Nesta tese, apresentamos estudos de magnetotransporte em poços quânticos duplos (DQWs) a campos magnéticos de baixo e sob a aplicação de um campo elétrico externo (potencial de porta). Medidas de magnetorresistência foram realizadas tanto no regime linear quanto no regime não linear. Relatamos a observação de oscilações magnéticas de inter-sub-banda (MIS) pela primeira vez. Estas oscilações MIS já foram estudadas em poços quânticos simples (QWs) com duas sub-bandas ocupadas; um DQW´e o sistema mais apropriado para o estudo das oscilações MIS. As oscilações MIS são atribuídas ao espalhamento inter-sub-banda, e a intensidade delas depende da largura da barreira (relacionada ao gap de energia entre as duas sub-bandas ocupadas, SAS). O estudo das oscilações MIS é uma ferramenta importante para poder acessar ao tempo de vida quântico dos elétrons a temperaturas onde as oscilações Shubnikov-de Haas (SdH) já não são observadas. Em nossas amostras, as oscilações MIS persistem até 25 K. Explicamos estes resultados num modelo teórico considerando um potencial de espalhamento de curto alcance com uma contribuição significativa do tempo de espalhamento elástico dos elétrons e uma contribuição do espalhamento elétron-elétron (e-e) com o aumento da temperatura. A aplicação de um campo elétrico externo (correntes dc) modifica fortemente as oscilações MIS. Descrevemos este efeito não linear causado pelo campo elétrico dc com uma função de distribuição oscilatória. Considerando o aquecimento dos elétrons pelo campo elétrico, é extraído o tempo de espalhamento inelástico. Para correntes dc grandes são encontradas discrepâncias entre o experimento e a teoria. Finalmente, consideramos medidas de magnetotransporte como função de potenciais de porta (porta na superficie) levando ao desbalance do DQW. Encontramos que as contribuições clássica e quântica são necessárias para a descrição teórica da magnetorresistência. Descrevemos as contribuições da magnetorresistência em termos das taxas de espalhamento inter e intra sub-banda utilizando uma função gaussiana como função da correlação do potencial. / In this thesis we present studies of magnetotransport in double quantum wells (DQWs) in low magnetic fields and under application of an external electric field (gate potential). Measurements of magnetoresistance have been carried out in both linear and non-linear regime. We report on the observation of magneto-intersubband (MIS) oscillations for the first time. These MIS oscillations have been studied already in quantum wells (QWs) with two occupied subbands, DQW is the most convenient system for studies of MIS oscillations. They are attributed to intersubband scattering and the strength of MIS oscillations depends on the barrier width (´delta´SAS). Analysis of MIS oscillations is an important tool to access quantum lifetime of electrons at high temperatures where Shubnikov-de Haas (SdH) oscillations are already absent. For our samples, MIS oscillations still exist up to 25 K. We explain these results in a theoretical model considering short-range scattering potential with a significant contribution of el´astic scattering time of electrons and a contribution of electron-electron (e-e) scattering if one increases temperature. Application of an external electric field (here a dc currents) strongly modifies the MIS oscillations. We describe this non-linear effect caused by a dc electric field with nonequilibrium part of the electron distribution function. Including the heating of electrons by the electric field, we are able to extract inelastic scattering time. For a strong dc current, a discrepancy between experiment and theory is found. Finally, we consider gate-dependent (top gate) magnetotransport measurements and drive de DQWs out of balance. We find that both cl´assical and quantum contributions are necessary for theoretical description of the magnetoresistance. We express both contributions in terms of inter and intrasubband scattering rates using a gaussian function as correlation function of the potential.

