Es wird die Theorie der generischen pro-$p$ Hecke-Algebren und ihrer Bernstein-Abbildungen entwickelt. Für eine Unterklasse diese Algebren, der \textit{affinen} pro-$p$ Hecke-Algebren wird ein Struktursatz bewiesen, nachdem diese Algebren unter anderem stets noethersch sind, wenn es der Koeffizientenring ist. Hilfsmittel ist dabei der Nachweis der Bernsteinrelationen, der in abstrakter Weise geführt wird und so die bestehende Theorie verallgemeinert. Ferner wird der top. Raum der Orientierungen einer Coxetergruppe eingeführt und im Falle der erweiterten modularen Gruppe $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$ untersucht, und ausgenutzt um Kenntnisse über die Struktur der zugehörigen Hecke-Algebra als Modul über einer gewissen Unteralgebra, welche zur Spitze im Unendlichen zugeordnet ist, zu erlangen. Schließlich wird die Frage des Zerfallens des Normalisators eines maximalen zerfallenden Torus innerhalb einer zerfallenden reduktiven Gruppe als Erweiterung der Weylgruppe durch die Gruppe der rationalen Punkte des Torus untersucht, und mittels zuvor erreichter Ergebnisse auf eine kohomologische Frage zurückgeführt. Zur Teilbeantwortung dieser werden dann die Kohomologiegruppen bis zur Dimension drei der Kocharaktergitter der fasteinfachen halbeinfachen Wurzeldaten einschließlich des Rangs 8 berechnet. Mittels der Theorie der $\mathbf{FI}$-Moduln wird daraus die Berechnung der Kohomologie der mod-2-Reduktion der Kowurzelgitter für den Typ $A$ in allen Rängen bewiesen. / The theory of generic pro-$p$ Hecke algebras and their Bernstein maps is developed. For a certain subclass, the \textit{affine} pro-$p$ Hecke algebras, we are able to prove a structure theorem that in particular shows that the latter algebras are always noetherian if the ring of coefficients is. The crucial technical tool are the Bernstein relations, which are proven in an abstract way that generalizes the known cases. Moreover, the topological space of orientations is introduced and studied in the case of the extended modular group $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$, and used to determine the structure of its Hecke algebra as a module over a certain subalgebra, attached to the cusp at infinity. Finally, the question of the splitness of the normalizer of a maximal split torus inside a split reductive groups as an extension of the Weyl group by the group of rational points is studied. Using results obtained previously, this questioned is then reduced to a cohomological one. A partial answer to this question is obtained via computer calculations of the cohomology groups of the cocharacter lattices of all almost-simple semisimple root data of rank up to $8$. Using the theory of $\mathbf{FI}$-modules, these computations are used to determine the cohomology of the mod 2 reduction of the coroot lattices for type $A$ and all ranks.

