L'évolution des turbines à gaz vers des régimes de combustion en mélange pauvre augmente la sensibilité de la flamme aux perturbations de l'écoulement. Plus particulièrement, cela augmente le risque que des instabilités de combustion apparaissent. Comme ces oscillations peuvent affecter le processus de combustion, il est très important d'être capable de prédire ce comportement au niveau de la conception.L'objectif du travail présenté est de développer un solveur numérique qui permet de décrire ces instabilités, et d'évaluer les effets du nombre de Mach de l'écoulement moyen sur ce phénomène. L'approche choisie consiste à résoudre les équations d'Euler linéarisées, qui sont écrites dans le domaine fréquentiel sous la forme d'un problème aux valeurs propres. Ce système d'équations permets de prendre en compte la vitesse moyenne de l'écoulement, et donc d'évaluer les effets causés par la convection et leur impact sur la stabilité des modes. Parmi les mécanismes qui peuvent être étudiés se trouve notamment l'effet des ondes d'entropie convectées, ce qui est particulièrement intéressant dans le contexte des chambres de combustions. Afin de déterminer l'effet des termes liés à la vitesse de l'écoulement moyen sur la stabilité des modes, une analyse de l'énergie contenue dans les perturbations est effectuée. Finalement, l'aspect de la non-orthogonalité des modes propres, qui permet une croissance d'énergie transitoire dans un système linéairement stable, est abordé. / The development of gas turbines towards lean combustion increases the susceptibility of the flame to flow perturbations, and leads more particularly to a higher risk of combustion instability. As these self-sustained oscillations may affect the performance of the combustion device, it is very important to be able to predict them at the design level. At present, several methods are used to describe combustion instabilities, ranging from complex LES and DNS calculations to low-order network models. An intermediate method consists in solving a set of equations describing the acoustic field using a finite volume technique, which is the approach used in the present study.This thesis discusses the impact of a non zero Mach number mean flow field on thermoacoustic instability. The study is based on the linearized Euler equations, which are stated in the frequency domain in the form of an eigenvalue problem. Using the linearized Euler equations rather than the Helmholtz equation avoids making the commonly used assumption of the mean flow being at rest, and allows to take into account convection effects and their impact on the stability of the system. Among the mechanisms that can be studied using the present approach is namely the impact of convected entropy waves, which is especially interesting in combustion applications.For this study, a 1D and a 2D numerical solver have been developed and are presented in this thesis. In order to asses the effect of the mean flow terms on the modes' stability, an analysis of the disturbance energy budget is performed. Finally, the aspect of the eigenmodes being non-orthogonal and thus allowing for transient growth in linearly stable systems is adressed.

Dans ce travail, on étudie quelques problèmes d'équations aux dérivées partielles elliptiques que l'on rencontre dans la modélisation d'écoulements réels, comme par exemple la circulation océanique globale. La thèse est divisée en trois parties. La partie 1 est consacrée à l'étude du problème de Stokes dit « hydrostatique » en dimension trois posé dans un domaine borné non nécessairement cylindrique. L'originalité de ces travaux provient du fait que l'on considère des données non homogènes, tant dans l'équation de conservation de la masse que sur la condition aux limites portée sur la vitesse verticale. Pour traiter cette nouvelle situation, on se ramène par équivalence à résoudre un système d'équations primitives linéarisées non homogènes, que l'on résout avec une approche entièrement fonctionnelle et optimale grâce au cadre fonctionnel que l'on considère. Par conséquent, on montre deux cas d'existence et d'unicité d'une solution faible au problème de Stokes hydrostatique avec conditions non homogènes. Les partie 2 et 3 sont consacrées à l'étude d'un modèle elliptique avec un coefficient de diffusion qui peut dégénérer. Ce type d'équations intervient également dans des problèmes géophysiques, que ce soit dans des questions de modélisation de circulation globale, mais aussi dans des problèmes d'infiltration et de milieux poreux. On étudie le cas du demi-espace pour lequel on obtient une théorie optimale de régularité des solutions faibles. On traite enfin le cas général pour lequel on obtient un cas d'existence et d'unicité de solution faible et un résultat de régularité associé.

On s'est intéressé dans ce travail à la résolution numérique des équations d'Euler linéarisées autour d'un écoulement stationnaire, subsonique et assez régulier. Dans le but d'obtenir des matrices symétriques dans ces équations, et in fine, une équation d'équilibre énergétique, nous considérons la linéarisation d'une forme symétrique des équations d'Euler tridimensionnelles. Nous proposons un schéma non-diffusif de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT) s'appuyant sur une formulation centrée-élément avec des ux numériques totalement centrés et un schéma en temps explicite de type saute-mouton, ce qui permet d'obtenir une approximation sans dissipation et fournit une estimation précise des variations de l'énergie aéroacoustique. En effet, dans le cas général de la linéarisation autour d'un écoulement non-uniforme, il existe une équation d'équilibre énergétique au niveau continu que nous vérifions au niveau discret. Nous montrons qu'il existe un terme source discret permettant de conserver exactement l'énergie ce qui permet de prouver la stabilité de notre schéma. Ainsi, notre schéma non-diffusif de type GDDT fournit un outil précis pour contrôler des phénomènes tel que les instabilités de Kelvin-Helmholtz. Nous illustrons la capacité de notre méthode aussi bien sur plusieurs cas tests académiques que sur différentes configurations complexes grâce à une implémentation parallèle.