O método variacional foi usado para estudar a possibilidade de existência de um vácuo composto da Eletrodinâmica Quântica. Um ansatz contendo um condensado de pares elétron - pósitron foi investigado e uma equação de otimização para a função de onda do condensado foi encontrada. A prescrição de renormalização utilizada quebrou a simetria de escala inicialmente presente no Lagrangiano. A equação de otimização foi rededuzida resolvendo-se a equação de Schwinger-Dyson para a auto-energia do elétron. Expressões tanto para a massa dinamicamente gerada para o elétron, em termos da função de onda dos pares, quanto para a dependência da constante de acoplamento com o parâmetro de massa (ponto de renormalização) foram apresentadas. Nossos cálculos, entretanto, nos levaram a concluir que, pelo menos dentro de nossa abordagem, não é possível a existência de tal vácuo composto da Eletrodinâmica Quântica. / The variational method was used to study the possibility of existence of a composed vacuum of the Quantum Electrodynamics. An ansatz containing a condensate of electron-positron pairs was investigated and an optimization equation for the condensate wave function was encountered. The renormalization prescription used broke the scale symmetry initially present in the Lagrangian. Once more the optimization equation was derived. This time this was done by the resolution of Schwinger-Dyson equation to the electron self energy. An expression to the dynamically generated mass of the electron, in terms of the condensate wave function, was presented, as well as the mass parameter dependence of the coupling constant. Our calculations, however, lead us to conclude that the existence of such composed vacuum of the Quantum Electrodynamics is not possible, at least within our approach.

Estudamos o fenômeno de correlação entre dois bosons idênticos (efeito Hanbury Brown-Twiss) no caso de fontes em rápida expansão. Partimos da hipótese que, em colisões hadrônicas a altas energias, forma-se um plasma de quarks e gluons, o qual se expande de acordo com as equações do Modelo Hidrodinâmico de Landau. Ao atingir a temperatura crítica, o fluido sofre uma transição de fase de plasma para hadrons usuais, os quais são então emitidos. Estudamos a dependência da função de correlação de duas partículas em algumas grandezas, como por exemplo, no momento transversal médio das partículas finais e na massa do estado de plasma inicialmente formado. Analisamos também a compatibilidade dos cálculos efetuados com alguns dados experimentais disponíveis. Mostramos que a consideração de expansão da fonte emissora introduz efeitos cinemáticos importantes no comportamento da função de correlação. Assim sendo, os resultados usualmente obtidos com a hipótese de fontes estáticas devem ser completamente modificados no caso de fontes que se expandem rapidamente, como aquelas formadas em colisões hadrônicas a altas energias. / The phenomenon of correlation among two identical bosons (Hanbury Brown-Twiss effect) is studied for rapidly expanding sources. We consider the hypothesis of a quark-gluon plasma formation in high energy hadronic collisions, which expands according to Landau\'s Hydrodynamical Model. When the fluid reaches the critical temperature it undergoes a phase transition from plasma to ordinary hadrons t which are then emitted. We study the dependence of the two-particle correlation function on some quantities, such as the average transverse momentum of final particles and the mass of the initially formed plasma. Vile also analyse the compatibility of our resulte with some available experimental data. We show that the source expansion causes important kinematical effects Oh the behavior of the correlation function. Being so, the results usually obtained by means of static sources, should be completely changed in case of rapidly expanding ones, such as the sources formed in high energy hadronic collisions.

O método variacional foi usado para estudar a possibilidade de existência de um vácuo composto da Eletrodinâmica Quântica. Um ansatz contendo um condensado de pares elétron - pósitron foi investigado e uma equação de otimização para a função de onda do condensado foi encontrada. A prescrição de renormalização utilizada quebrou a simetria de escala inicialmente presente no Lagrangiano. A equação de otimização foi rededuzida resolvendo-se a equação de Schwinger-Dyson para a auto-energia do elétron. Expressões tanto para a massa dinamicamente gerada para o elétron, em termos da função de onda dos pares, quanto para a dependência da constante de acoplamento com o parâmetro de massa (ponto de renormalização) foram apresentadas. Nossos cálculos, entretanto, nos levaram a concluir que, pelo menos dentro de nossa abordagem, não é possível a existência de tal vácuo composto da Eletrodinâmica Quântica. / The variational method was used to study the possibility of existence of a composed vacuum of the Quantum Electrodynamics. An ansatz containing a condensate of electron-positron pairs was investigated and an optimization equation for the condensate wave function was encountered. The renormalization prescription used broke the scale symmetry initially present in the Lagrangian. Once more the optimization equation was derived. This time this was done by the resolution of Schwinger-Dyson equation to the electron self energy. An expression to the dynamically generated mass of the electron, in terms of the condensate wave function, was presented, as well as the mass parameter dependence of the coupling constant. Our calculations, however, lead us to conclude that the existence of such composed vacuum of the Quantum Electrodynamics is not possible, at least within our approach.

