Dans cette thèse nous construisons un groupe faible de cobordisme arithmétique dans le contexte de la géométrie d'Arakelov. Nous introduisons des versions faibles des groupes de K-théorie arithmétique et de Chow arithmétique, et en dégageons une notion de théorie homologique orientée de type arithmétique. Nous construisons alors un groupe universel parmi ces théories homologiques et prouvons ses principales propriétés structurelles. / In this thesis we construct a weak group of arithmetic cobordism in the context of Arakelov geometry. We introduce weak versions of arithmetic K-theory and arithmetic Chow groups, that give rise to the notion of oriented homological theory of arithmetic type. We then build a universal such homological theory, and prove its main structural features.

Nous construisons l'espace des différentielles stables : un espace des modules de différentielles méromorphes avec des pôles d'ordres fixés. Cet espace est un cône au dessus de l'espace Mg,n des courbes stables. Si l'ensemble de poles est vide, il s'agit du fibré de Hodge. Nous introduisons l'anneau tautologique du projectivisé de l'espace des différentielles stables par analogie avec Mg,n. L'espace des différentielles stables est stratifié en fonction des ordres des zéros de la différentielle. Nous montrons que la classe de cohomologie Poincaré-duale de chaque strate est tautologique et peut être calculée explicitement, ce qui constitue le résultat principal de la thèse. Nous appliquons ces résultats pour calculer des nombres de Hurwitz et pour prouver plusieurs identités dans le groupe de Picard des strates. Ensuite, nous nous intéressons aux espaces des modules des différentielles d'ordre supérieur. Une courbe munie d'une k-différentielle holomorphe possède un revêtement naturel de groupe de Galois Z/kZ. Le fibré de Hodge sur la courbe revêtante se décompose en une somme directe de sous-fibrés en fonction du car- actère de Z/kZ. Nous calculons la première classe de Chern de chacun de ces sous-fibrés. Un dernier chapitre sera consacré à l'exposé des liens conjecturaux entre les classes des strates de différentielles, les espaces de courbes r-spin et les cycles de double ramification. / We construct the space of stable differentials: a moduli space of meromorphic differentials with poles of fixed order. This space is a cone over the moduli space Mg,n of stable curves. If the set of poles is empty, then this cone is the Hodge bundle. We introduce the tautological ring of the projectivized space of stable differentials by analogy with Mg,n. The space of stable differentials is stratified according to the orders of zeros of the differential. We show that the Poincaré-dual cohomology classes of these strata are tautological and can be explicitly computed, this constitutes the main result of this thesis. We apply this result to compute Hurwitz numbers and to show several identities in the Picard group of the strata. Then, we interest ourselves to moduli spaces of differentials of superior order. A curve endowed with a k-differential carry a natural ramified covering of Galois group Z/kZ. The Hodge bundle over the covering curve is decomposed into a direct sum of sub-vector bundles according to the character of Z/kZ. We compute the first Chern class of each of these sub-bundles. A last chapter will be dedicated to the presentation of conjectural relations between classes of strata of differentials, moduli of r-spin structures and double ramification cycles.

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes dans le domaine de la géométrie arithmétique, concernant respectivement les points de torsion des variétés abéliennes et le polylogarithme motivique sur les schémas abéliens. La conjecture de Manin-Mumford (démontrée par Raynaud en 1983) affirme que si A est une variété abélienne et X est une sous-variété de A ne contenant aucune translatée d'une sous-variété abélienne de A, alors X ne contient qu'un nombre fini de points de torsion de A. En 1996, Buium présenta une forme effective de la conjecture dans le cas des courbes. Dans cette thèse, nous montrons que l'argument de Buium peut être utilisé aussi en dimension supérieure pour prouver une version quantitative de la conjecture pour une classe de sous-variétés avec fibré cotangent ample étudiée par Debarre. Nous généralisons aussi à toute dimension un résultat sur la dispersion des relèvements p-divisibles non ramifiés obtenu par Raynaud dans le cas des courbes. En 2014, Kings and Roessler ont montré que la réalisation en cohomologie de Deligne analytique de la part de degré zéro du polylogarithme motivique sur les schémas abéliens peut être reliée aux formes de torsion analytique de Bismut-Koehler du fibré de Poincaré. Dans cette thèse, nous utilisons la théorie de l'intersection arithmétique dans la version de Burgos pour raffiner ce résultat dans le cas où la base du schéma abélien est propre. / In this thesis we approach two independent problems in the field of arithmetic geometry, one regarding the torsion points of abelian varieties and the other the motivic polylogarithm on abelian schemes. The Manin-Mumford conjecture (proved by Raynaud in 1983) states that if A is an abelian variety and X is a subvariety of A not containing any translate of an abelian subvariety of A, then X can only have a finite number of points that are of finite order in A. In 1996, Buium presented an effective form of the conjecture in the case of curves. In this thesis, we show that Buium's argument can be made applicable in higher dimensions to prove a quantitative version of the conjecture for a class of subvarieties with ample cotangent studied by Debarre. Our proof also generalizes to any dimension a result on the sparsity of p-divisible unramified liftings obtained by Raynaud in the case of curves. In 2014, Kings and Roessler showed that the realisation in analytic Deligne cohomology of the degree zero part of the motivic polylogarithm on abelian schemes can be described in terms of the Bismut-Koehler higher analytic torsion form of the Poincaré bundle. In this thesis, using the arithmetic intersection theory in the sense of Burgos, we give a refinement of Kings and Roessler's result in the case in which the base of the abelian scheme is proper.