<p>Detta examensarbete har genomförts på Campus Norrköping, Linköpings Universitet. Arbetet är en del av ett samarbete mellan Linköpings Universitet, Kungliga Tekniska Högskolan och Math.se. Målet med samarbetet är att skapa och underhålla en hemsida för webbstöd i kursen Linjär Algebra. Genom åren har det upptäckts att det finns en problematik i många studenters inlärning av kursens teori. Detta beror på att det är svårt att undervisa något som berör fler än två dimensioner på en tvådimensionell tavla eller papper.</p><p>Examensarbetets syfte var att utveckla grunden för en produkt som hjälper till att öka förståelsen hos studenter som läser linjär algebra. Produkten skulle på ett interaktivt sätt visualisera på datorskärmen de moment i kursen som kan vara svåra att undervisa i ett klassrum. Vidare skulle produkten både lära ut och testa studenters kunskap.</p><p>Programmet skulle finnas och startas från hemsidan för kursens webbstöd så att det kan startas parallellt med att studenter löser uppgifterna på sidan. Det var också krav på att programmet skulle fungera på alla stora operativsystem och webbläsare. Framförallt var det viktigt att produkten skulle vara lättanvänd och fungera pedagogiskt.</p><p>Resultatet av examensarbetet är nio applikationer, en för varje moment som har tillämpats, som via datorgrafik underlättar undervisningen genom pedagogiskt förklarande och uppgifter. Programmen startas direkt på hemsidan via Java Web Start.</p>

Examensarbetet har genomförts på Campus Norrköping, Linköpings Universitet. Nätkursen och nätduggorna är ett samarbete mellan Linköpings Universitet (LiU), Kungliga Tekniska Högskolan (KTH) och portalen MATH.SE. Målet med samarbetet är att skapa och underhålla en webbsida (http://webcourses.itn.liu.se) i kursen Linjär algebra. Detta samarbete har skapats för att öka studenters intresse och öka deras inlärning i detta ämne. Anledningen till att dessa program behövs inom Linjär algebra är att det är svårt att förklara begrepp i tre dimensioner eller mer på en tvådimensionell tavla. Syfte med examensarbetet var att skapa en webbsida, som ökar förståelsen hos studenter som läser Linjär algebra. Med webbsidan skulle studenterna själva kunna interaktivt visualisera de moment i kursen som kan vara svåra att undervisa i ett klassrum. Programmen skulle fungera på alla stora operativsystem och webbläsare. Ett krav var att programmen skulle vara lättanvända och samtidigt vara pedagogiska. De olika visualiseringar som har skapats är: • Rotation av en vektor runt en axel. • Andragradskurvor som t.ex. ellips, hyperbel och räta linjer. • Andragradsytor som t.ex. ellipsoid, hyperboloid, kon och cylinder. • För andragradskurvor och andragradsytor har även största och minsta värde från origo beräknats. • Skärningen mellan två andragradsytor. Resultatet av examensarbetet är ett antal applikationer som underlättar undervisningen. Dessa applikationer kan köras direkt i en webbläsare. Enda kravet är att Java Web Start är installerat. Java Web Start finns att installera för alla stora operativsystem.

Detta examensarbete har genomförts på Campus Norrköping, Linköpings Universitet. Arbetet är en del av ett samarbete mellan Linköpings Universitet, Kungliga Tekniska Högskolan och Math.se. Målet med samarbetet är att skapa och underhålla en hemsida för webbstöd i kursen Linjär Algebra. Genom åren har det upptäckts att det finns en problematik i många studenters inlärning av kursens teori. Detta beror på att det är svårt att undervisa något som berör fler än två dimensioner på en tvådimensionell tavla eller papper. Examensarbetets syfte var att utveckla grunden för en produkt som hjälper till att öka förståelsen hos studenter som läser linjär algebra. Produkten skulle på ett interaktivt sätt visualisera på datorskärmen de moment i kursen som kan vara svåra att undervisa i ett klassrum. Vidare skulle produkten både lära ut och testa studenters kunskap. Programmet skulle finnas och startas från hemsidan för kursens webbstöd så att det kan startas parallellt med att studenter löser uppgifterna på sidan. Det var också krav på att programmet skulle fungera på alla stora operativsystem och webbläsare. Framförallt var det viktigt att produkten skulle vara lättanvänd och fungera pedagogiskt. Resultatet av examensarbetet är nio applikationer, en för varje moment som har tillämpats, som via datorgrafik underlättar undervisningen genom pedagogiskt förklarande och uppgifter. Programmen startas direkt på hemsidan via Java Web Start.