Made available in DSpace on 2015-04-22T22:07:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 adalberto.pdf: 2643580 bytes, checksum: e1a556373c92d8f9719b0691629848d1 (MD5) Previous issue date: 2013-02-08 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas / The objective of this work is to present a proposal for a theoretical analysis of the theory of superconductivity together with an analysis of the Ginzburg-Landau equations in this context, in which the superconducting state is characterized by an order parameter, given by constructing a wave function Ψ (r, t) to describe the quantum behavior of particles and to show the knowledge of concept maps as a didactics tool. We will present the theoretical aspects of the phenomenon of superconductivity and its applications, and examples of conceptual maps including some models containing concepts of superconductivity. The specific objective is to use the maps as a conceptual study of physics theory in the academic, they are methodological tools to help in understanding the concepts with the interpretations, through hierarchical diagrams, shown in a conceptual framework. The research methods adopted are the development of the Ginzburg-Landau equations, the research that includes students enrolled in undergraduate courses in Physics, as individual basis and for last the implementation of a short course, with the participation of undergraduate and graduate students in physics and related areas, distributed in groups or individually to analyze the results. The survey instrument adopted for the last two methods, in order to obtain the scores for the students performance, will be a simple questionnaire, using pencil, black ballpoint pen and A4 paper, containing eleven questions in the first method and in the second method (short course) it will be ten conceptual questions (open or closed) about the concepts related to the topics provided by the instructor and finally it will be presented the analyzes of the results. / O objetivo deste trabalho é apresentar uma proposta de análise teórica da teoria da supercondutividade conjuntamente com uma análise das equações de Ginzburg-Landau neste contexto, em que um estado do supercondutor é caracterizado por um parâmetro de ordem, dado pela construção de uma função de onda Ψ(r,t) para descrever o comportamento quântico das partículas e mostrar o conhecimento de mapas conceituais como ferramenta didática. Serão apresentados os aspectos teóricos do fenômeno da supercondutividade e suas aplicações, e exemplos de mapas conceituais incluindo alguns modelos contendo conceitos da Supercondutividade. O objetivo específico é o de utilizar os mapas conceituais como um estudo da teoria Física no âmbito acadêmico, porque são instrumentos metodológicos para ajudar na compreensão dos conceitos com as interpretações, através de diagramas hierárquicos, mostrados em uma estrutura conceitual. Os métodos da pesquisa adotados são os de desenvolvimento das equações de Ginzburg-Landau, os da investigação que contarão com discentes matriculados nos cursos de graduação em Física, de forma individual e por ultimo a aplicação de um minicurso, com a participação de graduandos e graduados em Física e áreas afins, distribuídos em grupos ou individual para análise dos resultados. O instrumento de pesquisa adotado para estes dois últimos métodos, fins de obter os escores referentes ao desempenho dos discentes, será um questionário simples, utilizando lápis, caneta esferográfica preta e papel A4 contendo, no primeiro método onze questões e no segundo método (minicurso) dez questões conceituais (abertas ou fechadas) sobre os conceitos relacionados aos temas fornecidos pelo instrutor e finalmente, serão apresentados as análises dos resultados.

Nós estudamos a competição entre a instabilidade de Pomeranchuk no canal de spin com momento angular l=1 e uma interação atrativa, favorecendo a formação de um par de Cooper. Achamos, numa aproximação de campo médio, uma forte supressão da instabilidade de Pomeranchuk via supercondutividade. Além disso, identificamos uma fase supercondutora metaestável com características semelhantes ao estado FFLO. Um líquido de Fermi é, com exceção de uma dimensão, um estado muito estável da matéria. Por outro lado dois tipos de instabilidades, relacionadas com interações atrativas, são conhecidas: Instabilidades Pomeranchuk e supercondutora. As instabilidades Pomeranchuk ocorrem na presença da interação de dois corpos contendo uma forte componente atrativa no canal de espalhamento para frente com momento angular definido. No contexto da teoria de Landau, a instabilidade ocorre quando um ou mais parâmetros admensionais de Landau nos canais de spin ou carga, adquirem altos valores negativos. As instabilidades Pomeranchuk no setor de carga quebram a simetria de rotação. Em particular, uma instabilidade em alguns canais produz uma deformação elipsoidal na superfície de Fermi. / We study the competition between a Pomeranchuk instability in the spin channel with angular momentum l = 1 and an attractive interaction, favoring Cooper pair formation. We find, at mean-field approximation, that superconductivity strongly suppress the Pomeranchuk instability. Moreover, we have found a metastable modulated superconducting phase with similar characteristics of the FFLO state. A Fermi liquid is, except in one dimension, a very stable state of matter. At least two types of instabilities, related with attractive interactions, are known: Pomeranchuk and superconducting instabilities. Pomeranchuk instabilities occur in the presence of two-body interactions containing a strong attractive component in the forward scattering channel with a definite angular momentum. In the context of Landau theory, the instability sets in when one or more dimensionless Landau parameters in the charge or spin channel, acquire large negative values. Pomeranchuk instabilities in a charge sector spontaneously break rotational symmetry. In particular, an instability in the some channels produces an ellipsoidal deformation of the Fermi surface.

