Topological Photonics is a rapidly growing field which explores the ideas of topological invariants adapted from condensed matter physics to optical systems. Thanks to integrated photonics platforms, the evolution of light in nanoscale photonic lattices can enable direct measurement of topological properties of the band-structure. In this degree project, we study the topological Anderson phase transition in disordered one-dimensional lattices, and probe distinct topological phases in photonic superlattices. In first part, we fabricate photonic lattices with different disorder strength, and observe the topological transition from trivial topological Anderson phase to non-trivial topological Anderson phase as the system disorder is increased. In second part, we focus on probing the Zak phase in photonic superlattices. We fabricate a superlattice system that utilizes either bulk excitation or edge excitation. We identify the trivial and non-trivial Zak phase using two methods: first, through reconstructing the intensity evolution in the edge waveguide, second, through calculating the beam displacement in the case of bulk excitation .  In order to study the evolution of the light in the nano-scaled photonic lattices, we develop a novel technique: Loss-Induced Scattering Approach (LISA), which enables high fidelity reconstruction of the photonic state evolving in the lattice. / Topologisk fotonik är ett snabbt växande område som utforskar idéerna om topologiska invarianter anpassade från kondenserad materiens fysik till optiska system. Tack vare integrerade fotonikplattformar kan ljusutvecklingen i fotoniska gitter i nanoskala möjliggöra direkt mätning av topologiska egenskaper hos bandstrukturen. I detta examensarbete studerar vi den topologiska Anderson-fasövergången i oordnade endimensionella gitter, och undersöker distinkta topologiska faser i fotoniska supergitter. I den första delen tillverkar vi fotoniska gitter med olika störningsstyrka och observerar den topologiska övergången från trivial topologisk Anderson-fas till icke-trivial topologisk Anderson-fas när systemstörningen ökar. I den andra delen fokuserar vi på att sondera Zak-fasen i fotoniska supergitter. Vi tillverkar ett supergittersystem som använder antingen bulkexcitering eller kantexcitering. Vi identifierar den triviala och icke-triviala Zak-fasen med två metoder: för det första genom att rekonstruera intensitetsutvecklingen i kantvågledaren, för det andra genom att beräkna strålens förskjutning vid bulkexcitation. För att studera utvecklingen av ljuset i de nanoskalade fotoniska gittren, utvecklar vi en ny teknik: Loss-Induced Scattering Approach (LISA), som möjliggör högtrohetsrekonstruktion av det fotoniska tillståndet som utvecklas i gittret.

Disordered quantum many-body systems exhibiting the many-body localization (MBL) phenomenon evade the fate of thermalization due to the existence of an extensively large set of quasi-local integrals of motion (l-bits). Due to the size of the Hilbert space of many-body systems, it is hard to compute the time evolution of many-body systems generally, which hinders our understanding of the MBL phenomenon. Recently it has been proposed in Ref. [1] to time evolve local density matrices of lattice system with short-range interactions using the Petz recovery map. By time evolving local density matrices, information encoded in long-range entanglement that is irrelevant to the time-evolution of local observables is discarded. This method is promising for MBL-systems, primarily because it can be implemented to conserve local constants of the motion. For the case of a MBL system, this means that the l-bits can be (approximately) conserved. This thesis employs the Petz recovery map to time evolve local density matrices of localized 1D lattice systems, modeled by the Aubry-André Hamiltonian. The accuracy of the method is evaluated and the results are used to study the flow of information between subsystems. It is found that the method can accurately time evolve localized density matrices for an Anderson localized system to arbitrary times. For interacting systems, it is shown that the method is accurate for long time if the system is sufficiently localized. Furthermore, the solutions for the local density matrices exhibit the information spread behavior that is predicted by the l-bit theory of the many-body localized phase: both the logarithmic ”light” cone of entanglement and the dephasing dynamics are observed. This work shows that time evolution of local density matrices is a promising method in the pursuit of a better understanding of the nature of localized systems. / I oordnade kvantmekansika mångpartikelsystem förekommer en lokaliserad fas (MBL). System i denna fas undkommer termalisering då det existerar ett extensivt antal kvasi-lokala rörelsekonstanter (l-bitar). Som en följd av Hilbert-rummets storlek för mångpartikelsystem är det svårt att tidsutveckla mångpartikeltillstånd i allmänhet, vilket gör det svårt att undersöka MBL-fenomenet. Det har nyligen föreslagits i Ref. [1] att tidsutveckla lokala täthetsmatriser för växelverkande endimensionella gittersystem med hjälp av Petzs återställningsfunktion. Genom att tidsutveckla lokala täthetsmatriser förkastas information som inte är relevant för lokala observabler. Metoden är lovande för MBL-system då den kan implementeras så att lokala rörelsekonstanter konserveras. Detta innebär för MBL-system att l-bitarna kan konserveras approximativt. I detta arbete används Petzs återställningsfunktion för att tidsutveckla lokala täthetsmatriser i lokaliserade endimensionella gittersystem. Metodens nogrannhet utvärderas och de resulterande tidsserierna används för att studera informationsspridning mellan delsystem. Arbetet visar att Andersonlokaliserade system kan tidsutvecklas med god nogrannhet till godtyckligt långa tider. Vidare visas att metoden nogrannt kan tidsutveckla MBL-system till långa tider, givet att lokaliseringslängden är kort nog. Slutligen används metoden för att studera informationsflödet mellan delsystem, och resultaten återskapar det beteende som väntas från den fenomenologiska l-bitteorin: informationen sprids logaritmiskt över tid och avfasningsdynamik observeras. Arbetet visar att den föreslagna metoden är lovande i jakten på en utökad förståelse av MBL-system.