ao sexto ano escolar. O processo de análise se desenvolveu com base em duas categorias: 1) as necessidades de ordem conceitual e 2) as necessidades pedagógicas. O estudo evidencia que, na proposição davydoviana, o número negativo traz o significado de oposto. Por conseguinte, emerge a necessidade de mudança do tipo de grandeza: de escalares – até então, base do surgimento dos números positivos – para a vetorial. Nesse movimento conceitual, a especificação do módulo e do sentido na ação geradora do número negativo demandou outra necessidade: a comparação de dois vetores. Além disso, se manifesta outra necessidade: a adoção de um elemento que permite a indicação do sentido ao se representar o número na reta.

Esta dissertação apresenta uma experiência de aplicação de sequência de atividades cujo tema central é números relativos, envolvendo uso de jogos. Tal sequência foi aplicada em uma turma do sétimo ano de uma escola particular da cidade de Porto Alegre. A construção da sequência apoiou-se em literatura que afirma que jogos podem propiciar contextos que façam mais sentido aos alunos do que as situações ditas do cotidiano, comumente retratadas em livros didáticos. Buscou-se, por meio dos jogos, constituir contextos que provocassem a necessidade da representação de números de sentidos opostos e das operações com esses números, incluindo situações complexas como a do efeito resultante da retirada de um número negativo. Foram coletados registros da produção dos alunos e das discussões em sala de aula por meio de gravação em áudio, fotografias de cadernos e do quadro-negro, e questionários preenchidos pelos alunos após cada atividade. A análise desses materiais permitiu concluir que os jogos representaram uma sustentação para o pensamento lógico e operatório dos alunos, na construção dos esquemas mobilizados para somar e subtrair números positivos e negativos. / This work presents an experiment of an activity sequence centered on Relative Numbers and involving the use of games. Such sequence was applied in a seventh grade class of a Porto Alegre’s private school. The conception of the sequence was supported by literature that affirms that games can provide contexts that make more sense to the students than the so-called “daily situations” frequently presented in didactic books. It was sought, by the games, to constitute contexts that provoked the need for representation of numbers with opposite signs and the operations with those numbers, including more complex cases, like the result of subtracting a negative number. The data collected includes audio recordings of students’ production and discussions, notebooks and blackboard’s photographs, and questionnaires filled by students after each activity. The analysis of this data allowed me to conclude that games could support the logical and operational thinking of the students in the construction of mobilized schemes to add and subtract positive and negative numbers.

Submitted by Filipe dos Santos (fsantos@pucsp.br) on 2018-07-27T13:29:45Z No. of bitstreams: 1 Ângela Maria dos Santos.pdf: 1947782 bytes, checksum: b719e36c5c6caad7691f41e1d466396c (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-27T13:29:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ângela Maria dos Santos.pdf: 1947782 bytes, checksum: b719e36c5c6caad7691f41e1d466396c (MD5) Previous issue date: 2018-04-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This study focuses on José Anastácio da Cunha (1744-1787) and the manner in which he conceived and performed the teaching of mathematics. Selected letters from 1785, addressing a debate about negative quantities, constituted the primary sources for examining da Cunha’s teaching practice. The study articulates ponderations on mathematical education—drawing on the views of Glaeser and Schubring on epistemological obstacles—and the history of mathematics—based on Veyne, Le Goff, and Grattan-Guinness with regard to core definitions of history and the treatment of source documents. In order to examine da Cunha’s teaching in this context, the articulation took the form of a narrative primarily based on original documents, considering the context in which events took place, subsequently evidencing the range of conceptions about negative quantities that coexisted in his time, and the possible epistemological obstacles encountered. As far as possible, the narrative conveyed in the letters was reconstructed, supporting the identification of the personages and teaching institutions involved and highlighting the mathematical concepts and definitions addressed. This effort shed light on da Cunha’s unique approach amid the clash of ideas that occurred at the time with regard to the nature of negative quantities, revealing him as an exemplary teacher, in the best sense of the word. The documents analyzed revealed da Cunha to be a mathematician concerned with rigor and the value of demonstrations—a stance evident from his earliest readings of mathematical books and later echoed in his oeuvre and teaching-related activities. In his professorial practice, he was not only receptive to debating on an extensive range of contents, but