Starting with the work of Volker Strassen, algorithms for matrix multiplication have been developed which are time complexity-wise more efficient than the standard algorithm from the definition of multiplication. The general method of the developments has been viewing the bilinear mapping that matrix multiplication is as a three-dimensional tensor, where there is an exact correspondence between time complexity of the multiplication algorithm and tensor rank. The latter can be seen as a generalisation of matrix rank, being the minimum number of terms a tensor can be decomposed as. However, in contrast to matrix rank there is no general method of computing tensor ranks, with many values being unknown for important three-dimensional tensors. To further improve the theoretical bounds of the time complexity of matrix multiplication, support rank of tensors has been introduced, which is the lowest rank of tensors with the same support in some basis. The goal of this master's thesis has been to go through the history of faster matrix multiplication, as well as specifically examining the properties of support rank for general tensors. In regards to the latter, a complete classification of rank structures of support classes is made for the smallest non-degenerate tensor product space in three dimensions. From this, the size of a support can be seen affecting the pool of possible ranks within a support class. At the same time, there is in general no symmetry with regards to support size occurring in the rank structures of the support classes, despite there existing a symmetry and bijection between mirrored supports. Discussions about how to classify support rank structures for larger tensor product spaces are also included. / Från och med forskning gjord av Volker Strassen har flera algoritmer för matrismultiplikation utvecklats som är effektivare visavi tidskomplexitet än standardalgoritmen som utgår från defintionen av multiplikation. Generellt sett har metoden varit att se den bilinjära avbildningen som matrismultiplikation är som en tredimensionell tensor. Där används att det finns en exakt korrespondens mellan multiplikationsalgoritmens tidskomplexitet och tensorrang. Det sistnämnda är ett slags generalisering av matrisrang, och är minsta antalet termer en tensor kan skrivas som. Till skillnad frpn matrisrang finns ingen allmän metod för att beräkna tensorrang, och många värden är okända även för välstuderade och viktiga tensorer. För att hitta fler övre begränsningar på matrismultiplikations tidskomplexitet har stödrang av tensorer införts, som är den lägsta rangen bland tensor med samma stöd i en viss bas. Målet med detta examensarbete har varit att göra en genomgång av historien om snabbare matrismultiplikation, samt att specifikt undersöka egenskaper av stödrang för allmänna tredimensionella tensorer. För det sistnämnda görs en fullständig klassificering av rangstrukturer bland stödklasser för den minsta icke-degenererade tensorprodukten av tre vektorrum. Slutsatser är bl.a. att storleken av ett stöd kan ses påverka antalet möjliga ranger inom en stödklass. Samtidigt finns i allmänhet ingen symmetri med avseende på stödstorlek i stödklassernas rangstrukturer. Detta trots att det finns en symmetri och bijektion mellan speglade stöd. I arbetet ingår även en diskussion om hur stödrangstrukturer skulle kunna klassificeras för större tensorprodukter.

Implicit diagonal estimation is a long-standing problem that is concerned with approximating the diagonal of a matrix that can only be accessed through matrix-vector products. It is of interest in various fields of application, such as network science, material science and machine learning. This thesis provides a comprehensive review of randomized algorithms for implicit diagonal estimation and introduces various enhancements as well as extensions to matrix functions. Three novel diagonal estimators are presented. The first method employs low-rank Nyström approximations. The second approach is based on shifts, forming a generalization of current deflation-based techniques. Additionally, we introduce a method for adaptively determining the number of test vectors, thereby removing the need for prior knowledge about the matrix. Moreover, the median of means principle is incorporated into diagonal estimation. Apart from that, we combine diagonal estimation methods with approaches for approximating the action of matrix functions using polynomial approximations and Krylov subspaces. This enables us to present implicit methods for estimating the diagonal of matrix functions. We provide first of their kind theoretical results for the convergence of these estimators. Subsequently, we present a deflation-based diagonal estimator for monotone functions of normal matrices with improved convergence properties. To validate the effectiveness and practical applicability of our methods, we conduct numerical experiments in real-world scenarios. This includes estimating the subgraph centralities in a protein interaction network, approximating uncertainty in ordinary least squares as well as randomized Jacobi preconditioning. / Implicit diagonalskattning är ett långvarigt problem som handlar om approximationen av diagonalerna i en matris som endast kan nås genom matris-vektorprodukter. Problemet är av intresse inom olika tillämpnings-områden, exempelvis nätverksvetenskap, materialvetenskap och maskininlärning. Detta arbete ger en omfattande översikt över algoritmer för randomiserad diagonalskattning och presenterar flera förbättringar samt utvidgningar till matrisfunktioner. Tre nya diagonalskattare presenteras. Den första metoden använder Nyström-approximationer med låg rang. Den andra metoden är baserad på skift och är en generalisering av de nuvarande deflationsbaserade metoderna. Dessutom presenteras en metod för adaptiv bestämning av antalet testvektorer som inte kräver förhandskunskap om matrisen. Median of Means principen ingår också i uppskattningen av diagonalerna. Dessutom kombinerar vi metoder för att uppskatta diagonalerna med algoritmer för att approximera matris-vektorprodukter med matrisfunktioner med hjälp av polynomapproximationer och Krylov-underutrymmen. Detta gör att vi kan presentera implicita metoder för att uppskatta diagonalerna i matrisfunktioner. Vi ger de första teoretiska resultaten för konvergensen av dessa skattare. Sedan presenterar vi en deflationsbaserad diagonal estimator för monotona funktioner av normala matriser med förbättrade konvergensegenskaper. För att validera våra metoders effektivitet och praktiska användbarhet genomför vi numeriska experiment i verkliga scenarier. Detta inkluderar uppskattning av Subgraph Centrality i nätverk, osäkerhetskvantifiering inom ramen för vanliga minsta kvadratmetoden och randomiserad Jacobi-förkonditionering.