Es sei A_2 der toroidal kompaktifizierte Modulraum prinzipal polarisierter komplexer abelscher Flächen, und M_k(Sp_4(Z)) das Geradenbündel Siegel'scher Modulformen von Gewicht k auf A_2, versehen mit der Petersson-Metrik. Betrachtet man A_2 als komplexe Faser einer arithmetischen Varietät über Spec(Z), und M_k(Sp_4(Z)) als das von einem Geradenbündel auf dieser arithmetischen Varietät induzierte Geradenbündel, so kann man die Frage nach dem arithmetischen Grad dieses Geradenbündels stellen. Wir stellen nachfolgend den Grad als Ausdruck in speziellen Werten der logarithmischen Ableitung der Riemann'schen Zeta-Funktion dar. Der arithmetische Grad setzt sich aus einem Beitrag vom Schnitt über den endlichen Fasern und einem Integral von Green'schen Formen über die komplexe Faser zusammen. Die Berechnung des von der komplexen Faser A_2 induzierten Anteils am arithmetischen Grad erfolgt durch eine spezifische Wahl von Schnitten von M_k(Sp_4(Z)), deren Eigenschaften bekannt oder durch ihre Darstellung als Polynome in Theta-Funktionen ableitbar sind. Mittels eines induktiven Arguments werden wir das Integral über das Stern-Produkt der zugehörigen Green'schen Formen auf eine Summe von Integralen über spezielle Zykel zurückführen, die beim sukzessiven Schneiden der zu den Schnitten gehörigen Divisoren auftauchen. Bei diesem Prozess entstehen Randterme in Form von Integralen um den toroidalen Rand. Wir werden zeigen, dass diese verschwinden, indem wir Minkowski-Theorie anwenden und eine bestimmte Wahl der Teilung der Eins treffen, die in der arithmetischen Schnitttheorie für logarithmisch singuläre Metriken auftaucht. Die Integrale über die speziellen Zykel berechnen wir durch Zurückführen auf ein Resultat von Kudla sowie auf eine modulare Version der Jensen-Formel. / Let A_2 be the toroidally compactified moduli stack of principally polarized complex abelian surfaces, and let M_k(Sp_4(Z)) be the line bundle of Siegel modular forms of weight k on A_2, equipped with the Petersson metric. Viewing A_2 as the complex fibre of an arithmetic variety over Spec(Z), and M_k(Sp_4(Z)) as the complex line bundle induced by a line bundle on this arithmetic variety, we can ask for the arithmetic degree of this line bundle. We will state a formula for the arithmetic degree in terms of special values of the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function. The arithmetic degree consists of a contribution from intersection over Spec(Z), and from an integral of Green forms over the complex fibre. The computation of the summand of the arithmetic degree coming from the complex fibre A_2 will be approached by making a specific choice of sections of M_k(Sp_4(Z)), whose behaviour is well-known or can be worked out by their representation via theta-functions. With an induction argument, we will trace back the integral over the star-product of the corresponding Green forms to a sum of integrals over particular cycles on A_2 coming from the successive intersection of the divisors of these sections, as well as some boundary terms in the form of integrals around the toroidal boundary. We will prove that the boundary terms vanish, using Minkowski theory and a specific choice of the partition of unity that appears in arithmetic intersection theory for logarithmically singular metrics. The integrals over the special cycles will be traced back to results of Kudla and an application of a modular version of Jensen's formula.

In dieser Arbeit behandeln wir die birationale Geometrie verschiedener Modulräume; die Modulräume von Kurven mit einem k-Differential mit vorgeschierbenen Nullen, besser bekannt als Strata von Differenzialen, Moduln von K3 Flächen mit markierten Punkten und Moduln von Kurven. Für bestimmte Geschlechter nennen wir Abschätzungen der Kodaira-Dimension, konstruieren unirationale Parametrisierungen, rationale deckende Kurven und unterschiedliche birationale Modelle. In Kapitel 1 führen wir die zu untersuchenden Objekte ein und geben einen kurzen Überblick ihrer wichtigsten Eigenschaften und offenen Problemen. In Kapitel 2 konstruieren wir einen Hilfsmodulraum, der als Brücke zwischen bestimmten finiten Quotienten von Mgn für kleines g und den Moduln der polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 dient. Wir entwickeln die Deformationstheorie, die nötig ist, um die Eigenschaften und die oben genannten Modulräume zu erforschen. In Kapitel 3 bedienen wir uns dieser Werkzeuge, um birationale Modelle für Moduln polarisierter K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit markierten Punkten zu konstruieren. Diese nutzen wir, um Resultate über die Kodaira-Dimension herzuleiten. Wir beweisen, dass der Modulraum von polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit n markierten Punkten unirational ist, falls n<=6, und uniruled, falls n<=7. Wir beweisen auch, dass die Kodaira-Dimension von Modulraum von polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit n markierten Punkten nicht-negativ ist für n>= 9. Im letzten Kapitel gehen wir noch auf die fehlenden Fälle der Kodaira-Klassifizierung von Mgnbar ein. Schliesslich behandeln wir in Kapitel 4 die birationale Geometrie mit Blick auf die Strata von holomorphen und quadratischen Differentialen. Wir zeigen, dass die Strata holomorpher und quadratischer Differentiale von niedrigem Geschlecht uniruled sind, indem wir rationale Kurven mit pencils auf K3 und del Pezzo Flächen konstruieren. Durch das Beschränken des Geschlechts 3<= g<=6 bilden wir projektive Bündel über rationale Varietäten, die die holomorphe Strata mit maximaler Länge g-1 dominieren. Also zeigen wir auch, dass diese Strata unirational sind. / In this thesis we investigate the birational geometry of various moduli spaces; moduli spaces of curves together with a k-differential of prescribed vanishing, best known as strata of differentials, moduli spaces of K3 surfaces with marked points, and moduli spaces of curves. For particular genera, we give estimates for the Kodaira dimension, construct unirational parameterizations, rational covering curves, and different birational models. In Chapter 1 we introduce the objects of study and give a broad brush stroke about their most important known features and open problems. In Chapter 2 we construct an auxiliary moduli space that serves as a bridge between certain finite quotients of Mgn for small g and the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven. We develop the deformation theory necessary to study properties of the mentioned moduli space. In Chapter 3 we use this machinery to construct birational models for the moduli spaces of polarized K3 surfaces of genus eleven with marked points and we use this to conclude results about the Kodaira dimension. We prove that the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven with n marked points is unirational when n<= 6 and uniruled when n<=7. We also prove that the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven with n marked points has non-negative Kodaira dimension for n>= 9. In the final section, we make a connection with some of the missing cases in the Kodaira classification of Mgnbar. Finally, in Chapter 4 we address the question concerning the birational geometry of strata of holomorphic and quadratic differentials. We show strata of holomorphic and quadratic differentials to be uniruled in small genus by constructing rational curves via pencils on K3 and del Pezzo surfaces respectively. Restricting to genus 3<= g<=6 we construct projective bundles over rational varieties that dominate the holomorphic strata with length at most g-1, hence showing in addition, these strata are unirational.

In dieser Dissertationsschrift soll erkl{\"a}rt werden, wie auf der Grundlage von einfachen Strata, wie sie in einer gemeinsamen Arbeit mit Broussous \cite{BG} betrachtet wurden, einfache Charaktere f{\"u}r lokale einfache Algebren konstruiert werden k{\"o}nnen, wobei die Konstruktion den Vorbildern von Bushnell und Kutzko im zerfallenden Fall \cite{BK1} und von Zink \cite{Z7} im Falle eines Schiefk{\"o}rpers folgt. Der Begriff des einfachen Charakters geht auf die Arbeit \cite{BK1} zur{\"u}ck und bezeichnet eine ausgezeichnete Auswahl von Heisenbergcharakteren, die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter zugeordnet wird, der zu einer absteigenden Normalreihe $$1+\R\supset1+\R^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, wobei $\R$ das Jacobsonradikal einer erblichen