Ergodic optimization is the study of which ergodic measures maximize the integral of a particular function. For sufficiently regular functions, e.g. Lipschitz/Holder continuous functions, it is conjectured that the set of functions optimized by measures supported on a periodic orbit is dense. Yuan and Hunt made great progress towards showing this for Lipschitz functions. This thesis presents clear proofs of Yuan and Hunt’s theorems in the case of the Shift as well as introducing a subset of Lipschitz functions, the super-continuous functions, where the set of functions optimized by measures supported on a periodic orbit is open and dense.

The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces. / Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms.

Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms. / The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces.

[ES] Los espacios libres Lipschitz F(M) son linearizaciones canónicas de espacios métricos M cualesquiera. Más concretamente, F(M) es el único espacio de Banach que contiene una copia isométrica de M que es linearmente densa, y tal que toda aplicación Lipschitz de M en cualquier espacio de Banach X puede extenderse a un operador linear continuo de F(M) en X. Estos espacios suponen una herramienta muy potente para el estudio de la geometría no lineal de espacios de Banach, al permitir la aplicación de las técnicas lineales clásicas, bien conocidas, a problemas no lineales. Pero este esfuerzo sólo merece la pena si se dispone de un conocimiento lo bastante detallado de la estructura de F(M). El estudio sistemático de los espacios libres Lipschitz es bastante reciente y, por ello, dicho conocimiento es todavía más bien limitado. Esta tesis se enmarca en el programa general de estudio de la estructura espacios libres Lipschitz genéricos. Empezamos nuestro estudio desarrollando algunas herramientas básicas para la teoría general de espacios libres Lipschitz. Primero definimos operadores de ponderación en espacios Lipschitz y los usamos para demostrar la conjetura de Weaver de que todos los funcionales normales del bidual F(M)** son débil* continuos. A continuación demostramos el teorema de la intersección, que en esencia dice que la intersección de espacios libres Lipschitz es de nuevo un espacio libre Lipschitz. Este resultado nos permite desarrollar el concepto de soporte de un elemento de F(M), análogo al de soporte de una medida. Además, extendemos el uso de estas herramientas al bidual F(M) y las usamos para establecer una descomposición del bidual en espacios de funcionales que están "concentrados en el infinito" y "separados del infinito", respectivamente. Con estas herramientas en nuestro poder, emprendemos el estudio de dos aspectos concretos de los espacios libres Lipschitz. En primer lugar analizamos la relación entre F(M) y los espacios de medidas sobre M. En particular, obtenemos caracterizaciones de los elementos de F(M) que pueden representarse como la integración con respecto a una medida de Borel (no necesariamente finita) sobre M y viceversa, y probamos que el soporte coincide con el de la medida asociada. También identificamos los espacios métricos M en los cuales todo elemento de F(M) puede ser representado como una medida de Borel. Este análisis se generaliza al bidual F(M)**, utilizando en este caso medidas sobre la compactificación uniforme de M y llegando a resultados similares. Obtenemos también algunas consecuencias para los elementos de F(M) y F(M)** que pueden expresarse como diferencia de dos elementos positivos, como la existencia de un análogo de la descomposición de Jordan para medidas. En segundo lugar, estudiamos la estructura extremal de la bola unidad de F(M) y hacemos algunas contribuciones al programa general consistente en encontrar caracterizaciones puramente geométricas de todos sus elementos extremales. Concretamente, caracterizamos los puntos extremos preservados de la bola, así como aquellos puntos extremos y expuestos que tienen soporte finito. Además damos una descripción completa de la estructura extremal de la parte positiva de la bola unidad. La teoría de los soportes en F(M) desarrollada anteriormente juega un papel crucial en las demostraciones de estos resultados. / [CA] Els espais lliures Lipschitz F(M) són linearitzacions canòniques d'espais mètrics M qualssevol. Més concretament, F(M) és l'únic espai de Banach que conté una còpia isomètrica de M que és linealment densa, i tal que tota aplicació Lipschitz de M en qualsevol espai de Banach X pot ser estesa a un operador lineal continu de F(M) en X. Aquests espais són una eina molt potent per a l'estudi de la geometria no lineal d'espais de Banach, ja que permeten l'aplicació de les tècniques lineals clàssiques, ben conegudes, a problemes no lineals. Però aquest esforç nomes