Dans cette thèse, nous étudions l'équation de Landau-Lifshitz avec une anisotropie planaire en dimension un. Cette équation décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Elle admet des solutions particulières de type onde progressive appelées solitons.D'abord, nous montrons la stabilité asymptotique des solitons de vitesse non nulle appelés solitons sombres dans l'espace d'énergie. Plus précisément, nous prouvons que toute solution correspondant à une donnée initiale proche du soliton de vitesse non nulle, converge faiblement dans l'espace d'énergie en temps long, vers un soliton de vitesse non nulle, sous les invariances géométriques de l'équation. Notre analyse repose sur les idées développées par Martel et Merle pour les équations de Korteweg-de Vries généralisées. Nous utilisons la transformée de Madelung pour étudier le problème dans le cadre hydrodynamique. Nous invoquons ensuite la stabilité orbitale des solitons et la continuité faible du flot afin de construire le profil limite. Nous établissons de plus une formule de monotonie pour le moment, ce qui nous permet d'avoir la localisation du profil limite. Sa régularité et sa décroissance exponentielle découlent d'un résultat de régularité pour les solutions localisées des équations de Schrödinger. Nous finissons la preuve par un théorème de type Liouville, qui nous indique que seuls les solitons vérifient ces propriétés dans leurs voisinages.Nous nous intéressons également à la stabilité asymptotique d'une superposition de plusieurs solitons appelées multi-solitons. Les solitons de vitesse non nulle sont ordonnés selon leurs vitesses et sont initialement bien séparés. Nous démontrons la stabilité asymptotique autour et entre les solitons. Plus précisément, nous montrons que pour une donnée initiale proche de la somme de $N$ solitons sombres, la solution correspondante converge faiblement vers un des solitons de la somme, quand elle est translatée au niveau du centre de ce soliton, et converge faiblement vers zéro quand elle est translatée entre les solitons. / In this thesis, we study the one-dimensional Landau-Lifshitz equation with an easy-plane aniso-tropy. This equation describes the dynamics of the magnetization in a ferromagnetic material. It owns travelling-wave solutions called solitons.We begin by proving the asymptotic stability in the energy space of non-zero speed solitons More precisely, we show that any solution corresponding to an initial datum close to a soliton with non-zero speed, is weakly convergent in the energy space as time goes to infinity, to a soliton with a possible different non-zero speed, up to the geometric invariances of the equation. Our analysis relies on the ideas developed by Martel and Merle for the generalized Korteweg-de Vries equations. We use the Madelung transform to study the problem in the hydrodynamical framework. In this framework, we rely on the orbital stability of the solitons and the weak continuity of the flow in order to construct a limit profile. We next derive a monotonicity formula for the momentum, which gives the localization of the limit profile. Its smoothness and exponential decay then follow from a smoothing result for the localized solutions of the Schrödinger equations. Finally, we prove a Liouville type theorem, which shows that only the solitons enjoy these properties in their neighbourhoods.We also establish the asymptotic stability of multi-solitons. The solitons have non-zero speed, are ordered according to their speeds and have sufficiently separated initial positions. We provide the asymptotic stability around solitons and between solitons. More precisely, we show that for an initial datum close to a sum of $N$ dark solitons, the corresponding solution converges weakly to one of the solitons in the sum, when it is translated to the centre of this soliton, and converges weakly to zero when it is translated between solitons.