Nós estudamos a competição entre a instabilidade de Pomeranchuk no canal de spin com momento angular l=1 e uma interação atrativa, favorecendo a formação de um par de Cooper. Achamos, numa aproximação de campo médio, uma forte supressão da instabilidade de Pomeranchuk via supercondutividade. Além disso, identificamos uma fase supercondutora metaestável com características semelhantes ao estado FFLO. Um líquido de Fermi é, com exceção de uma dimensão, um estado muito estável da matéria. Por outro lado dois tipos de instabilidades, relacionadas com interações atrativas, são conhecidas: Instabilidades Pomeranchuk e supercondutora. As instabilidades Pomeranchuk ocorrem na presença da interação de dois corpos contendo uma forte componente atrativa no canal de espalhamento para frente com momento angular definido. No contexto da teoria de Landau, a instabilidade ocorre quando um ou mais parâmetros admensionais de Landau nos canais de spin ou carga, adquirem altos valores negativos. As instabilidades Pomeranchuk no setor de carga quebram a simetria de rotação. Em particular, uma instabilidade em alguns canais produz uma deformação elipsoidal na superfície de Fermi. / We study the competition between a Pomeranchuk instability in the spin channel with angular momentum l = 1 and an attractive interaction, favoring Cooper pair formation. We find, at mean-field approximation, that superconductivity strongly suppress the Pomeranchuk instability. Moreover, we have found a metastable modulated superconducting phase with similar characteristics of the FFLO state. A Fermi liquid is, except in one dimension, a very stable state of matter. At least two types of instabilities, related with attractive interactions, are known: Pomeranchuk and superconducting instabilities. Pomeranchuk instabilities occur in the presence of two-body interactions containing a strong attractive component in the forward scattering channel with a definite angular momentum. In the context of Landau theory, the instability sets in when one or more dimensionless Landau parameters in the charge or spin channel, acquire large negative values. Pomeranchuk instabilities in a charge sector spontaneously break rotational symmetry. In particular, an instability in the some channels produces an ellipsoidal deformation of the Fermi surface.

Estudamos o fenômeno de correlação entre dois bosons idênticos (efeito Hanbury Brown-Twiss) no caso de fontes em rápida expansão. Partimos da hipótese que, em colisões hadrônicas a altas energias, forma-se um plasma de quarks e gluons, o qual se expande de acordo com as equações do Modelo Hidrodinâmico de Landau. Ao atingir a temperatura crítica, o fluido sofre uma transição de fase de plasma para hadrons usuais, os quais são então emitidos. Estudamos a dependência da função de correlação de duas partículas em algumas grandezas, como por exemplo, no momento transversal médio das partículas finais e na massa do estado de plasma inicialmente formado. Analisamos também a compatibilidade dos cálculos efetuados com alguns dados experimentais disponíveis. Mostramos que a consideração de expansão da fonte emissora introduz efeitos cinemáticos importantes no comportamento da função de correlação. Assim sendo, os resultados usualmente obtidos com a hipótese de fontes estáticas devem ser completamente modificados no caso de fontes que se expandem rapidamente, como aquelas formadas em colisões hadrônicas a altas energias. / The phenomenon of correlation among two identical bosons (Hanbury Brown-Twiss effect) is studied for rapidly expanding sources. We consider the hypothesis of a quark-gluon plasma formation in high energy hadronic collisions, which expands according to Landau\'s Hydrodynamical Model. When the fluid reaches the critical temperature it undergoes a phase transition from plasma to ordinary hadrons t which are then emitted. We study the dependence of the two-particle correlation function on some quantities, such as the average transverse momentum of final particles and the mass of the initially formed plasma. Vile also analyse the compatibility of our resulte with some available experimental data. We show that the source expansion causes important kinematical effects Oh the behavior of the correlation function. Being so, the results usually obtained by means of static sources, should be completely changed in case of rapidly expanding ones, such as the sources formed in high energy hadronic collisions.