val la pena si es disposa d'un coneixement bastant detallat de l'estructura de F(M). L'estudi sistemàtic dels espais lliures Lipschitz és bastant recent i, per això, aquest coneixement és encara prou limitat. Aquesta tesi s'emmarca en el programa general d'estudi de l'estructura dels espais lliures Lipschitz genèrics. Comencem el nostre estudi desenvolupant algunes eines bàsiques per a la teoria general d'espais lliures Lipschitz. Primer definim operadors de ponderació en espais Lipschitz i els fem servir per demostrar la conjectura de Weaver que tots els funcionals normals del bidual F(M)** son feble* continus. A continuació demostrem el teorema de la intersecció, que en essència diu que la intersecció d'espais lliures Lipschitz és de nou un espai lliure Lipschitz. Aquest resultat ens permet desenvolupar el concepte de suport d'un element de F(M), anàleg al de suport d'una mesura. A més, estenem l'ús d'aquestes eines al bidual F(M)** i les fem servir per establir una descomposició del bidual en espais de funcionals que estan "concentrats a l'infinit" i "separats de l'infinit", respectivament. Amb aquestes eines al nostre abast, emprenem l'estudi de dos aspectes concrets dels espais lliures Lipschitz. En primer lloc, analitzem la relació entre F(M) i els espais de mesures sobre M. En particular, obtenim caracteritzacions dels elements de F(M) que poden representar-se com la integració respecte a una mesura de Borel (no necessàriament finita) sobre M i viceversa, i provem que el suport coincideix amb el de la mesura associada. També identifiquem els espais mètrics M on tot element de F(M) pot ser representat com una mesura de Borel. Aquesta anàlisi es generalitza al bidual F(M)**, utilitzant en aquest cas mesures sobre la compactificació uniforme de M i arribant a resultats similars. També obtenim algunes conseqüències per als elements de F(M) i F(M)** que poden expressar-se com a diferència de dos elements positius, com ara l'existència d'un anàleg de la descomposició de Jordan per a mesures. En segon lloc, estudiem l'estructura extremal de la bola unitat de F(M) i fem algunes contribucions al programa general consistent en trobar caracteritzacions purament geomètriques de tots els seus elements extremals. Concretament, caracteritzem els punts extrems preservats de la bola, així com aquells punts extrems i exposats que tenen suport finit. A més fem una descripció completa de l'estructura extremal de la part positiva de la bola unitat. La teoria dels suports en F(M) desenvolupada anteriorment juga un paper crucial en les demostracions d'aquests resultats. / [EN] Lipschitz-free spaces F(M) are canonical linearizations of arbitrary complete metric spaces M. More specifically, F(M) is the unique Banach space that contains an isometric copy of M that is linearly dense, and such that any Lipschitz mapping from M into some Banach space X extends to a bounded linear operator from F(M) into X. Those spaces are a very powerful tool for studies of the nonlinear geometry of Banach spaces, as they allow the application of well-known classical linear techniques to nonlinear problems. But this effort is only worthwhile if we have sufficient knowledge about the structure of F(M). The systematic study of Lipschitz-free spaces is rather recent and so the current understanding of their structure is still quite limited. This thesis is framed within the general program of studying the structure of general Lipschitz-free spaces. We start our study by developing some basic tools for the general theory of Lipschitz-free spaces. First we introduce weighting operators and use them to solve Weaver's conjecture that all normal functionals in the bidual F(M)** are weak* continuous. Next we prove the intersection theorem, which essentially says that the intersection of Lipschitz-free spaces is again a Lipschitz-free space. That result allows us to develop the concept of support of an element of F(M), analogous to the support of a measure. Furthermore, we extend the use of these tools to the bidual F(M)** and apply them to establish a decomposition of the bidual into spaces of functionals that are "concentrated at infinity" and "separated from infinity", respectively. With these tools at our disposal, we undertake the study of two particular aspects of Lipschitz-free spaces. First we analyze the relationship between F(M) and spaces of measures on M. In particular, we obtain characterizations of those elements of F(M) that can be represented as integration against a (not necessarily finite) Borel measure on M and vice versa, and we show that their supports agree. We also identify those metric spaces such that every element of F(M) can be represented by a Borel measure. This analysis is generalized to the bidual F(M)**, using measures on the uniform compactification of M in that