Cette thèse porte sur la modélisation de nano-fils ferromagnétiques. La première par-tie est consacrée à la dérivation par processus asymptotique d'un modèle uni-dimen-sionnel de nano-fil ferromagnétique fini, courbé, torsadé et de section elliptique non constante, soumis à un courant électrique. Nous utilisons ensuite le modèle asympto-tique de jonction de fils pour considérer deux cas :- celui d'un fil infini présentant un coude dans la deuxième partie.-celui un fil rectiligne infini sur lequel on branche perpendiculairement un fil fini dans la troisième partie.Dans chacun des cas précédents, on explicite toutes les solutions stationnaires. Nous étudions ensuite la stabilité de ces solutions, en concluant que le coude et la jonction sont des points attracteurs du mur. Dans la dernière partie, nous introduisons une mé-thode numérique de type différences finis d'ordre 2 en espace adaptée à la simulation des systèmes de réseaux de nano-fils. Après avoir établi numériquement l'ordre de convergence de la méthode, nous validons le schéma en simulant soit des phénomènes décrits dans la littérature, soit des propriétés décrites de manières théoriques dans les parties précédents.Ainsi, nous calculons d'abord le seuil de Walker pour un fil rectiligne. De plus, nous vé-rifions que la configuration du mur est stable dans un fil pincé même en présence d'un petit champ appliqué dans la direction du fil. Par la suite nous vérifions les résultats de stabilité pour les cas d'un fil coudé de longueur finie et d'un jonction de trois fils finis. Enfin, nous étudions la propagation de plusieurs murs dans un réseau de fils sous forme d'un peigne en injectant un courant électrique. Dans cette partie toutes les simulations numériques sont faites en Python avec quelques visualisations en Matlab. / This thesis focuses on the modeling of ferromagnetic nanowires. In the first part, we derive a one-dimensional asymptotic model for the dynamics of the magnetic moment in a twisted ferromagnetic nanowire with variable elliptical cross-section, curvature and torsion, subjected to an electric current. Then, we use the new one-dimensional model to consider two cases: - the case of an infinite ferromagnetic nanowire having a bend in the second part.- the second case is when we connect perpendicularly a finite straight wire on a straight infinite horizontal wire in the third part.In both cases, we prove the existence of static solutions. We study the stability of these solutions, we conclude that the bend and the junction attract the wall profiles. In the last part, we introduce a finite difference of order 2 in space adapted to the si-mulation of nanowire network systems. After having numerically established the order of convergence of the method,we validate the scheme by simulating either phenomena described in the literature, or properties described in theoretical ways in the previous parts.We calculate the Walker field limit, for a straight wire. In addition, we verify that the wall configuration is stable in a pinched wire even in the presence of a small field ap-plied in the direction of the wire. Then we check the stability results for the case of a finite bent wire and a junction of three finite wires. Finally, we study the propagation of several walls in a network of wires in the form of a comb by injecting an electric current. In this part all the numerical simulations are made in Python with some visua-lizations in Matlab.

Dans ma thèse, j'ai travaillé sur les modèles de fils en ferromagnétisme. J'ai obtenu les résultats suivants :- Existence de solutions très régulières pour les équations de Landau-Lifschitz en dimension 3.- Stabilité de profils de murs avec critère optimal de stabilité pour un fil soumis à un champ magnétique.- Stabilité de profils de murs pour un fil soumis à un courant électrique, dans le cas d'un fil à section circulaire et dans le cas d'un fil à section ellipsoïdale. - Justification des modèles monodimensionnels de fils.

The low temperature expansion of the free energy in a Casimir effect setup is considered in detail. The starting point is the Lifshitz formula in Matsubara representation and the basic method is its reformulation using the Abel-Plana formula making full use of the analytic properties. This provides a unified description of specific models. We rederive the known results and, in a number of cases, we are able to go beyond. We also discuss the cases with dissipation. It is an aim of the paper to give a coherent exposition of the asymptotic expansions for T -> 0. The paper includes the derivations and should provide a self-contained representation.

The low temperature expansion of the free energy in a Casimir effect setup is considered in detail. The starting point is the Lifshitz formula in Matsubara representation and the basic method is its reformulation using the Abel-Plana formula making full use of the analytic properties. This provides a unified description of specific models. We rederive the known results and, in a number of cases, we are able to go beyond. We also discuss the cases with dissipation. It is an aim of the paper to give a coherent exposition of the asymptotic expansions for T -> 0. The paper includes the derivations and should provide a self-contained representation.

Dans ma thèse, j’ai travaillé sur les modèles de fils en ferromagnétisme. J’ai obtenu les résultats suivants :- Existence de solutions très régulières pour les équations de Landau-Lifschitz en dimension 3.- Stabilité de profils de murs avec critère optimal de stabilité pour un fil soumis à un champ magnétique.- Stabilité de profils de murs pour un fil soumis à un courant électrique, dans le cas d’un fil à section circulaire et dans le cas d’un fil à section ellipsoïdale. - Justification des modèles monodimensionnels de fils. / In my thesis, I worked on models of wires in ferromagnetism. I got the following results:- Existence of very regular solutions for Landau-Lifschitz equations in dimension 3.- Optimal stability criterion for a wall in a ferromagnetic wire in a magnetic field.-Stability of walls in a ferromagnetic wire subjected to an electric current, in the case of a round wire and in the case of an ellipsoidal cross-section wire.- Justification of one-dimensional wires models.