Ordnung bezeichnet. Wir werden hier nur von Hauptordnungen ausgehen, d.h. von dem Fall, da{ss} $\R$ und seine Potenzen gebrochene Hauptideale sind. Diese Vorgehensweise und auch die besondere Auswahl der Heisenbergcharaktere in Form von einfachen Charakteren, wird durch die Konstruktion im Falle eines Schiefk{\"o}rpers \cite{Z7} und durch den abstrakten Matchingsatz \cite{BDKV} gerechtfertigt. Im Falle eines lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers ist n{\"a}mlich der Bewertungsring die einzige erbliche Ordnung und die einfachen Charaktere sind alle Heisenbergcharaktere die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter, der zur absteigenden Normalreihe $$1+\pin_D\supset1+\pin_D^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, zugeordnet wird, wobei $\pin_D$ das Bewertungsideal des Schiefk{\"o}rpers $D$ bezeichnet. Der abstrakte Matchingsatz liefert nun die Existenz einer Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ und den irreduziblen quadratintegrierbaren glatten Darstellungen einer beliebigen anderen lokalen zentraleinfachen Algebra vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben nicht-archimedischen Grundk{\"o}rper $F$, welche den Charakter einer Darstellung in dem Sinne erh{\"a}lt, da{ss} die Charakterwerte auf den Konjugationsklassen elliptischer Elemente der verschiedenen Algebren, welche mithilfe ihrer Minimalpolynome identifiziert werden k{\"o}nnen, bis auf ein Vorzeichen {\"u}bereinstimmen. Wir werden hier kanonische Bijektionen zwischen den einfachen Charakteren f{\"u}r verschiedene zentraleinfache Algebren vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben Grundk{\"o}rper angeben, von denen wir erwarten, da{ss} sie mit der Abbildung des abstrakten Matchingsatzes vertr{\"a}glich sind. Das dieses in der Tat der Fall ist, wurde bisher nur in einfachen F{\"a}llen wie \cite{He} und \cite{BH2} gezeigt, jedoch wurde in der Arbeit \cite{Z4} bereits mithilfe der Konstruktionen von \cite{Z7} und \cite{BK3} eine Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ vom Index $N$ {\"u}ber einem Grundk{\"o}rper $F$ und den irreduziblen essentiell quadratintegrierbaren glatten Darstellungen von $Gl_N(F)$ konstruiert, welche den Artinf{\"u}hrer und den formalen Grad einer Darstellung erh{\"a}lt. Da die Abbildung des abstrakten Matchingsatzes dieselben Forderungen erf{\"u}llt, kommt dies der gew{\"u}nschten Vertr{\"a}glichkeit schon sehr nahe und wir erf{\"u}llen mit unserer Konstruktion insbesondere die in der Arbeit \cite{Z4} gemachte Forderung die dort im Bezug auf die einfachen Charaktere getroffen Auswahlen noch unabh{\"a}ngiger von den jeweiligen Algebren zu gestalten. Die hier getroffene Auswahl wird durch die Verwendung sogenannter spezieller approximierender Folgen getroffen, welche sich aus einer Verallgemeinerung der in \cite{BG} gemachten {\"U}berlegungen ergeben. Im Anschlu{ss} an die Konstruktion und den Vergleich einfacher Charaktere werden wir in einer gro{ss}en Anzahl von F{\"a}llen zeigen, da{ss} sich die Heisenbergdarstellungen, die wir zu den einfachen Charakteren erhalten, in kanonischer Weise fortsetzen lassen und wir erwarten von diesen Fortsetzungen, da{ss} sie analoge Eigenschaften besitzen, wie die sogenannten ``$\beta$-Fortsetzungen'' von \cite{BK1}(5.2.1) im zerfallenden Fall. Damit k{\"o}nnen wir in diesen F{\"a}llen eine Liste von hypothetischen einfachen Typen angeben, von denen wir vermuten, da{ss} sie alle Bernsteinkomponenten parametrisieren, welche irreduzible essentiell quadratintegrierbare Darstellungen enthalten. Insbesondere vermuten wir, da{ss} sich die supercuspidalen Darstellungen mittels kompakter Induktion aus Fortsetzungen solcher einfacher Typen auf eine kompakt modulo Zentrum Untergruppe gewinnen lassen. Um die Vollst{\"a}ndigkeit dieser Konstruktion zu demonstrieren, h{\"a}tten wir allerdings noch die Eigenschaft ``Verkettung impliziert Konjugation'' zu zeigen, welche wir ebenfalls auf eine Folgearbeit verschieben m{\"u}ssen. Beabsichtig w{\"a}re dann ein Vollst{\"a}ndigkeitsbeweis mit dem abstrakten Matchingsatz wie bei L. Corwin \cite{Co} oder in \cite{Z4}. Wir weisen hier nur in Spezialf{\"a}llen nach, dass die Typendarstellungen, welche wir hier angegeben