case and obtaining similar results. We also derive some consequences for those elements of F(M) and F(M)** that can be expressed as the difference between two positive elements, such as the existence of an analog of the Jordan decomposition for measures. Secondly, we study the extremal structure of the unit ball of F(M) and provide some contributions to the general program of finding purely geometric characterizations of all of its extremal elements. Namely, we characterize all of its preserved extreme points, and its extreme and exposed points of finite support. We also give a full description of the extremal structure of the positive unit ball. The theory of supports developed previously plays a crucial role in the proofs of these results / The author would like to thank Marek Cúth, Michal Doucha, Antonio José Guirao, Gilles Lancien and Eva Pernecká for their careful reading and correction of this document or parts of it. Some activities related to this thesis were partially supported by the Spanish Ministry of Economy, Industry and Competitiveness under Grant MTM2017-83262-C2-2-P, and by a travel grant of the Institute of Mathematics (IEMath-GR) of the University of Granada. Part of this research was conducted during visits to the Czech Technical University in Prague in 2018 and 2020, the Laboratoire de Mathématiques de Besançon in 2019, and the University of Granada in 2020. The author wishes to express his gratitude for the hospitality and the excellent working conditions during his visits. / Aliaga Varea, RJ. (2020). Geometry and structure of Lipschitz-free spaces and their biduals [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/159256

This thesis consists of four papers and focuses on function spaces related to first-order analysis in abstract metric measure spaces. The classical (i.e., Sobolev) theory in Euclidean spaces makes use of summability of distributional gradients, whose definition depends on the linear structure of Rn. In metric spaces, we can replace the distributional gradients by (weak) upper gradients that control the functions’ behavior along (almost) all rectifiable curves, which gives rise to the so-called Newtonian spaces. The summability condition, considered in the thesis, is expressed using a general Banach function lattice quasi-norm and so an extensive framework is built. Sobolev-type spaces (mainly based on the Lp norm) on metric spaces, and Newtonian spaces in particular, have been under intensive study since the mid-1990s. In Paper I, the elementary theory of Newtonian spaces based on quasi-Banach function lattices is built up. Standard tools such as moduli of curve families and the Sobolev capacity are developed and applied to study the basic properties of Newtonian functions. Summability of a (weak) upper gradient of a function is shown to guarantee the function’s absolute continuity on almost all curves. Moreover, Newtonian spaces are proven complete in this general setting. Paper II investigates the set of all weak upper gradients of a Newtonian function. In particular, existence of minimal weak upper gradients is established. Validity of Lebesgue’s differentiation theorem for the underlying metric measure space ensures that a family of representation formulae for minimal weak upper gradients can be found. Furthermore, the connection between pointwise and norm convergence of a sequence of Newtonian functions is studied. Smooth functions are frequently used as an approximation of Sobolev functions in analysis of partial differential equations. In fact, Lipschitz continuity, which is (unlike <img src="http://www.diva-portal.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cmathcal%7BC%7D%5E1" />-smoothness) well-defined even for functions on metric spaces, often suffices as a regularity condition. Thus, Paper III concentrates on the question when Lipschitz functions provide good approximations of Newtonian functions. As shown in the paper, it suffices that the function lattice quasi-norm is absolutely continuous and a fractional sharp maximal operator satisfies a weak norm estimate, which it does, e.g., in doubling Poincaré spaces if a non-centered maximal operator of Hardy–Littlewood type is locally weakly bounded. Therefore, such a local weak boundedness on rearrangement-invariant spaces is explored as well. Finer qualitative properties of Newtonian functions and the Sobolev capacity get into focus in Paper IV. Under certain hypotheses, Newtonian functions are proven to be quasi-continuous, which yields that the capacity is an outer capacity. Various sufficient conditions for local boundedness and continuity of Newtonian functions are established. Finally, quasi-continuity is applied to discuss density of locally Lipschitz functions in Newtonian spaces on open subsets of doubling Poincaré spaces.