Thesis (PhD.(Mathematics))-University of Pretoria, 2005. / Includes bibliographical references. Available on the Internet via the World Wide Web.

Thesis (MSc (Mathematical Sciences. Applied Mathematics))--University of Stellenbosch, 2009. / In this thesis, we investigate two numerical methods to price nancial options. We look at two types of options, namely European options and Asian options. The numerical methods we use are the nite di erence method and numerical inversion of the Laplace transform. We apply nite di erence methods to partial di erential equations with both uniform and non-uniform spatial grids. The Laplace inversion method we use is due to Talbot. It is based on the midpoint-type approximation of the Bromwich integral on a deformed contour. When applied to Asian options, we have the problem of computing the hypergeometric function of the rst kind. We propose a new method for numerically calculating the hypergeometric function. This method too is based on using Talbot contours. Throughout the thesis, we use the Black-Scholes equation as our benchmark problem.

Thesis (MSc (Applied Mathematics))--University of Stellenbosch, 2009. / ENGLISH ABSTRACT: In recent years the Laplace inversion method has emerged as a viable alternative method for the numerical solution of PDEs. Effective methods for the numerical inversion are based on the approximation of the Bromwich integral. In this thesis, a numerical study is undertaken to compare the efficiency of the Laplace inversion method with more conventional time integrator methods. Particularly, we consider the method-of-lines based on MATLAB’s ODE15s and the Crank-Nicolson method. Our studies include an introductory chapter on the Laplace inversion method. Then we proceed with spectral methods for the space discretization where we introduce the interpolation polynomial and the concept of a differentiation matrix to approximate derivatives of a function. Next, formulas of the numerical differentiation formulas (NDFs) implemented in ODE15s, as well as the well-known second order Crank-Nicolson method, are derived. In the Laplace method, to compute the Bromwich integral, we use the trapezoidal rule over a hyperbolic contour. Enhancement to the computational efficiency of these methods include the LU as well as the Hessenberg decompositions. In order to compare the three methods, we consider two criteria: The number of linear system solves per unit of accuracy and the CPU time per unit of accuracy. The numerical results demonstrate that the new method, i.e., the Laplace inversion method, is accurate to an exponential order of convergence compared to the linear convergence rate of the ODE15s and the Crank-Nicolson methods. This exponential convergence leads to high accuracy with only a few linear system solves. Similarly, in terms of computational cost, the Laplace inversion method is more efficient than ODE15s and the Crank-Nicolson method as the results show. Finally, we apply with satisfactory results the inversion method to the axial dispersion model and the heat equation in two dimensions. / AFRIKAANSE OPSOMMING: In die afgelope paar jaar het die Laplace omkeringsmetode na vore getree as ’n lewensvatbare alternatiewe metode vir die numeriese oplossing van PDVs. Effektiewe metodes vir die numeriese omkering word gebasseer op die benadering van die Bromwich integraal. In hierdie tesis word ’n numeriese studie onderneem om die effektiwiteit van die Laplace omkeringsmetode te vergelyk met meer konvensionele tydintegrasie metodes. Ons ondersoek spesifiek die metode-van-lyne, gebasseer op MATLAB se ODE15s en die Crank-Nicolson metode. Ons studies sluit in ’n inleidende hoofstuk oor die Laplace omkeringsmetode. Dan gaan ons voort met spektraalmetodes vir die ruimtelike diskretisasie, waar ons die interpolasie polinoom invoer sowel as die konsep van ’n differensiasie-matriks waarmee afgeleides van ’n funksie benader kan word. Daarna word formules vir die numeriese differensiasie formules (NDFs) ingebou in ODE15s herlei, sowel as die welbekende tweede orde Crank-Nicolson metode. Om die Bromwich integraal te benader in die Laplace metode, gebruik ons die trapesiumreël oor ’n hiperboliese kontoer. Die berekeningskoste van al hierdie metodes word verbeter met die LU sowel as die Hessenberg ontbindings. Ten einde die drie metodes te vergelyk beskou ons twee kriteria: Die aantal lineêre stelsels wat moet opgelos word per eenheid van akkuraatheid, en die sentrale prosesseringstyd per eenheid van akkuraatheid. Die numeriese resultate demonstreer dat die nuwe metode, d.i. die Laplace omkeringsmetode, akkuraat is tot ’n eksponensiële orde van konvergensie in vergelyking tot die lineêre konvergensie van ODE15s en die Crank-Nicolson metodes. Die eksponensiële konvergensie lei na hoë akkuraatheid met slegs ’n klein aantal oplossings van die lineêre stelsel. Netso, in terme van berekeningskoste is die Laplace omkeringsmetode meer effektief as ODE15s en die Crank-Nicolson metode. Laastens pas ons die omkeringsmetode toe op die aksiale dispersiemodel sowel as die hittevergelyking in twee dimensies, met bevredigende resultate.