haben, tats{\"a}chlich Typen im Sinne von \cite{BK4}(4.1)(4.2) sind. Insbesondere sind es auch unsere Berechnungen in der Arbeit \cite{GSZ}, welche dem von uns im Geiste von \cite{Z7} und \cite{BK1} gemachten Ans{\"a}tzen hohe Evidenz geben. / In this thesis, we try to explain how simple characters for arbitrary central simple algebras over a non-archimedian local field $F$ can be constructed. Moreover, we introduce a kind of matching of simple characters between different algebras of fixed reduced degree. If the index of the algebra $A$ is odd or $A=M_l(D)$, where $l$ is an arbitrary prime number and $D$ a central division algebra over $F$, we can extend the Heisenberg representations associated to the simple characters to level-0 and obtain a hypothetical list of simple types. For $A=M_l(D)$ and if the residual field of $F$ is not the field with two elements, we can proof that all so-called maximal simple types in our list are simple types in the sense of \cite{BK4} and their extensions to their stabelizers induce supercupidal representations of $G_l(D)$. Using the the heuristical relation via the abstract matching theorem of \cite{BDKV} to the cases of a division algebra due to \cite{Z5} and to the split case due to \cite{BK1}, we conjecture that all supercuspidal representations of $Gl_l(D)$ can be obtained by this way.

Eine Quantengruppe ist eine nichtkommutative und nichtkokommutative Hopfalgebra. In dieser Arbeit konstruieren wir eine Deformation der lokalkonvexen Hopfalgebra der lokalanalytischen Funktionen auf GL(2,O), wobei O hier der Bewertungsring einer endlichen Erweiterung der p-adischen Zahlen ist. Wir zeigen, dass diese Deformation eine nichtkommutative, nichtkokommutative lokalkonvexe Hopfalgebra, also eine p-adische Quantengruppe, ist. Unser Hauptresultat ist, dass das starke Dual dieser Deformation eine Fréchet-Stein Algebra ist. Dies bedeutet, dass das starke Dual ein projektiver Limes von noetherschen Banachalgebren unter rechtsflachen Übergangsabbildungen ist. Im kommutativen Fall wurde dies von P. Schneider und J. Teitelbaum gezeigt. Unser Beweis im nichtkommutativen Fall benutzt Ideen von M. Emerton, der einen alternativen Beweis im kommutativen Fall gefunden hat. Für unseren Beweis beschreiben wir gewisse Vervollständigungen der quanten-einhüllenden Algebra und benutzen die Technik der partiell dividierten Potenzen. Eine wichtige Klasse lokalanalytischer Darstellungen von GL(2,K) wird mithilfe globaler Schnitte von Linienbündeln auf der p-adischen oberen Halbebene konstruiert. Wir konstruieren ein nichtkommutatives Analogon der p-adischen oberen Halbebene, von dem wir erwarten, dass es interessante Darstellungen unserer p-adischen Quantengruppe induziert. Die wichtigsten Hilfsmittel der Konstruktion sind die Maninsche Quantenebene, der Bruhat-Tits Baum für PGL(2,K) und die Theorie der algebraischen Mikrolokalisierung. / A quantum group is a noncommutative noncocommutative Hopf algebra. In this thesis we deform the locally convex Hopf algebra of locally analytic functions on GL(2,O), where O is the valuation ring of a finite extension of the p-adic numbers. We show that this deformation is a noncommutative noncocommutative locally convex Hopf algebra, i.e. a p-adic quantum group. Our main result is that the strong dual of our deformation is a Fréchet Stein algebra, i.e. a projective limit of Noetherian Banach algebras with right flat transition maps. This was shown in the commutative case by P. Schneider and J. Teitelbaum. For our proof in the noncommutative case we use ideas of M. Emerton, who gave an alternative proof of the Fréchet Stein property in the commutative case. For the proof we describe completions of the quantum enveloping algebra and use partial divided powers. An important class of locally analytic representations of GL(2,K) is constructed from global sections of line bundles on the p-adic upper half plane. We construct a noncommutative analogue of an affine version of the p-adic upper half plane which we expect to give rise to interesting representations of our p-adic quantum group. We construct this space by using the Manin quantum plane, the Bruhat-Tits tree for PGL(2,K) and the theory of algebraic microlocalization.

