The purpose of this thesis is to restate the definition of the integral as given by O. Perron, to establish some of the fundamental properties of the Perron integral, and to prove the equivalence between the Perron and Lebesgue integrals in the bounded case.

This dissertation concerns two topics in analysis. The rst section is an exposition of the Henstock-Kurzweil integral leading to a necessary and su cient condition for the change of variables formula to hold, with implications for the change of variables formula for the Lebesgue integral. As a corollary, a necessary and suf- cient condition for the Fundamental Theorem of Calculus to hold for the HK integral is obtained. The second section concerns a challenge raised in a paper by O. Lazarev and E. H. Lieb, where they proved that, given f1….,fn ∈ L1 ([0,1] ; C), there exists a smooth function φ that takes values on the unit circle and annihilates span {f1...., fn}. We give an alternative proof of that fact that also shows the W1,1 norm of φ can be bounded by 5πn + 1. Answering a question raised by Lazarev and Lieb, we show that if p > 1 then there is no bound for the W1,p norm of any such multiplier in terms of the norms of f1...., fn. / Includes bibliography. / Dissertation (Ph.D.)--Florida Atlantic University, 2016. / FAU Electronic Theses and Dissertations Collection

Thesis (M.S. in Applied Mathematics)--Naval Postgraduate School, September 2002. / Thesis advisor(s): Chris Frenzen, Bard Mansager. Includes bibliographical references (p. 49). Also available online.

Neste trabalho estudamos a integral de Kurzweil para funções definidas em um intervalo fechado limitado da reta e a valores em um espaço de Riesz. Apresentamos algumas propriedades básicas dessa integral e teoremas que relacionam a convergência uniforme de uma seqüência de funções Kurzweil integráveis com a convergência da seqüência formada pelas respectivas integrais. / In this work we study the Kurzweil integral for functions defined in a compact interval and with values in a Riesz space. We present some elementary properties for this integral and we prove theorems that relate the uniform convergence of a sequence of Kurzweil integrable functions to the convergence of the sequence of their integrals.

Neste trabalho estudamos a integral de Kurzweil para funções definidas em um intervalo fechado limitado da reta e a valores em um espaço de Riesz. Apresentamos algumas propriedades básicas dessa integral e teoremas que relacionam a convergência uniforme de uma seqüência de funções Kurzweil integráveis com a convergência da seqüência formada pelas respectivas integrais. / In this work we study the Kurzweil integral for functions defined in a compact interval and with values in a Riesz space. We present some elementary properties for this integral and we prove theorems that relate the uniform convergence of a sequence of Kurzweil integrable functions to the convergence of the sequence of their integrals.

The purpose of this work is to investigate continuous dependence on parameters for generalized linear differential equations in a Banach space- valued setting. More precisely, we establish a theorem inspired by the clas- sical continuous dependence result due to Z. Opial. In addition, our second outcome extends, to Banach spaces, the result proved by M. Ashordia in the framework of finite dimensional generalized linear differential equations. Roughly speaking, the continuous dependence derives from assumptions of uniform convergence of the functions in the right-hand side of the equations, together with the uniform boundedness of variation of the linear terms. Fur- thermore, applications of these results to dynamic equations on time scales and also to functional differential equations are proposed. Besides these results on continuous dependence, we complete the theory of abstract Kurzweil-Stieltjes integration so that it is well applicable for our purposes in generalized linear differential equations. In view of this, our contributions are related not only to differential equations but also to the abstract Kurzweil-Stieltjes integration theory itself. The new results presented in this work are contained in the papers [26] and [27], both accepted for publication / O objetivo deste trabalho é investigar a dependência contínua de soluções em relação a parâmetros para equações diferenciais lineares generalizadas no contexto de espaços de Banach. Mais precisamente, apresentamos um teo- rema inspirado no resultado clássico de dependência contínua obtido por Z. Opial. Nosso segundo resultado estende, para espaços de Banach, o provado por M. Ashordia no contexto de equações diferenciais lineares gen- eralizadas em dimensão finita. Em linhas gerais, a dependência contínua decorre da convergência uniforme das funções à direita das equações, junta- mente com a limitação uniforme da variação dos termos lineares. No mais, são propostas aplicações desses resultados em equações dinâmicas em escalas temporais e também em equações diferenciais funcionais. Além dos resultados em dependência contínua, completamos à teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes de modo que esta se adeque aos nossos propósitos em equações diferenciais lineares generalizadas. Assim, nossas contribuições dizem respeito não apenas a equações diferenciais, mas também a teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes em si. Os resultados originais apresentados neste trabalho estão contidos nos artigos [26] e [27], ambos aceitos para publicação