proved respectful of his interlocutors as human beings, regardless of class or social status. Da Cunha was also open to questioning about matters for which he had no definitive answers, and encouraged his students to outdo him and, if necessary, correct his conclusions. The present analysis of his teaching-related activities in the realm of negative integers revealed da Cunha to have been a teacher concerned with the future careers of his students and alumni and a mathematician who strove to promote the furthering of knowledge / Este trabalho discorre sobre José Anastácio da Cunha (1744-1787) e a maneira como concebia e desempenhava o ensino de matemática. Tendo como objetivo analisar suas atividades relacionadas ao ensino, utilizamos como principais documentos para a coleta de dados algumas cartas escritas em 1785 que trazem em sua redação um debate a respeito das quantidades negativas. Articulamos reflexões da educação matemática, apoiando-nos em Glaeser e Schubring em relação aos obstáculos epistemológicos, e da história da matemática, baseando-nos em Veyne, Le Goff e Grattan-Guinness no que concerne às definições essenciais de história e ao tratamento dispensado aos documentos analisados. Em virtude dessa articulação, optamos por uma narrativa apoiada primordialmente em documentos originais, considerando o contexto em que se deram os fatos, para subsequentemente evidenciarmos as diferentes concepções acerca das quantidades negativas que coexistiam à época e os possíveis obstáculos de gênese epistemológica, a fim de, nesse contexto, analisarmos a postura docente de José Anastácio da Cunha (JAC). Reconstruímos até onde foi possível a narrativa das cartas, identificando personagens e instituições de ensino, bem como expondo os conceitos e definições matemáticos presentes. Desse modo, evidenciou-se um procedimento singular de José Anastácio da Cunha frente ao embate de ideias que teve lugar a respeito da natureza das quantidades negativas, permitindo-nos concluir que este personagem foi exemplarmente um mestre, na melhor acepção da palavra. Os documentos analisados nos permitiram constatar que JAC foi um matemático preocupado com rigor e demonstrações, desde suas primeiras leituras de livros matemáticos, ecoando tal característica também em suas obras e atividades docentes. Além disso, em sua prática professoral era receptivo a debates acerca dos mais variados tipos de conteúdos e respeitava o ser humano, independentemente de sua classe ou posição social. Permitia questionamentos em assuntos a respeito dos quais ele mesmo não tinha uma resposta pronta e incentivava seus discípulos a irem além dele, inclusive, se fosse o caso, corrigindo-o. Enfim, ao analisarmos as atividades de JAC relacionadas ao ensino, no contexto dos números inteiros negativos, pudemos evidenciar que era um docente preocupado com o futuro de seus alunos e ex-alunos e que buscava o aprimoramento dos saberes

Esta dissertação apresenta uma experiência de aplicação de sequência de atividades cujo tema central é números relativos, envolvendo uso de jogos. Tal sequência foi aplicada em uma turma do sétimo ano de uma escola particular da cidade de Porto Alegre. A construção da sequência apoiou-se em literatura que afirma que jogos podem propiciar contextos que façam mais sentido aos alunos do que as situações ditas do cotidiano, comumente retratadas em livros didáticos. Buscou-se, por meio dos jogos, constituir contextos que provocassem a necessidade da representação de números de sentidos opostos e das operações com esses números, incluindo situações complexas como a do efeito resultante da retirada de um número negativo. Foram coletados registros da produção dos alunos e das discussões em sala de aula por meio de gravação em áudio, fotografias de cadernos e do quadro-negro, e questionários preenchidos pelos alunos após cada atividade. A análise desses materiais permitiu concluir que os jogos representaram uma sustentação para o pensamento lógico e operatório dos alunos, na construção dos esquemas mobilizados para somar e subtrair números positivos e negativos. / This work presents an experiment of an activity sequence centered on Relative Numbers and involving the use of games. Such sequence was applied in a seventh grade class of a Porto Alegre’s private school. The conception of the sequence was supported by literature that affirms that games can provide contexts that make more sense to the students than the so-called “daily situations” frequently presented in didactic books. It was sought, by the games, to constitute contexts that provoked the need for representation of numbers with opposite signs and the operations with those numbers, including more complex cases, like the result of subtracting a negative number. The data collected includes audio recordings of students’ production and discussions, notebooks and blackboard’s photographs, and questionnaires filled by students after each activity. The analysis of this data allowed me to conclude that games could support the logical and operational thinking of the students in the construction of mobilized schemes to add and subtract positive and negative numbers.

