There are several algorithms for solving the linear system of equations that arise from the finite element method with linear or near-linear computational complexity. One way is to find an approximation of the stiffness matrix that is such that it can be used in a preconditioned conjugate residual method, that is, a preconditioner to the stiffness matrix. We have studied two preconditioners for the conjugate residual method, both based on writing the stiffness matrix in block form, factorising it and then approximating the Schur complement block to get a preconditioner. We have studied the stationary reaction-diffusion-advection equation in two dimensions. The mesh is refined adaptively, giving a hierarchy of meshes. In the first method the Schur complement is approximated by the stiffness matrix at one coarser level of the mesh, in the second method it is approximated as the assembly of local Schur complements corresponding to macro triangles. For two levels the theoretical bound of the condition number is 1/(1-C²) for either method, where C is the Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz constant. For multiple levels there is less theory. For the first method it is known that the condition number of the preconditioned stiffness matrix is O(l²), where l is the number of levels of the preconditioner, or, equivalently, the number mesh refinements. For the second method the asymptotic behaviour is not known theoretically. In neither case is the dependency of the condition number of C known. We have tested both methods on several problems and found the first method to always give a better condition number, except for very few levels. For all tested problems, using the first method it seems that the condition number is O(l), in fact it is typically not larger than Cl. For the second method the growth seems to be superlinear.

In this thesis we present research on mathematical properties of methods for solv- ing symmetric systems of linear equations that arise in various optimization problem formulations and in methods for solving such problems. In the first and third paper (Paper A and Paper C), we consider the connection be- tween the method of conjugate gradients and quasi-Newton methods on strictly convex quadratic optimization problems or equivalently on a symmetric system of linear equa- tions with a positive definite matrix. We state conditions on the quasi-Newton matrix and the update matrix such that the search directions generated by the corresponding quasi-Newton method and the method of conjugate gradients respectively are parallel. In paper A, we derive such conditions on the update matrix based on a sufficient condition to obtain mutually conjugate search directions. These conditions are shown to be equivalent to the one-parameter Broyden family. Further, we derive a one-to-one correspondence between the Broyden parameter and the scaling between the search directions from the method of conjugate gradients and a quasi-Newton method em- ploying some well-defined update scheme in the one-parameter Broyden family. In paper C, we give necessary and sufficient conditions on the quasi-Newton ma- trix and on the update matrix such that equivalence with the method of conjugate gra- dients hold for the corresponding quasi-Newton method. We show that the set of quasi- Newton schemes admitted by these necessary and sufficient conditions is strictly larger than the one-parameter Broyden family. In addition, we show that this set of quasi- Newton schemes includes an infinite number of symmetric rank-one update schemes. In the second paper (Paper B), we utilize an unnormalized Krylov subspace frame- work for solving symmetric systems of linear equations. These systems may be incom- patible and the matrix may be indefinite/singular. Such systems of symmetric linear equations arise in constrained optimization. In the case of an incompatible symmetric system of linear equations we give a certificate of incompatibility based on a projection on the null space of the symmetric matrix and characterize a minimum-residual solu- tion. Further we derive a minimum-residual method, give explicit recursions for the minimum-residual iterates and characterize a minimum-residual solution of minimum Euclidean norm. / I denna avhandling betraktar vi matematiska egenskaper hos metoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem som uppkommer i formuleringar och metoder för en mängd olika optimeringsproblem. I första och tredje artikeln (Paper A och Paper C), undersöks kopplingen mellan konjugerade gradientmetoden och kvasi-Newtonmetoder när dessa appliceras på strikt konvexa kvadratiska optimeringsproblem utan bivillkor eller ekvivalent på ett symmet- risk linjärt ekvationssystem med en positivt definit symmetrisk matris. Vi ställer upp villkor på kvasi-Newtonmatrisen och uppdateringsmatrisen så att sökriktningen som fås från motsvarande kvasi-Newtonmetod blir parallell med den sökriktning som fås från konjugerade gradientmetoden. I den första artikeln (Paper A), härleds villkor på uppdateringsmatrisen baserade på ett tillräckligt villkor för att få ömsesidigt konjugerade sökriktningar. Dessa villkor på kvasi-Newtonmetoden visas vara ekvivalenta med att uppdateringsstrategin tillhör Broydens