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This study seeks to reduce the cost of numerically solving non-linear partial differential equations by reducing the number of computations without compromising accuracy. This was done by using accurate local time stepping. This algorithm uses local time stepping but compensates for the inconsistencies in the temporal dimension by interpolations and/or extrapolations. Reduction in computations are obtained by time-stepping only a particular region with small time steps. A shock tube problem and a detonation wave were the two test cases considered. The performance of the solution using this algorithm was compared with an algorithm that does not use accurate local time stepping.

We consider an infinite system of hard balls in Rd undergoing Brownian motions and submitted to a smooth pair potential. It is modelized by an infinite- dimensional Stochastic Differential Equation with an infinite-dimensional local time term. Existence and uniqueness of a strong solution is proven for such an equation with fixed deterministic initial condition. We also show that Gibbs measures are reversible measures.

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We study the long time behavior of a system of two or three Brownian hard balls living in the Euclidean space of dimension at least two, submitted to a mutual attraction and to elastic collisions.

Originally designed for wind velocity estimation over the ocean, scatterometers have since been applied to climate studies of the Earth's cryosphere and bioshere. As an integral part of climatological studies of the planet, the NASA Scatterometer Climate Record Pathfinder (SCP) supplies scatterometer-based products designed to aid researchers in climatological studies of the planet. In this thesis, necessary steps are taken to facilitate data from the Oceansat-2 Ku-band scatterometer (OSCAT) to be used in extending the Ku-band SCP dataset of conically scanning pencil-beam scatterometers begun by the Seawinds scatterometer flown on the QuikSCAT mission 1999-2009. As a standard SCP product, a temporal resolution enhancement technique for the scatterometer image reconstruction (SIR) algorithm is applied to OSCAT data. A relative cross-calibration method is developed to ensure consistency amongst datasets of conically scanning pencil-beam scatterometers in the SCP data time series. By application of the method, both raw data and SIR image data of OSCAT is cross-calibrated with QuikSCAT. To enable creation of SCP products requiring knowledge of the spatial response function (SRF) with OSCAT data, a method of estimating the SRF of pencil-beam scatterometers is developed. The estimation method employs rank-reduced least-squares to invert the radar equation using measurements over islands. A simulation is performed to validate the efficacy of the method and provide optimum choice of island size and number of singular values used in rank-reduced least-squares. The utility of the SRF estimates is demonstrated by applying an estimate of the OSCAT SRF to SIR image construction with OSCAT data.