Being part of a research group on functional differential equations (FDEs, for short), due to my formation in non-absolute integration theory and because certain kinds of FDEs can be expressed as integral equations, I was motivated to investigate the latter. The purpose of this work, therefore, is to develop the theory of integral equations, when the integrals involved are in the sense of Kurzweil- Henstock or Kurzweil-Henstock-Stieltjes, through the correspondence between solutions of integral equations and solutions of generalized ordinary differential equations (we write generalized ODEs, for short). In order to be able to obtain results for integral equations, we propose extensions of both the Kurzweil integral and the generalized ODEs (found in [36]). We develop the fundamental properties of this new generalized ODE, such as existence and uniqueness of solutions results, and we propose stability concepts for the solutions of our new class of equations. We, then, apply these results to a class of nonlinear Volterra integral equations of the second kind. Finally, we consider a model of population growth (found in [4]) that can be expressed as an integral equation that belongs to this class of nonlinear Volterra integral equations. / Sendo parte de um grupo de pesquisa em equações diferenciais funcionais (escrevemos EDFs), por causa de minha formação em teoria de integração não absoluta e porque certos tipos de EDFs podem ser escritas como equações integrais, decidi estudar esse último tipo de equações. O objetivo desse trabalho, portanto, é desenvolver a teoria de equações integrais, quando as integrais envolvidas são no sentido de Kurzweil-Henstock ou Kurzweil-Henstock-Stieltjes, através da correspondência entre soluções de equações integrais e soluções de equações diferenciais ordinárias generalizadas (ou EDOs generalizadas). A fim de obter resultados para estas equações integrais, propomos extensões de ambas a integral de Kurzweil e as EDOs generalizadas (encontradas em [36]). Desenvolvemos propriedades fundamentais dessa nova EDO generalizada, como resultados de existência e unicidade de solução, e propomos conceitos de estabilidade para as soluções de nossa nova classe de equações. Nós, então, aplicamos esses resultados a uma classe de equações integrais de Volterra não lineares de segunda espécie. Finalmente, consideramos um modelo de crescimento de populações (encontrado em [4]) que pode ser escrito como uma equação integral pertencente a essa classe de equações integrais de Volterra não lineares.

The purpose of this work is to investigate continuous dependence on parameters for generalized linear differential equations in a Banach space- valued setting. More precisely, we establish a theorem inspired by the clas- sical continuous dependence result due to Z. Opial. In addition, our second outcome extends, to Banach spaces, the result proved by M. Ashordia in the framework of finite dimensional generalized linear differential equations. Roughly speaking, the continuous dependence derives from assumptions of uniform convergence of the functions in the right-hand side of the equations, together with the uniform boundedness of variation of the linear terms. Fur- thermore, applications of these results to dynamic equations on time scales and also to functional differential equations are proposed. Besides these results on continuous dependence, we complete the theory of abstract Kurzweil-Stieltjes integration so that it is well applicable for our purposes in generalized linear differential equations. In view of this, our contributions are related not only to differential equations but also to the abstract Kurzweil-Stieltjes integration theory itself. The new results presented in this work are contained in the papers [26] and [27], both accepted for publication / O objetivo deste trabalho é investigar a dependência contínua de soluções em relação a parâmetros para equações diferenciais lineares generalizadas no contexto de espaços de Banach. Mais precisamente, apresentamos um teo- rema inspirado no resultado clássico de dependência contínua obtido por Z. Opial. Nosso segundo resultado estende, para espaços de Banach, o provado por M. Ashordia no contexto de equações diferenciais lineares gen- eralizadas em dimensão finita. Em linhas gerais, a dependência contínua decorre da convergência uniforme das funções à direita das equações, junta- mente com a limitação uniforme da variação dos termos lineares. No mais, são propostas aplicações desses resultados em equações dinâmicas em escalas temporais e também em equações diferenciais funcionais. Além dos resultados em dependência contínua, completamos à teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes de modo que esta se adeque aos nossos propósitos em equações diferenciais lineares generalizadas. Assim, nossas contribuições dizem respeito não apenas a equações diferenciais, mas também a teoria de integração abstrata de Kurzweil-Stieltjes em si. Os resultados originais apresentados neste trabalho estão contidos nos artigos [26] e [27], ambos aceitos para publicação