enparameterfamilj. Vi tar också fram en ett-till-ett överensstämmelse mellan Broydenparametern och skalningen mellan sökriktningarna från konjugerade gradient- metoden och en kvasi-Newtonmetod som använder någon väldefinierad uppdaterings- strategi från Broydens enparameterfamilj. I den tredje artikeln (Paper C), ger vi tillräckliga och nödvändiga villkor på en kvasi-Newtonmetod så att nämnda ekvivalens med konjugerade gradientmetoden er- hålls. Mängden kvasi-Newtonstrategier som uppfyller dessa villkor är strikt större än Broydens enparameterfamilj. Vi visar också att denna mängd kvasi-Newtonstrategier innehåller ett oändligt antal uppdateringsstrategier där uppdateringsmatrisen är en sym- metrisk matris av rang ett. I den andra artikeln (Paper B), används ett ramverk för icke-normaliserade Krylov- underrumsmetoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem. Dessa ekvations- system kan sakna lösning och matrisen kan vara indefinit/singulär. Denna typ av sym- metriska linjära ekvationssystem uppkommer i en mängd formuleringar och metoder för optimeringsproblem med bivillkor. I fallet då det symmetriska linjära ekvations- systemet saknar lösning ger vi ett certifikat för detta baserat på en projektion på noll- rummet för den symmetriska matrisen och karaktäriserar en minimum-residuallösning. Vi härleder även en minimum-residualmetod i detta ramverk samt ger explicita rekur- sionsformler för denna metod. I fallet då det symmetriska linjära ekvationssystemet saknar lösning så karaktäriserar vi en minimum-residuallösning av minsta euklidiska norm. / <p>QC 20150519</p>

Pancreatic islets are composed of endocrine cells that secrete hormones essential for blood-glucose homeostasis. Prior research has revealed that the gene expression and functionality of human islet cells is heterogenous. However, it is not currently understood how the heterogeneity correlates to normal islet cell function and dysfunction in diabetes pathogenesis. Subsequently, an international collaborative project has been initiated to elucidate what constitutes islet cell heterogeneity from a transcriptional, proteomic, and functional perspective in both health and disease. In this study, a highly multiplex tissue image assay was developed to allow for the study of the localization and distribution of proteins previously identified to correlate with functional activity and heterogeneity in islet cells using the CO-Detection by indEXing (CODEX) platform. In total, 22 proteins were studied simultaneously of which 10 were specifically expressed in islet cells. These included generic pancreatic markers such as C-peptide (C-pep) marking insulin-secreting β-cells, glucagon (GCG) and somatostatin (SST), but also less well-characterized proteins such as Shisa like 2B (FAM159B) and Neural proliferation, differentiation and control 1 (NPDC1). The multiplex tissue imaging allowed for single-cell analysis of protein expression in human islet cells showing that most islet specific proteins were heterogeneously expressed. The observations made in this study serves as a validation to that the human islet microenvironment is highly complex due to islet cell heterogeneity. Additionally, the study demonstrated that multiplex tissue imaging has the potential to reveal novel cell types and interactions. / Langerhanska öar består av endokrina celler som utsöndrar hormoner nödvändiga för reglering av blodsockernivåerna. Tidigare forskning har visat att genuttrycket och funktionaliteten är heterogen i de celler som utgör mänskliga Langerhanska öar. Dock är förståelsen för hur heterogeniteten korrelerar till normal cellfunktion och dysfunktion i diabetespatogenes fortfarande ofullständig. Följaktligen har ett internationellt samarbete inletts i syfte att  undersöka  vad som utgör heterogenitet  i  Langerhanska öar ur ett transkriptionellt, proteomiskt och funktionellt perspektiv i såväl friska som sjuka individer. I denna studie utvecklades en metod för multiplex mikroskopisk avbildning av vävnad för att möjliggöra undersökningen av hur proteiner som tidigare korrelerats med endokrin cellspecifik aktivitet och heterogenitet i Langerhanska öar var lokaliserade med hjälp av plattformen för Co-Detection by indEXing (CODEX). Totalt undersöktes 22 proteiner samtidigt varav 10 var specifikt uttryckta i celler som utgör Langerhanska öar. Bland dessa proteiner fanns generella markörer för vanligt förekommande celltyper i Langerhanska öar såsom C-peptid (C-pep) som markör för insulinsekreterande β-celler, glukagon (GCG) och somatostatin (SST) såväl som proteiner med färre kända funktioner såsom Shisa like B (FAM159B) och Neural proliferation, differentiation and control 1 (NPDC1). Med hjälp av multiplex mikroskopisk avbildning av vävnad kunde uttrycket av proteiner specifikt uttryckta i celler som utgör Langerhanska öar analyseras för enskilda celler i vävnaden. Denna analys visade att de flesta proteiner specifikt uttryckta i celler som Langerhanska öar består av var heterogent uttrycka. Resultaten från denna studie validerar att mikromiljön i Langerhanska öar är mycket komplex på grund av cellernas heterogenitet. Vidare visade denna studie att multiplex mikroskopisk avbildning av vävnad har potentialen att identifiera nya celltyper och interaktioner.