Abstract available on page 4 of the document / Thesis (PhD (Mathematics))--University of Pretoria, 2007. / Mathematics and Applied Mathematics / unrestricted

A set of crude oil samples with different composition and characteristics is studied by means of Fast Field Cycling (FFC) 1H relaxometry, which probes the distribution of longitudinal relaxation times T1 as a function of the Larmor frequency. Investigation of T1 profiles at different temperatures is able to provide an insight into the dynamics and structural changes of oil components, with our particular interest being the high temperature behaviour of asphaltene. It is well-known that asphaltenes tend to form porous clusters in crude oils, which can cause severe problems for the process of oil extraction. Therefore, FFC experiments are conducted on Stelar Spinmaster FFC2000 in the temperature range 203K < T <443K, where the upper limit of 443K is aimed at approximating the typical maximal in-situ well temperatures. FFC relaxometry data of crude oils at such a high temperature are obtained for the first time with the use of a specially modified NMR probe. Inverse Laplace transformation is applied to the longitudinal agnetization decays, yielding T1 distributions at different frequencies. A comparative analysis of these distributions for different Larmor frequencies and temperatures showed that there is a systematic variation of the frequency dependence of T1 correlating with the asphaltene content in the samples, at temperatures similar to the well conditions.

Diffuse optical tomography (DOT) is an imaging technique that utilizes near-infrared (NIR) light to probe biological tissue and ultimately recover the optical parameters of the tissue. Broadly, the process for image reconstruction in DOT involves three parts: (1) the detected measurements, (2) the modeling of the medium being imaged, and (3) the algorithm that incorporates (1) and (2) to finally estimate the optical properties of the medium. These processes have long been established in the DOT field but are also known to suffer drawbacks. The measurements themselves tend to be susceptible to experimental noise that could degrade reconstructed image quality. Furthermore, depending on the DOT configuration being utilized, the total number of measurements per capture can get very large and add additional computational burden to the reconstruction algorithms. DOT algorithms are reliant on accurate modeling of the medium, which includes solving a light propagation model and/or generating a so-called sensitivity matrix. This process tends to be complex and computationally intensive and, furthermore, does not take into account real system characteristics and fluctuations. Similarly, the inverse algorithms typically utilized in DOT also often take on a high computational volume and complexity, leading to long reconstruction times, and have limited accuracy depending on the measurements, forward model, and experimental system. The purpose of this dissertation is to address and develop computational methods, especially incorporating deep learning, to improve each of these components. First, I evaluated several time-domain data features involving the Mellin and Laplace transforms to incorporate measurements that were robust to noise and sensitive at depth for reconstruction. Furthermore, I developed a method to find the optimal values to use for different imaging depths and scenarios. Second, I developed a neural network that can directly learn the forward problem and sensitivity matrix for simulated and experimental measurements, which allows the computational forward model to adapt to the system's characteristics. Finally, I employed learning-based approaches based on the previous results to solve the inverse problem to recover the optical parameters in a high-speed manner. Each of these components were validated and tested with numerical simulations, phantom experiments, and a variety of in vivo data. Altogether, the results presented in this dissertation depict how these computational approaches lead to an improvement in DOT reconstruction quality, speed, and versatility. It is the ultimate hope that these methods, algorithms, and frameworks developed as a part of this dissertation can be directly used on future data to further validate the research presented here and to further validate DOT as a valuable imaging tool across many applications.