Orientador: Pedro Fernandes Tavares / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-08T03:19:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Abreu_NataliaPradode_D.pdf: 5325698 bytes, checksum: b2120bdd02b9ec07d7563695665add5e (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Esta tese investiga a dinâmica longitudinal não-linear do feixe de elétrons de alta intensidade circulante no anel de armazenamento do Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS). Em particular, analisamos os efeitos sobre os modos de oscilação coerentes instáveis e sobre as características de equilíbrio dos pacotes de elétrons decorrentes da manipulação da distribuição de densidade eletrônica no espaço de fase longitudinal, realizada por meio de dois mecanismos distintos: a modulação em fase dos campos estacionários aceleradores e o uso de cavidades harmônicas. Determinamos a viabilidade do uso de cada uma das técnicas estudadas visando melhorar as propriedades do feixe dadas as características específicas e parâmetros do anel de armazenamento Brasileiro. Observamos que a modulação em fase é um método capaz de amortecer modos de oscilação de pacotes acoplados (coupled bunch modes) do feixe de elétrons e apresentamos evidências teóricas e experimentais de que o mecanismo físico responsável por este amortecimento é o aumento da dispersão das frequências de oscilação incoerente dos elétrons dentro dos pacotes, efeito chamado de amortecimento Landau. Observamos também um aumento no tempo de vida do feixe de elétrons devido µa diluição da densidade eletrônica, o que diminui a probabilidade de espalhamento elétron-elétron dentro dos pacotes, reduzindo assim a contribuição Touschek para a taxa de perda de elétrons. Atualmente a modulação em fase é utilizada rotineiramente em turno de usuários no anel de armazenamento do LNLS. Uma análise teórica assim como simulações da ação de cavidades harmônicas passivas no anel do LNLS mostram que efeitos semelhantes são observados, no que se refere µa estabilização de oscilações do feixe e ao aumento do tempo de vida, através dos mesmos mecanismos físicos presentes ao modularmos a fase dos campos de radiofrequência (RF). Há no entanto diferenças importantes nas características dos dois métodos: apesar da efficiência de operação dessas cavidades depender fortemente da corrente total armazenada, a distribuição natural de energias do feixe de elétron não é modificada, diferentemente do que ocorre quando usamos a modulação em fase; o aumento do tempo de vida em ambos os casos é muito parecido (da ordem de 30%) mas a cavidade harmônica, para determinados parâmetros de operação do anel de armazenamento, poder tornar o amortecimento de modos de oscilação de pacotes acoplados 16 vezes maior, enquanto que a modulação em fase aumenta o amortecimento por um fator 1.5 / Abstract: This work investigates the nonlinear longitudinal dynamics of an intense electron beam at the Brazilian Synchrotron Light Source (LNLS electron storage ring). Our main interest lies in the effects of the longitudinal electron density manipulation (by means of RF phase modulation or through the use of harmonic cavities) on the beam Touschek lifetime, coupled bunch instabilities and the steady state characteristics of the circulating bunches. We also determine the viability of each technique and optimize their results given the specific needs and parameters of the Brazilian storage ring. We show that phase modulation is efficient in damping coupled bunch instabilities of the circulating electron beam and present theoretical and experimental evidences that an increased spread of the electrons incoherent frequency inside the bunches is the physical mechanism responsible for this damping, also called Landau damping. We show, as well, an increase in the overall beam lifetime due to the dilution of the particle density inside the bunches, which decreases the probability of electron-electron scattering thus reducing the Touschek contribution to the electron loss rate. Since 2004, phase modulation has been used routinely during users shifts at the LNLS storage ring. The effects of the presence a set of passive harmonic cavities were studied theoretically and using a simulation program. Similar effects, related to the damping of instabilities and increasing in lifetime, are also obtained when using passive harmonic cavities by the same physical mechanisms observed when using phase modulation. There are, however, some important differences between the two methods (harmonics cavities and phase modulation): even though the optimum conditions for operation of these cavities varies strongly with the stored current, this devices does not modify the natural energy distribution of the electron beam as observed when using phase modulation. Also, the increase in lifetime using both methods is similar (around 30%), but harmonics cavities can enhance the damping of coupled bunch modes by a factor of 16 while phase modulation provides an increase in damping by a factor 1.5 / Doutorado / Física Geral / Doutor em Ciências