In der gegebenen Arbeit werden hoeherdimensionale lokale Schiefkoerper, die natuerliche Verallgemeinerung von n-dimensionalen lokalen Koerpern, untersucht. Wir untersuchen nur Schiefkoerper mit kommutativem Restschiefkoerper. Wir geben eine hinreichende Bedingung fuer die Spaltbarkeit von Schiefkoerpern. Naemlich, ein lokaler Schiefkoerper ist spaltbar, falls er einen kanonischen Automorphismus unendlicher Ordnung hat. Wir klassifizieren alle Schiefkoerper, die diese Bedingung bis auf Isomorphie erfuellen. Die Ergebnisse sind unabhaengig von der Charakteristik des Schiefkoerpers. Wir klassifizieren auch alle lokalen spaltbaren Schiefkoerper von Charakteristik 0 mit kommutativem Restschiefkoerper und mit kanonischem Automorphismus von endlicher Ordnung. Unter anderem geben wir ein Kriterium, wann zwei Elemente aus einem solchen Schiefkoerper konjugiert sind. Als Folgerung beweisen wir, dass fast alle solche Schiefkoerper unendlichdimensional ueber ihrem Zentrum sind. Ausserdem beweisen wir, dass das Skolem-Noether Theorem nur in dem Fall des klassischen Ringes der Pseudodifferentialoperatoren richtig ist. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Die Untersuchung von lokalen Schiefkoerpern fuehrte zu einigen neuen unerwarteten Ergebnissen in der Bewertungstheorie auf endlichdimensionalen Algebren. Wir bekommen den Zerlegungssatz fuer wilde Divisionalgebren ueber Laurentreihen-Koerpern mit beliebigem Restkoerper der Charakteristik groesser als zwei. Dieses Theorem ist die Verallgemeinerung des Zerlegungssatzes fuer zahme Divisionalgebren von Jacob und Wadsworth. Als Folgerung bekommen wir die positive Antwort auf die folgende Vermutung: Fuer jede Divisionalgebra A ueber den Koerper F((t)), wo F ein quasialgebraisch abgeschlossener Koerper ist, muss der Exponent von A gleich dem Index von A sein. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Anderseits, fuehrt das Problem der Klassifizierung lokaler Schiefkoerper zu dem Problem der Klassifizierung der Konjugationsklassen in der Automorphismengruppe von n-dimensionalen lokalen (kommutativen) Koerpern. Wir loesen diese Aufgabe fuer die Gruppe der stetigen Automorphismen von 1- und 2-dimensionalen lokalen Koerpern. / In this work we study local skew fields, which are natural generalization of n-dimensional local fields, and their applications to the theory of central division algebras over henselian fields. We study mostly two-dimensional local skew fields with commutative residue skew field. The sufficient condition for a skew field to be split is given. Namely, a local skew field splits if the canonical automorphism has infinite order. We classify all the skew fields which posess this condition up to isomorphism. These results don't depend on the characteristic of a skew field. We classify all local splittable skew fields of characteristic 0 with commutative residue skew field and with the canonical automorphism of finite order as well. Some other properties of local skew fields are studied. In particular, we give a criterium when two elements from such a skew field conjugate. As a corollary we prove that almost all such skew fields are infinite dimensional over their center. Also we prove that the Scolem-Noether theorem holds only in the case of the classical ring of pseudo-differential operators. Studying of local skew fields leads to some new unexpected results in the valuation theory on finite dimensional division algebras. We get a decomposition theorem for some class of wild division algebras over a Laurent series field with arbitrary residue field of characteristic greater than two. This theorem is a generalization of the decomposition theorem for tame division algebras given by B.Jacob and A.Wadsworth. As a corollary we get the positive answer on the following conjecture: the exponent of a division algebra is equal to its index if the centre of this algebra is a Laurent series field with arbitrary quasialgebraically closed residue field. Using some ideas of A.N. Parshin, who raised a problem of classifying local skew fields, we get some applications of developed theory to the Krichever correspondence. Namely, we get some generalizations of the classical KP-equations (hierarchy). The problem of classification of local skew fields leads to the problem of classification of conjugacy classes in the automorphism group of an n-dimensional local (commutative) field. We solve this problem for the group of continuous automorphisms of one- and two- dimensional local fields.