De nos jours, les fabricants font face à un nouveau défit : concevoir des turbomachines à la fois performantes et à faible niveau sonore. Il convient donc de prévoir avec précision le champ sonore généré par le fonctionnement de ces machines. Le but de ce travail est de développer un solveur-2D capable de prédire efficacement la propagation des ondes acoustiques (bruit) générées par les turbomachines à écoulement subsonique, la machine étudiée est un ventilateur centrifuge composé d'un rotor et d'un stator. Afin de relever ce défit, le développement d'une méthode numérique d'ordre élevé est plus que nécessaire. La démarche retenue est basée sur la méthode des volumes finis avec approximation par moindres carrés mobiles (FV-MLS) pour résoudre les Equations d'Euler Linéarisées autour d'une solution stationnaire. Une matrice masse est définie afin de préserver l'ordre de notre méthode, une procédure d'intégration du temps implicite est employée avec un solveur de résolution des équations algébriques basé sur la méthode GMRES préconditionnée. La méthode ainsi proposée permet la reconstruction directe des flux en utilisant des pochoirs (stencil) compacts, sans introduire de nouveaux degrés de liberté, ce qui est un réel avantage par rapport aux méthodes déjà existantes.

La résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées compressibles est utilisée pour 2 types de problèmes : 1. Pour la résolution de problèmes d'aéroélastcité et d'aéroacoutstique 2. Les exercices d'optimisation par méthode du gradient Les algorithmes proposés sont généralement basés sur une approche dite time-marching simplifiant le développement numérique. Dans ce doctorat nous avons développer une méthode sans intégration temporelle pour stabiliser la résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées. Les systèmes linéaires obtenus sont résolus par une méthode itérative de type GMRes-ILU0. Les résultats numériques sont comparés à une approche AF-ADI et GMRes-time-marching pour des calculs 2D relatif à une perturbation harmonique de pression. La méthode de résolution est aussi validée pour 2 exercices d'optimisation. Une méthode de résolution pseudo-Newton-GMRes des équations de Navier-Stokes non linéaires faiblement couplée a aussi été validée dans le cas d'écoulements 2D.

Cette étude propose une approche aéroacoustique hybride pour le calcul du bruit rayonné par des écoulements subsoniques turbulents anisothermes. La partie aérodynamique est obtenue à l'aide d'une simulation numérique directe des équations de Navier-Stokes dans une approximation à faible nombre de Mach. Cette formulation permet de se libérer des effets de la compressibilité - numériquement pénalisants - tout en préservant l'influence des phénomènes relatifs à la dilatation thermique sur l'écoulement. La propagation acoustique est calculée par la résolution des équations d'Euler linéarisées. La définition rigoureuse des sources acoustiques constitue le lien entre ces deux étapes. Des sources spécifiques aux écoulements anisothermes, compatibles avec celles déjà connues pour les écoulements isothermes, sont obtenues. Cette approche est d'abord validée pour des couches de mélange isothermes et anisothermes par comparaison à des calculs directs. D'autres validations sont réalisées pour une couche de mélange isotherme spatiale et confrontés à des résultats de la littérature. Les contributions au bruit des différents termes sources sont examinées pour une couche de mélange spatiale anisotherme. L'évolution du rayonnement acoustique en fonction du rapport de températures est étudié pour une couche de mélange temporelle. Les résolutions numériques reposent sur une discrétisation spatiale par des schémas aux différences finies d'ordres élevés (schémas compacts) et des schémas d'intégration en temps de Runge-Kutta. Ces schémas d'ordres élevés, et les conditions aux limites performantes respectent les exigences numériques spécifiques à l'aéroacoustique.

Cette étude porte sur le calcul numérique du champ acoustique rayonné par des écoulements subsoniques turbulents présentant des inhomogénéités de température. Des méthodes hybrides sont développées grâce à un développement de Janzen-Rayleigh des équations de Navier-Stokes. L'écoulement est résolu par un calcul quasi incompressible puis les perturbations acoustiques sont propagées selon deux méthodes : les équations d'Euler linéarisées (EEL) et l'approximation à faible nombre de Mach perturbée(PLMNA). Les méthodes sont validées sur des cas simples puis appliquées à une couche de mélange isotherme et anisotherme en développement spatial. / This study focuses on the numerical calculation of the acoustic field radiated by subsonic turbulent flows with temperature inhomogeneities. Hybrid methods are developed through a Rayleigh-Janzen expansion of the Navier-Stokes equations. The flow is solved in a quasi-incompressible way then the acoustic disturbances are propagated by two methods : the linearized Euler's equations (EEL) and the perturbed low Mach number approximation (PLMNA). The methods are validated on simple cases and then applied to an isothermal and non isothermal spatially evolving mixing layer.

Cette étude porte sur le calcul numérique du champ acoustique rayonné par des écoulements subsoniques turbulents présentant des inhomogénéités de température. Des méthodes hybrides sont développées grâce à un développement de Janzen-Rayleigh des équations de Navier-Stokes. L'écoulement est résolu par un calcul quasi incompressible puis les perturbations acoustiques sont propagées selon deux méthodes : les équations d'Euler linéarisées (EEL) et l'approximation à faible nombre de Mach perturbée (PLMNA). Les méthodes sont validées sur des cas simples puis appliquées à une couche de mélange isotherme et anisotherme en développement spatial.