Esta dissertação apresenta uma experiência de aplicação de sequência de atividades cujo tema central é números relativos, envolvendo uso de jogos. Tal sequência foi aplicada em uma turma do sétimo ano de uma escola particular da cidade de Porto Alegre. A construção da sequência apoiou-se em literatura que afirma que jogos podem propiciar contextos que façam mais sentido aos alunos do que as situações ditas do cotidiano, comumente retratadas em livros didáticos. Buscou-se, por meio dos jogos, constituir contextos que provocassem a necessidade da representação de números de sentidos opostos e das operações com esses números, incluindo situações complexas como a do efeito resultante da retirada de um número negativo. Foram coletados registros da produção dos alunos e das discussões em sala de aula por meio de gravação em áudio, fotografias de cadernos e do quadro-negro, e questionários preenchidos pelos alunos após cada atividade. A análise desses materiais permitiu concluir que os jogos representaram uma sustentação para o pensamento lógico e operatório dos alunos, na construção dos esquemas mobilizados para somar e subtrair números positivos e negativos. / This work presents an experiment of an activity sequence centered on Relative Numbers and involving the use of games. Such sequence was applied in a seventh grade class of a Porto Alegre’s private school. The conception of the sequence was supported by literature that affirms that games can provide contexts that make more sense to the students than the so-called “daily situations” frequently presented in didactic books. It was sought, by the games, to constitute contexts that provoked the need for representation of numbers with opposite signs and the operations with those numbers, including more complex cases, like the result of subtracting a negative number. The data collected includes audio recordings of students’ production and discussions, notebooks and blackboard’s photographs, and questionnaires filled by students after each activity. The analysis of this data allowed me to conclude that games could support the logical and operational thinking of the students in the construction of mobilized schemes to add and subtract positive and negative numbers.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese_cecilia_fukiko_kimura.pdf: 1205177 bytes, checksum: 0a0351df0aa3c85bad823ec8d55d2d51 (MD5) Previous issue date: 2005-11-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The central theme of this work is the structuralism construtivist, in that detached the importance of the mathematical structure for the acquisition of the logical-mathematical knowledge. We began our study presenting an abbreviation summary on the life and work of Piaget, the theory of the knowledge exposing the theoretical arguments of the rationalism (Leibniz), of the empiricism (Locke), of the interacionismo (Kant) and the constructivism piagetian. The approached themes show the different forms of understanding the origin of the knowledge. Due to your importance for our work made a study about the structuralism piagetiano and mathematical structuralism. For the fact of the structuralism piagetiano to present a dynamic character related with the activity, organization, transformation, action coordination and construction looked for a model to assist her/it those requirements. In this sense, we opted for the study of the game in the vision piagetian, because he comes as an appropriate model of the algebraic structures or of the Mathematics in general. Thus, for understanding the shape to represent those models we made a study on semiotics in Peirce and Piaget, because the game presents a direct connection with the representation. In our work we presented two studies: the first was an exploratory study with semi-structured questionnaire and, in the second, we applied the game of the chess board with activities on the negative numbers; the activities were developed with ten teachers of public school of the state net of teaching that act in the 6a. series of the Fundamental Teaching. The study concludes that the game is a suitable tool, as it presents the structure of the negative numbers as well as it offers and different representation forms more clearly / O tema central deste trabalho é o estruturalismo construtivista, em que destacamos a importância da estrutura matemática para a aquisição do conhecimento lógico-matemático. Começamos nosso estudo apresentando um breve resumo sobre a vida e obra de Piaget, a teoria do conhecimento expondo os argumentos teóricos do racionalismo (Leibniz), do empirismo (Locke), do interacionismo (Kant) e o construtivismo piagetiano. Os temas abordados mostram as diferentes formas de compreender a origem do conhecimento. Devido à sua importância para o nosso trabalho fizemos um estudo sobre o estruturalismo piagetiano e estruturalismo matemático. Pelo fato de o estruturalismo piagetiano apresentar um caráter dinâmico relacionado com a atividade, organização, transformação, coordenação de ação e construção buscamos um modelo que atendesse a esses requisitos. Neste sentido, optamos pelo estudo do jogo na visão piagetiana, pois se apresenta como um modelo adequado das estruturas algébricas ou da Matemática em geral, assim para representar esses modelos fizemos um estudo sobre semiótica em Peirce e Piaget, pois o jogo apresenta uma ligação direta com a representação. No nosso trabalho apresentamos dois estudos: no primeiro, um estudo exploratório com questionário semi-estruturado e, no segundo, aplicamos o jogo do tabuleiro de xadrez com atividades sobre os números negativos; as atividades foram desenvolvidas com dez professores de escola pública da rede estadual de ensino que atuam na 6a. série do Ensino Fundamental. O estudo conclui que o jogo é uma boa ferramenta, pois apresenta mais claramente a estrutura dos números negativos e oferece diferentes formas de representação