Es sei A_2 der toroidal kompaktifizierte Modulraum prinzipal polarisierter komplexer abelscher Flächen, und M_k(Sp_4(Z)) das Geradenbündel Siegel'scher Modulformen von Gewicht k auf A_2, versehen mit der Petersson-Metrik. Betrachtet man A_2 als komplexe Faser einer arithmetischen Varietät über Spec(Z), und M_k(Sp_4(Z)) als das von einem Geradenbündel auf dieser arithmetischen Varietät induzierte Geradenbündel, so kann man die Frage nach dem arithmetischen Grad dieses Geradenbündels stellen. Wir stellen nachfolgend den Grad als Ausdruck in speziellen Werten der logarithmischen Ableitung der Riemann'schen Zeta-Funktion dar. Der arithmetische Grad setzt sich aus einem Beitrag vom Schnitt über den endlichen Fasern und einem Integral von Green'schen Formen über die komplexe Faser zusammen. Die Berechnung des von der komplexen Faser A_2 induzierten Anteils am arithmetischen Grad erfolgt durch eine spezifische Wahl von Schnitten von M_k(Sp_4(Z)), deren Eigenschaften bekannt oder durch ihre Darstellung als Polynome in Theta-Funktionen ableitbar sind. Mittels eines induktiven Arguments werden wir das Integral über das Stern-Produkt der zugehörigen Green'schen Formen auf eine Summe von Integralen über spezielle Zykel zurückführen, die beim sukzessiven Schneiden der zu den Schnitten gehörigen Divisoren auftauchen. Bei diesem Prozess entstehen Randterme in Form von Integralen um den toroidalen Rand. Wir werden zeigen, dass diese verschwinden, indem wir Minkowski-Theorie anwenden und eine bestimmte Wahl der Teilung der Eins treffen, die in der arithmetischen Schnitttheorie für logarithmisch singuläre Metriken auftaucht. Die Integrale über die speziellen Zykel berechnen wir durch Zurückführen auf ein Resultat von Kudla sowie auf eine modulare Version der Jensen-Formel. / Let A_2 be the toroidally compactified moduli stack of principally polarized complex abelian surfaces, and let M_k(Sp_4(Z)) be the line bundle of Siegel modular forms of weight k on A_2, equipped with the Petersson metric. Viewing A_2 as the complex fibre of an arithmetic variety over Spec(Z), and M_k(Sp_4(Z)) as the complex line bundle induced by a line bundle on this arithmetic variety, we can ask for the arithmetic degree of this line bundle. We will state a formula for the arithmetic degree in terms of special values of the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function. The arithmetic degree consists of a contribution from intersection over Spec(Z), and from an integral of Green forms over the complex fibre. The computation of the summand of the arithmetic degree coming from the complex fibre A_2 will be approached by making a specific choice of sections of M_k(Sp_4(Z)), whose behaviour is well-known or can be worked out by their representation via theta-functions. With an induction argument, we will trace back the integral over the star-product of the corresponding Green forms to a sum of integrals over particular cycles on A_2 coming from the successive intersection of the divisors of these sections, as well as some boundary terms in the form of integrals around the toroidal boundary. We will prove that the boundary terms vanish, using Minkowski theory and a specific choice of the partition of unity that appears in arithmetic intersection theory for logarithmically singular metrics. The integrals over the special cycles will be traced back to results of Kudla and an application of a modular version of Jensen's formula.

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes dans le domaine de la géométrie arithmétique, concernant respectivement les points de torsion des variétés abéliennes et le polylogarithme motivique sur les schémas abéliens. La conjecture de Manin-Mumford (démontrée par Raynaud en 1983) affirme que si A est une variété abélienne et X est une sous-variété de A ne contenant aucune translatée d'une sous-variété abélienne de A, alors X ne contient qu'un nombre fini de points de torsion de A. En 1996, Buium présenta une forme effective de la conjecture dans le cas des courbes. Dans cette thèse, nous montrons que l'argument de Buium peut être utilisé aussi en dimension supérieure pour prouver une version quantitative de la conjecture pour une classe de sous-variétés avec fibré cotangent ample étudiée par Debarre. Nous généralisons aussi à toute dimension un résultat sur la dispersion des relèvements p-divisibles non ramifiés obtenu par Raynaud dans le cas des courbes. En 2014, Kings and Roessler ont montré que la réalisation en cohomologie de Deligne analytique de la part de degré zéro du polylogarithme motivique sur les schémas abéliens peut être reliée aux formes de torsion analytique de Bismut-Koehler du fibré de Poincaré. Dans cette thèse, nous utilisons la théorie de l'intersection arithmétique dans la version de Burgos pour raffiner ce résultat dans le cas où la base du schéma abélien est propre. / In this thesis we approach two independent problems in the field of arithmetic geometry, one regarding the torsion points of abelian varieties and the other the motivic polylogarithm on abelian schemes. The Manin-Mumford conjecture (proved by Raynaud in 1983) states that if A is an abelian variety and X is a subvariety of A not containing any translate of an abelian subvariety of A, then X can only have a finite number of points that are of finite order in A. In 1996, Buium presented an effective form of the conjecture in the case of curves. In this thesis, we show that Buium's argument can be made applicable in higher dimensions to prove a quantitative version of the conjecture for a class of subvarieties with ample cotangent studied by Debarre. Our proof also generalizes to any dimension a result on the sparsity of p-divisible unramified liftings obtained by Raynaud in the case of curves. In 2014, Kings and Roessler showed that the realisation in analytic Deligne cohomology of the degree zero part of the motivic polylogarithm on abelian schemes can be described in terms of the Bismut-Koehler higher analytic torsion form of the Poincaré bundle. In this thesis, using the arithmetic intersection theory in the sense of Burgos, we give a refinement of Kings and Roessler's result in the case in which the base of the abelian scheme is proper.