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Numerical Methods for Bayesian Inference in Hilbert SpacesSprungk, Björn 15 February 2018 (has links)
Bayesian inference occurs when prior knowledge about uncertain parameters in mathematical models is merged with new observational data related to the model outcome. In this thesis we focus on models given by partial differential equations where the uncertain parameters are coefficient functions belonging to infinite dimensional function spaces. The result of the Bayesian inference is then a well-defined posterior probability measure on a function space describing the updated knowledge about the uncertain coefficient.
For decision making and post-processing it is often required to sample or integrate wit resprect to the posterior measure. This calls for sampling or numerical methods which are suitable for infinite dimensional spaces. In this work we focus on Kalman filter techniques based on ensembles or polynomial chaos expansions as well as Markov chain Monte Carlo methods.
We analyze the Kalman filters by proving convergence and discussing their applicability in the context of Bayesian inference. Moreover, we develop and study an improved dimension-independent Metropolis-Hastings algorithm. Here, we show geometric ergodicity of the new method by a spectral gap approach using a novel comparison result for spectral gaps. Besides that, we observe and further analyze the robustness of the proposed algorithm with respect to decreasing observational noise. This robustness is another desirable property of numerical methods for Bayesian inference.
The work concludes with the application of the discussed methods to a real-world groundwater flow problem illustrating, in particular, the Bayesian approach for uncertainty quantification in practice. / Bayessche Inferenz besteht daraus, vorhandenes a-priori Wissen über unsichere Parameter in mathematischen Modellen mit neuen Beobachtungen messbarer Modellgrößen zusammenzuführen. In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit Modellen, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben sind. Die unbekannten Parameter sind dabei Koeffizientenfunktionen, die aus einem unendlich dimensionalen Funktionenraum kommen. Das Resultat der Bayesschen Inferenz ist dann eine wohldefinierte a-posteriori Wahrscheinlichkeitsverteilung auf diesem Funktionenraum, welche das aktualisierte Wissen über den unsicheren Koeffizienten beschreibt.
Für Entscheidungsverfahren oder Postprocessing ist es oft notwendig die a-posteriori Verteilung zu simulieren oder bzgl. dieser zu integrieren. Dies verlangt nach numerischen Verfahren, welche sich zur Simulation in unendlich dimensionalen Räumen eignen. In dieser Arbeit betrachten wir Kalmanfiltertechniken, die auf Ensembles oder polynomiellen Chaosentwicklungen basieren, sowie Markowketten-Monte-Carlo-Methoden.
Wir analysieren die erwähnte Kalmanfilter, indem wir deren Konvergenz zeigen und ihre Anwendbarkeit im Kontext Bayesscher Inferenz diskutieren. Weiterhin entwickeln und studieren wir einen verbesserten dimensionsunabhängigen Metropolis-Hastings-Algorithmus. Hierbei weisen wir geometrische Ergodizität mit Hilfe eines neuen Resultates zum Vergleich der Spektrallücken von Markowketten nach. Zusätzlich beobachten und analysieren wir die Robustheit der neuen Methode bzgl. eines fallenden Beobachtungsfehlers. Diese Robustheit ist eine weitere wünschenswerte Eigenschaft numerischer Methoden für Bayessche Inferenz.
Den Abschluss der Arbeit bildet die Anwendung der diskutierten Methoden auf ein reales Grundwasserproblem, was insbesondere den Bayesschen Zugang zur Unsicherheitsquantifizierung in der Praxis illustriert.
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The Stixel WorldPfeiffer, David 31 August 2012 (has links)
Die Stixel-Welt ist eine neuartige und vielseitig einsetzbare Zwischenrepräsentation zur effizienten Beschreibung dreidimensionaler Szenen. Heutige stereobasierte Sehsysteme ermöglichen die Bestimmung einer Tiefenmessung für nahezu jeden Bildpunkt in Echtzeit. Das erlaubt zum einen die Anwendung neuer leistungsfähiger Algorithmen, doch gleichzeitig steigt die zu verarbeitende Datenmenge und der dadurch notwendig werdende Aufwand massiv an. Gerade im Hinblick auf die limitierte Rechenleistung jener Systeme, wie sie in der videobasierten Fahrerassistenz zum Einsatz kommen, ist dies eine große Herausforderung. Um dieses Problem zu lösen, bietet die Stixel-Welt eine generische Abstraktion der Rohdaten des Sensors. Jeder Stixel repräsentiert individuell einen Teil eines Objektes im Raum und segmentiert so die Umgebung in Freiraum und Objekte. Die Arbeit stellt die notwendigen Verfahren vor, um die Stixel-Welt mittels dynamischer Programmierung in einem einzigen globalen Optimierungsschritt in Echtzeit zu extrahieren. Dieser Prozess wird durch eine Vielzahl unterschiedlicher Annahmen über unsere von Menschenhand geschaffene Umgebung gestützt. Darauf aufbauend wird ein Kalmanfilter-basiertes Verfahren zur präzisen Bewegungsschätzung anderer Objekte vorgestellt. Die Arbeit stellt umfangreiche Bewertungen der zu erwartenden Leistungsfähigkeit aller vorgestellten Verfahren an. Dafür kommen sowohl vergleichende Ansätze als auch diverse Referenzsensoren, wie beispielsweise LIDAR, RADAR oder hochpräzise Inertialmesssysteme, zur Anwendung. Die Stixel-Welt ist eine extrem kompakte Abstraktion der dreidimensionalen Umgebung und bietet gleichzeitig einfachsten Zugriff auf alle essentiellen Informationen der Szene. Infolge dieser Arbeit war es möglich, die Effizienz vieler auf der Stixel-Welt aufbauender Algorithmen deutlich zu verbessern. / The Stixel World is a novel and versatile medium-level representation to efficiently bridge the gap between pixel-based processing and high-level vision. Modern stereo matching schemes allow to obtain a depth measurement for almost every pixel of an image in real-time, thus allowing the application of new and powerful algorithms. However, it also results in a large amount of measurement data that has to be processed and evaluated. With respect to vision-based driver assistance, these algorithms are executed on highly integrated low-power processing units that leave no room for algorithms with an intense calculation effort. At the same time, the growing number of independently executed vision tasks asks for new concepts to manage the resulting system complexity. These challenges are tackled by introducing a pre-processing step to extract all required information in advance. Each Stixel approximates a part of an object along with its distance and height. The Stixel World is computed in a single unified optimization scheme. Strong use is made of physically motivated a priori knowledge about our man-made three-dimensional environment. Relying on dynamic programming guarantees to extract the globally optimal segmentation for the entire scenario. Kalman filtering techniques are used to precisely estimate the motion state of all tracked objects. Particular emphasis is put on a thorough performance evaluation. Different comparative strategies are followed which include LIDAR, RADAR, and IMU reference sensors, manually created ground truth data, and real-world tests. Altogether, the Stixel World is ideally suited to serve as the basic building block for today''s increasingly complex vision systems. It is an extremely compact abstraction of the actual world giving access to the most essential information about the current scenario. Thanks to this thesis, the efficiency of subsequently executed vision algorithms and applications has improved significantly.
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