Dans cette thèse, on étudie la convergence du processus d'exploration de l'arbre généalogique d'un processus de branchement en temps continu non binaire, dans la limite d'une grande population. Dans la première partie, nous donnons une description précise du processus d'exploration de l'arbre non binaire. Ensuite nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres non binaires. Après renormalisation des paramètres, nous présentons les résultats de convergence du processus de population et du processus d'exploration dans la limite d'une grande population. Dans la deuxième partie, nous établissons d'abord la convergence du processus de population vers un processus de branchement à espace d'état continu avec sauts. Puis, nous montrons la convergence du processus d'exploration normalisé de l'arbre généalogique correspondant vers le processus de hauteur continu défini récemment par Li, Pardoux et Wakolbinger.Dans la dernière partie, on définit un modèle discret de population avec interaction définie par une fonction générale non linéaire f. On fait une renormalisation adéquate du modèle discret pour obtenir en limite un processus de branchement à espace d'état continu généralisé. Ensuite nous renormalisons le processus d'exploration de l'arbre généalogique associé et nous prenons la limite quand la taille de la population tend vers l'infini. / In this thesis, we study the convergence of the exploration process of the non-binary tree associated to a continuous time branching process, in the limit of a large population. In the first part, we give a precise description of the exploration process of the non-binary tree. We then describe a bijection between exploration processes and Galton Watson non-binary trees. After some renormalization, we present the results of convergence of the population process and the exploration process, in the limit of a large populations.In the second part, we first establish the convergence of the population process to a continuous state branching process (CSBP) with jumps. We then show the convergence of the (rescaled) exploration process, of the corresponding genealogical tree towards the continuous height process recently defined by Li, Pardoux and Wakolbinger. In the last part, we consider a population model with interaction defined with a more general non linear function $f.$ We proceed to a renormalization of the parameters model and we obtain in limit a generalized CSBP. We then renormalize the height process of the associated genealogical tree, and take the weak limit as the size of the population tends to infinity.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第19470号 / 理博第4130号 / 新制||理||1594(附属図書館) / 32506 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 熊谷 隆, 教授 岡本 久, 教授 小野 薫 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Depuis le début de l’ère spatiale avec le lancement du satellite Spoutnik 1 en 1957, les ceintures de radiationterrestres n’ont cessé de faire l’objet d’études du fait de leur dangerosité pour les satellites mais aussi pour l’êtrehumain. En effet, lors d’une forte activité solaire, l’injection de particules dans cet environnement radiatif peut induiredes flux jusqu’à 1000 fois plus élevés que par temps calme. Par conséquent, il est important d’en comprendrela physique ainsi que la dynamique au cours de ce que l’on appelle un orage géomagnétique. Dans ce but, le Département Physique Instrumentation Environnement et Espace (DPhIEE) de l’ONERA développe depuis maintenantplus de 20 ans la famille de modèles Salammbô reproduisant de façon robuste et en trois dimensions la dynamiquedes particules piégées dans ces ceintures. Néanmoins, bien que précis au-delà d’environ 100 keV, la physique et leshypothèses prises en compte dans ce modèle restent insuffisantes en deçà. En effet, aux basses énergies, les ceintures de radiation ne peuvent plus être considérées comme homogènes autour de la Terre. L’objectif de cette thèse a donc été de prendre en compte une quatrième dimension, le temps magnétique local (MLT), afin de mieux reproduire l’évolution des structures fines lors d’un orage géomagnétique. La première partie s’est portée sur l’optimisation du schéma numérique. L’ajout d’une quatrième dimension induit, via l’apparition d’un terme d’advection, une forte diffusion numérique qu’il convient de limiter, tout en tenant compte du temps de calcul. L’équation statistique implémentée a alors été discrétisée selon un schéma de type Beam-Warming du second ordre couplé à un limiteur Superbee, garantissant une propagation satisfaisante de la distribution initiale. Une fois les problèmes numériquesmaitrisés, les différents mécanismes physiques pilotant la dynamique des particules piégées ont été implémentésdans le code, avec une attention toute particulière sur la dépendance en MLT de l’interaction onde-particule. Laprise en compte des champs électriques magnétosphériques fut également nécessaire. En effet, ils constituent l’undes moteurs principaux du mouvement des particules de basses énergies. Le modèle Salammbô 4D a ensuite étévalidé par comparaison avec le modèle 3D déjà existant sur une simulation de l’orage magnétique de Mars 2015.Les résultats ont montré une bonne restitution de la dynamique des ceintures de radiation, avec en plus l’accès à laphase principale de l’orage. Cet évènement a ensuite été modélisé à plus basse énergie pour constater la dynamiqueasymétrique des électrons piégés avec le rôle prépondérant du champ électrique de convection. La comparaison avecles données du satellite THEMIS a montré une bonne modélisation des différents processus physiques, notammentcelui de « dropout » par traversée de la magnétopause. Enfin, la mise en place d’une condition limite dynamiquemodulée par les paramètres du vent solaire et dépendante du MLT ouvre de nombreuses perspectives. / Since the beginning of the Space Era with the launch of Spoutnik 1 spacecraft in 1957, the radiation belts havebeen studied by scientists due to their hazardousness on both spacecrafts and humans. Indeed, particles are injectedduring strong solar activity and can induce fluxes thousand times higher than quiet time ones. Thus, it’s veryimportant to understand the nature of physics-based processes and the consecutive dynamic during a geomagneticstorm. For this purpose, the Department Physics Instrumentation Environment and spacE (DPhIEE) at ONERA hasbeen developing the Salammbô models family for more than 20 years which robustly reproduce in three dimensionsthe dynamics of trapped particles in the radiation belts. Nevertheless, although they are reliable at high energy, thephysics-based processes and the hypothesis taken into account are inadequate at lower energies, below a few hundredsof keV. Indeed, the radiation belts can no longer be considered as homogeneous around the Earth. The aim of thisPhD research work was to take into account a fourth coordinate, the Magnetic Local Time (MLT), in order to betterreproduce the thinnest structures occurring during a geomagnetic storm. The first part of this work focused on theoptimization of the numerical scheme. By the emergence of an advective term, the inclusion of a fourth coordinateinduces a strong numerical diffusion that has to be controlled and limited without deteriorating the computingefficiency. So, the implemented statistical equation was discretized using a Beam-Warming scheme coupled with theSuperbee limiter, which guarantee us an adequate propagation of the initial distribution. Once numerical issues havebeen resolved and controlled, all the different mechanisms driving the dynamics of the trapped particles have beenimplemented into the code, taking into account their MLT dependency, especially for the wave-particle interaction.Taking into account the magnetospheric electric fields was also necessary. Indeed, they correspond to one of themain drivers of the low energy particles motion. Then, the Salammbô 4D model has been validated by a comparisonwith the 3D one on a simulation of the March 2015 geomagnetic storm. The results showed a good restitutionof the dynamics of the radiation belts, refining the storm main phase resolution. Thereafter, this event has beensimulated at lower energy to analyze the asymmetry of the dynamics of trapped electrons highlighting the primerole of the convection electric field. The comparison with data from THEMIS spacecraft showed a good modelingof the different physics-based processes, in particular regarding dropouts as controlled by magnetopause shadowingeffect. Finally, the implementation of a solar wind driven outer boundary condition opens up new prospects.