In dieser Arbeit untersuchen wir drei Fragestellungen. Zwei beschäftigen sich mit Divisoren auf Modulräumen von Kurven mit Levelstruktur, die dritte handelt von Stabilitätseigenschaften der Normalenbündel von kanonischen Kurven. Die erste Frage, die in Kapitel 2 studiert wird, beschäftigt sich mit der Kodairadimension des Modulraums R15,2 von Prym-Varietäten vom Geschlecht 15. Wir studieren einen neuen Divisor auf diesem Modulraum und berechnen seine Klasse in der Standardbasis der Picardgruppe. Mit Hilfe dieser Klasse können wir schlussfolgern, dass R15,2 von allgemeinem Typ ist. In Kapitel 3 setzen wir unsere Untersuchung von Kurven mit Levelstruktur fort und untersuchen für jede Primzahl l Theta-Divisoren auf den Modulräumen R6,l und R8,l. Die Divisoren werden mit Hilfe der Mukai-Bündel von Kurven vom Geschlecht 6 beziehungsweise 8 definiert. Diese Bündel liefern kanonische Einbettungen unserer Kurven in Grassmann-Varietäten und beschreiben fundamentale geometrische Aspekte von Kurven dieser Geschlechter. Indem wir die Klasse des Divisors für g = 8 und l = 3 berechnen, können wir zeigen, dass R8,3 ebenfalls von allgemeinem Typ ist. Schließlich studieren wir in Kapitel 4 die Stabilität des Normalenbündels kanonischer Kurven vom Geschlecht 8 und beweisen, dass das Bündel auf einer generischen Kurve stabil ist. Für kanonische Kurven vom Geschlecht 9 beweisen wir die Stabilität zumindest im Bezug auf Unterbündel von niedrigem Rang. Ebenfalls liefern wir zusätzliche Hinweise für die Vermutung von M. Aprodu, G. Farkas und A. Ortega, die besagt, dass eine generische kanonische Kurve jedes Geschlechts g >= 7 ein stabiles Normalenbündel besitzt. / In this thesis we investigate three questions. Two are about divisors on moduli spaces of level curves, and about the consequences for the birational geometry of these spaces. The third asks about the stability properties of normal bundles of canonical curves. The first question, to be studied in Chapter 2, is about the Kodaira dimension of the moduli space R15,2 of Prym varieties of genus 15. We study a new divisor on this space and calculate its class in terms of the standard basis of the Picard group. This allows us to conclude that R15,2 is of general type. Continuing the study of level curves in Chapter 3, we investigate, for every l, theta divisors on R6,l and R8,l defined in terms of the Mukai bundle of genus 6 and 8 curves, respectively. These bundles provide canonical embeddings of our curves in Grassmann varieties and describe fundamental aspects of the geometry of curves of these genera. Using the class of the divisor for g = 8 and l = 3, we are able to prove that R8,3 is of general type as well. Finally, in Chapter 4 we study the stability of the normal bundle of canonical genus 8 curves and prove that on a general curve the bundle is stable. For canonical genus 9 curves we prove stability at least with respect to subbundles of low ranks. We also provide some more evidence for the conjecture of M. Aprodu, G. Farkas, and A. Ortega that a a general canonical curve of every genus g >= 7 has stable normal bundle.