Die Temperaturverhältnisse beim Ziehen und Wärmebehandeln von Draht werden mit mathematisch-analytischen Methoden auf der Grundlage der FOURIERschen Wärmeleitungsgleichung eingehend untersucht. Insbesondere wird unter den spezifischen Wärmeübergangsbedingungen zwischen Draht und Ziehdüse sowie zwischen Draht und Ziehtrommel deren thermische Wechselwirkung analysiert. Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Drahttemperaturen in Zugfolgen unter Berücksichtigung des Ziehdüseneinflusses wird angegeben und mit einem Beispiel zum Nassziehen stark verzinkten Stahldrahts illustriert. Aus geschwindigkeitsabhängig gemessenen Änderungen des Drahtdurchmessers werden unter thermoelastischer Ziehringdurchmesserkorrektur Schmierfilmdicken bestimmt. Diffusionsgleichungen werden analysiert und ein Zusammenhang zur Reaktionskinetik wird hergestellt. Ein neues reaktionskinetisches Werkstoffmodell, das insbesondere auch im Falle stärker anisothermer Verhältnisse, also bei Kurzzeitwärmebehandlung anwendbar ist, wird vorgestellt.

Die Temperaturverhältnisse beim Ziehen und Wärmebehandeln von Draht werden mit mathematisch-analytischen Methoden auf der Grundlage der FOURIERschen Wärmeleitungsgleichung eingehend untersucht. Insbesondere wird unter den spezifischen Wärmeübergangsbedingungen zwischen Draht und Ziehdüse sowie zwischen Draht und Ziehtrommel deren thermische Wechselwirkung analysiert. Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Drahttemperaturen in Zugfolgen unter Berücksichtigung des Ziehdüseneinflusses wird angegeben und mit einem Beispiel zum Nassziehen stark verzinkten Stahldrahts illustriert. Aus geschwindigkeitsabhängig gemessenen Änderungen des Drahtdurchmessers werden unter thermoelastischer Ziehringdurchmesserkorrektur Schmierfilmdicken bestimmt. Diffusionsgleichungen werden analysiert und ein Zusammenhang zur Reaktionskinetik wird hergestellt. Ein neues reaktionskinetisches Werkstoffmodell, das insbesondere auch im Falle stärker anisothermer Verhältnisse, also bei Kurzzeitwärmebehandlung anwendbar ist, wird vorgestellt.

Thesis (M.Sc.-Res.)--University of Wollongong, 2007. / Typescript. Includes bibliographical references: leaf 77-80.

Die Temperaturverhältnisse beim Ziehen und Wärmebehandeln von Draht werden mit mathematisch-analytischen Methoden auf der Grundlage der FOURIERschen Wärmeleitungsgleichung eingehend untersucht. Insbesondere wird unter den spezifischen Wärmeübergangsbedingungen zwischen Draht und Ziehdüse sowie zwischen Draht und Ziehtrommel deren thermische Wechselwirkung analysiert. Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Drahttemperaturen in Zugfolgen unter Berücksichtigung des Ziehdüseneinflusses wird angegeben und mit einem Beispiel zum Nassziehen stark verzinkten Stahldrahts illustriert. Aus geschwindigkeitsabhängig gemessenen Änderungen des Drahtdurchmessers werden unter thermoelastischer Ziehringdurchmesserkorrektur Schmierfilmdicken bestimmt. Diffusionsgleichungen werden analysiert und ein Zusammenhang zur Reaktionskinetik wird hergestellt. Ein neues reaktionskinetisches Werkstoffmodell, das insbesondere auch im Falle stärker anisothermer Verhältnisse, also bei Kurzzeitwärmebehandlung anwendbar ist, wird vorgestellt.