Being part of a research group on functional differential equations (FDEs, for short), due to my formation in non-absolute integration theory and because certain kinds of FDEs can be expressed as integral equations, I was motivated to investigate the latter. The purpose of this work, therefore, is to develop the theory of integral equations, when the integrals involved are in the sense of Kurzweil- Henstock or Kurzweil-Henstock-Stieltjes, through the correspondence between solutions of integral equations and solutions of generalized ordinary differential equations (we write generalized ODEs, for short). In order to be able to obtain results for integral equations, we propose extensions of both the Kurzweil integral and the generalized ODEs (found in [36]). We develop the fundamental properties of this new generalized ODE, such as existence and uniqueness of solutions results, and we propose stability concepts for the solutions of our new class of equations. We, then, apply these results to a class of nonlinear Volterra integral equations of the second kind. Finally, we consider a model of population growth (found in [4]) that can be expressed as an integral equation that belongs to this class of nonlinear Volterra integral equations. / Sendo parte de um grupo de pesquisa em equações diferenciais funcionais (escrevemos EDFs), por causa de minha formação em teoria de integração não absoluta e porque certos tipos de EDFs podem ser escritas como equações integrais, decidi estudar esse último tipo de equações. O objetivo desse trabalho, portanto, é desenvolver a teoria de equações integrais, quando as integrais envolvidas são no sentido de Kurzweil-Henstock ou Kurzweil-Henstock-Stieltjes, através da correspondência entre soluções de equações integrais e soluções de equações diferenciais ordinárias generalizadas (ou EDOs generalizadas). A fim de obter resultados para estas equações integrais, propomos extensões de ambas a integral de Kurzweil e as EDOs generalizadas (encontradas em [36]). Desenvolvemos propriedades fundamentais dessa nova EDO generalizada, como resultados de existência e unicidade de solução, e propomos conceitos de estabilidade para as soluções de nossa nova classe de equações. Nós, então, aplicamos esses resultados a uma classe de equações integrais de Volterra não lineares de segunda espécie. Finalmente, consideramos um modelo de crescimento de populações (encontrado em [4]) que pode ser escrito como uma equação integral pertencente a essa classe de equações integrais de Volterra não lineares.

Notre travail se consacre à l’étude de l’existence de solution T-anti-périodique de l’équation de Liénard dans le cas impulsif. Dans notre thèse, cette équation sera appliquée à l’équation du pendule simple, de Josephson dans la super-conductivité et enfin à l’équation de Van der Pol pour modéliser un circuit de triode à tube vide. On considérera [florin] et J des actions extérieures sur le système où [florin] est une force Lebesgue intégrable (respectivement Henstock-Kurzweil intégrable au second chapitre) et J (parfois noté I) une stimulation impulsive. En appliquant le théorème du point fixe de Banach, on obtient des théorèmes d’existence de solution au sens de fonctions généralisées soumise à un ensemble de conditions données par les bornes à priori. Ensuite, par le même théorème, la suite d’itérations G[indice supérieur n] ([théta][indice inférieur 0]) converge uniformément vers la solution [théta] à la vitesse de convergence bornée avec la première dérivée […] est de variation totale finie sur [0; 2T] et la dérivée seconde généralisée […] Lebesgue intégrable sur [0; 2T] dans le cas non impulsif. Finalement, sous les mêmes hypothèses avec [florin] Henstock-Kurzweil (HK) intégrable, nous obtiendrons des conditions qui garantissent l’existence d’une solution T-antipériodique [théta] absolument continue sur R de l’équation de Liénard, qui admet à la fois une dérivée première […] de variation bornée et la seconde dérivée généralisée […] qui est HK--intégrable dans le cas non impulsif. Comme au premier chapitre nous considérerons également le cas des instants d’impulsion [gamma][indice inférieur kappa] indépendants d’état avec [florin] HK--intégrable. À chaque fois nous donnons quelques exemples d’illustration pour appuyer nos résultats. [Certains symboles non conformes]