In dieser Doktorarbeit untersuchen wir einige Modulräume der Prym-Paaren, Prym-Varietäten und Spin-Kurven. Nachdem der passende theoretische Rahmen eingeführt wird, erhalten wir neue Ergebnisse zu zwei verschiedenen Aspekten ihrer Geometrie, die wir in zwei entsprechenden Kapiteln beschreiben. In Kapitel 1 betrachten wir die universelle Prym-Varietät über dem Modulraum R_g der Prym-Paaren vom Geschlecht g und bestimmen ihre Unirationalität für g=3. Dazu bilden wir eine explizite rationale Parametrisierung der universellen 2-fachen Prym-Kurve über R_3, die die universelle Prym-Varietät durch die globale Version der Abel-Prym-Abbildung dominiert. Darüber hinaus passen wir den Beweis an den Rahmen von Nikulin-Flächen an und zeigen, dass die universelle doppelte Nikulin-Fläche ebenfalls unirational ist. In Kapitel 2 untersuchen wir die Wechselwirkung zwischen R_g und dem Modulraum S_g der (stabilen) Spin-Kurven vom Geschlecht g. Wenn man den Divisor der Kurven, die mit einem verschwindenden Thetanull ausgestattet sind, von S_g^+ nach R_g versetzt, erhält man zwei geometrische Divisoren der (stabilen) Prym-Kurven mit einem verschwindenden Thetanull. Wir verwenden Testkurventechniken, um die Klassen dieser (Prym-Null-)Divisoren für g>=5 zu berechnen, und werten die Prymnull-Klassen auf einigen weiteren Familien von Kurven aus, um ihre verschwindenden Thetanulls zu analysieren. Darüber hinaus diskutieren wir am Ende von Kapitel 2 eine mögliche Kompaktifizierung des Modulraums der Kurven, die eine doppelte Quadratwurzel tragen. Anschließend untersuchen wir den Rand des Modulraums RS_g der (stabilen) Prym-Spin-Kurven vom Geschlecht g und überprüfen die Prymnull-Klassen anhand des Diagramms R_g<--RS_g-->S_g. Zum Schluss schlagen wir eine Erweiterung des Produkts von Wurzeln, das über glatten Kurven durch das Tensorprodukt definiert ist, zu einer Operation auf stabilen Doppelwurzeln vor. / In this thesis, we study several moduli spaces of Prym pairs, Prym varieties, and spin curves. After the appropriate theoretical framework is introduced, we obtain new results concerning two different aspects of their geometry, which we describe across two corresponding chapters. In Chapter 1, we consider the universal Prym variety over the moduli space R_g of Prym pairs of genus g, and determine its unirationality for g=3. To do this, we build an explicit rational parametrization of the universal 2-fold Prym curve over R_3, which dominates the universal Prym variety through the global version of the Abel-Prym map. Furthermore, we adapt the proof to the setting of Nikulin surfaces and show that the universal double Nikulin surface is also unirational. In Chapter 2, we explore the interaction between R_g and the moduli space S_g of (stable) spin curves of genus g. When the divisor of curves equipped with a vanishing theta-null is moved from S_g^+ to R_g, it yields two geometric divisors of (stable) Prym curves with a vanishing theta-null. We use test curve techniques to compute the classes of these (Prym-null) divisors for g>=5, and evaluate the Prym-null classes on some more families of curves in order to analyse their vanishing theta-nulls. In addition, at the end of Chapter 2 we discuss a potential compactification of the moduli space of curves carrying a double square root. We then examine the boundary of the moduli space RS_g of (stable) Prym-spin curves of genus g and check the Prym-null classes against the diagram R_g<--RS_g-->S_g. Finally, we propose an extension of the product of roots, defined over smooth curves by the tensor product, to an operation on stable double roots.