[pt] Seja V um conjunto de n pontos no espaço euclidiano X de dimensão d. Pelo teorema de Johnson-Lindenstrauss, existe uma projeção entre X e Y, outro espaço de dimensão k bastante menor, com a propriedade que as distâncias entre imagens de pontos de V sejam mantidas dentro de um fator c arbitrariamente próximo de 1. O teorema apresenta uma relação entre d, k e c, indicando a possibilidade de dramáticas reduções de dimensão para representações fidedignas de V. A demonstração emprega as Grassmannianas, as variedades de subespaços de dimensão k em X. São construídas cartas e uma medida homogênea em relação à ação natural do grupo ortogonal na Grassmanniana. O resultado segue estimando através de gaussianas certas integrais de caráter fortemente geométrico. / [en] Let V be a set of n points in the Euclidean space X of dimension d. The Johnson-Lindenstrauss theorem states that there is a projection between X a and Y, another Euclidean space of a smaller dimension k, with the property that images of points of X under projection do not differ by more that a multiplicative factor c arbitrarily close to 1. The theorem presents a relation among d, k and c, indicating the possibility of dramatic dimensional reduction of very faithful representations of V. The proof makes use of Grassmanians, the manifolds consisting of subspaces of dimension k in X. In the text, charts are presented, together with a measure which is homogeneous with respect to the natural action of the orthogonal group on the Grassmanian. The result follows by taking estimates using gaussians of certain integrals with a strong geometric flavor.

Este trabalho tem como objetivo principal estudar determinadas propriedades de pares de espaços de Banach de forma que satisfaçam a Propriedade de Bishop-Phelps-Bollobás para operadores (BPBp), acompanhando a evolução histórica do assunto. Inicialmente apresentamos demonstrações dos Teoremas de Bishop-Phelps e Bishop-Phelps-Bollobás, e em seguida passamos a estudar as versões destes resultados para operadores, entre as quais enfatizamos a segunda. Com esse objetivo, definimos a Propriedade de Bishop-Phelps-Bollobás para operadores, introduzida por Acosta et al. em [AAGM08], e apresentamos dois resultados deste artigo, que afirmam que se os espaços de Banach X e Y têm dimensão finita, então (X,Y) satisfaz a BPBp, e que se o espaço de Banach Y tem a propriedade beta de Lindenstrauss, então (X,Y) satisfaz a BPBp para todo espaço de Banach X. Em seguida estudamos o artigo [AGKM17], que apresenta uma classe de espaços de Banach Y tais que (c0,Y) satisfaz a BPBp, e mostra que embora nesta classe estejam contidos os espaços de Banach uniformemente convexos e aqueles que satisfazem a propriedade beta, ela ainda contêm outros exemplos de espaços. / The main purpose of this work is to study certain properties of pairs of Banach spaces in a way that satisfies the Bishop-Phelps-Bollobás property for operators (BPBp), following the historical evolution of the subject. Firstly we present proofs of the Bishop-Phelps and Bishop-Phelps-Bollobás theorems, and then proceed to study versions of these results for operators, of which we emphasize the second one. To this purpose, we define the Bishop-Phelps-Bollobás property for operators, introduced by Acosta et al. in [AAGM08], and present two results of this paper, which state that if X and Y are finite-dimensional Banach spaces, then (X,Y) satisfies BPBp, and that if the Banach space Y has the property beta of Lindenstrauss, then (X,Y) satisfies BPBp for every Banach space X. Next we study paper [AGKM17], which presents a class of Banach spaces Y such that (c0,Y) satisfies BPBp, and shows that although this class contains the uniformly rotund spaces and those satisfying property beta, there are other examples of spaces in it.

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Random projection method is one of the important tools for the dimensionality reduction of data which can be made efficient with strong error guarantees. In this thesis, we focus on linear transforms of high dimensional data to the low dimensional space satisfying the Johnson-Lindenstrauss lemma. In addition, we also prove some theoretical results relating to the projections that are of interest when applying them in practical applications. We show how the technique can be applied to synthetic data with probabilistic guarantee on the pairwise distance. The connection between dimensionality reduction and compressed sensing is also discussed.