Nesta tese, apresentamos estudos de magnetotransporte em poços quânticos duplos (DQWs) a campos magnéticos de baixo e sob a aplicação de um campo elétrico externo (potencial de porta). Medidas de magnetorresistência foram realizadas tanto no regime linear quanto no regime não linear. Relatamos a observação de oscilações magnéticas de inter-sub-banda (MIS) pela primeira vez. Estas oscilações MIS já foram estudadas em poços quânticos simples (QWs) com duas sub-bandas ocupadas; um DQW´e o sistema mais apropriado para o estudo das oscilações MIS. As oscilações MIS são atribuídas ao espalhamento inter-sub-banda, e a intensidade delas depende da largura da barreira (relacionada ao gap de energia entre as duas sub-bandas ocupadas, SAS). O estudo das oscilações MIS é uma ferramenta importante para poder acessar ao tempo de vida quântico dos elétrons a temperaturas onde as oscilações Shubnikov-de Haas (SdH) já não são observadas. Em nossas amostras, as oscilações MIS persistem até 25 K. Explicamos estes resultados num modelo teórico considerando um potencial de espalhamento de curto alcance com uma contribuição significativa do tempo de espalhamento elástico dos elétrons e uma contribuição do espalhamento elétron-elétron (e-e) com o aumento da temperatura. A aplicação de um campo elétrico externo (correntes dc) modifica fortemente as oscilações MIS. Descrevemos este efeito não linear causado pelo campo elétrico dc com uma função de distribuição oscilatória. Considerando o aquecimento dos elétrons pelo campo elétrico, é extraído o tempo de espalhamento inelástico. Para correntes dc grandes são encontradas discrepâncias entre o experimento e a teoria. Finalmente, consideramos medidas de magnetotransporte como função de potenciais de porta (porta na superficie) levando ao desbalance do DQW. Encontramos que as contribuições clássica e quântica são necessárias para a descrição teórica da magnetorresistência. Descrevemos as contribuições da magnetorresistência em termos das taxas de espalhamento inter e intra sub-banda utilizando uma função gaussiana como função da correlação do potencial. / In this thesis we present studies of magnetotransport in double quantum wells (DQWs) in low magnetic fields and under application of an external electric field (gate potential). Measurements of magnetoresistance have been carried out in both linear and non-linear regime. We report on the observation of magneto-intersubband (MIS) oscillations for the first time. These MIS oscillations have been studied already in quantum wells (QWs) with two occupied subbands, DQW is the most convenient system for studies of MIS oscillations. They are attributed to intersubband scattering and the strength of MIS oscillations depends on the barrier width (´delta´SAS). Analysis of MIS oscillations is an important tool to access quantum lifetime of electrons at high temperatures where Shubnikov-de Haas (SdH) oscillations are already absent. For our samples, MIS oscillations still exist up to 25 K. We explain these results in a theoretical model considering short-range scattering potential with a significant contribution of el´astic scattering time of electrons and a contribution of electron-electron (e-e) scattering if one increases temperature. Application of an external electric field (here a dc currents) strongly modifies the MIS oscillations. We describe this non-linear effect caused by a dc electric field with nonequilibrium part of the electron distribution function. Including the heating of electrons by the electric field, we are able to extract inelastic scattering time. For a strong dc current, a discrepancy between experiment and theory is found. Finally, we consider gate-dependent (top gate) magnetotransport measurements and drive de DQWs out of balance. We find that both cl´assical and quantum contributions are necessary for theoretical description of the magnetoresistance. We express both contributions in terms of inter and intrasubband scattering rates using a gaussian function as correlation function of the potential.