Dans cette thèse, nous étudions l’estimation de modèles autorégressif-moyenne mobile<p>vectoriels ou VARMA, `a coefficients dépendant du temps, et avec une matrice de covariance<p>des innovations dépendant du temps. Ces modèles sont appel´es tdVARMA. Les éléments<p>des matrices des coefficients et de la matrice de covariance sont des fonctions déterministes<p>du temps dépendant d’un petit nombre de paramètres. Une première partie de la thèse<p>est consacrée à l’étude des propriétés asymptotiques de l’estimateur du quasi-maximum<p>de vraisemblance gaussienne. La convergence presque sûre et la normalité asymptotique<p>de cet estimateur sont démontrées sous certaine hypothèses vérifiables, dans le cas o`u les<p>coefficients dépendent du temps t mais pas de la taille des séries n. Avant cela nous considérons les propriétés asymptotiques des estimateurs de modèles non-stationnaires assez<p>généraux, pour une fonction de pénalité générale. Nous passons ensuite à l’application de<p>ces théorèmes en considérant que la fonction de pénalité est la fonction de vraisemblance<p>gaussienne (Chapitre 2). L’étude du comportement asymptotique de l’estimateur lorsque<p>les coefficients du modèle dépendent du temps t et aussi de n fait l’objet du Chapitre 3.<p>Dans ce cas, nous utilisons une loi faible des grands nombres et un théorème central limite<p>pour des tableaux de différences de martingales. Ensuite, nous présentons des conditions<p>qui assurent la consistance faible et la normalité asymptotique. Les principaux<p>résultats asymptotiques sont illustrés par des expériences de simulation et des exemples<p>dans la littérature. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à un algorithme qui nous<p>permet d’évaluer la fonction de vraisemblance exacte d’un processus tdVARMA d’ordre (p, q) gaussien. Notre algorithme est basé sur la factorisation de Cholesky d’une matrice<p>bande partitionnée. Le point de départ est une généralisation au cas multivarié de Mélard<p>(1982) pour évaluer la fonction de vraisemblance exacte d’un modèle ARMA(p, q) univarié. Aussi, nous utilisons quelques résultats de Jonasson et Ferrando (2008) ainsi que les programmes Matlab de Jonasson (2008) dans le cadre d’une fonction de vraisemblance<p>gaussienne de modèles VARMA à coefficients constants. Par ailleurs, nous déduisons que<p>le nombre d’opérations requis pour l’évaluation de la fonction de vraisemblance en fonction de p, q et n est approximativement le double par rapport à un modèle VARMA à coefficients<p>constants. L’implémentation de cet algorithme a été testée en comparant ses résultats avec<p>d’autres programmes et logiciels très connus. L’utilisation des modèles VARMA à coefficients<p>dépendant du temps apparaît particulièrement adaptée pour la dynamique de quelques<p>séries financières en mettant en évidence l’existence de la dépendance des paramètres en<p>fonction du temps.<p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

La première partie de cette thèse introduit de nouveaux algorithmes de décomposition parcimonieuse de signaux. Basés sur Matching Pursuit (MP) ils répondent au problème suivant : comment réduire le temps de calcul de l'étape de sélection de MP, souvent très coûteuse. En réponse, nous sous-échantillonnons le dictionnaire à chaque itération, en lignes et en colonnes. Nous montrons que cette approche fondée théoriquement affiche de bons résultats en pratique. Nous proposons ensuite un algorithme itératif de descente de gradient par blocs de coordonnées pour sélectionner des caractéristiques en classification multi-classes. Celui-ci s'appuie sur l'utilisation de codes correcteurs d'erreurs transformant le problème en un problème de représentation parcimonieuse simultanée de signaux. La deuxième partie expose de nouvelles inégalités de concentration empiriques de type Bernstein. En premier, elles concernent la théorie des U-statistiques et sont utilisées pour élaborer des bornes en généralisation dans le cadre d'algorithmes de ranking. Ces bornes tirent parti d'un estimateur de variance pour lequel nous proposons un algorithme de calcul efficace. Ensuite, nous présentons une version empirique de l'inégalité de type Bernstein proposée par Freedman [1975] pour les martingales. Ici encore, la force de notre borne réside dans l'introduction d'un estimateur de variance calculable à partir des données. Cela nous permet de proposer des bornes en généralisation pour l'ensemble des algorithmes d'apprentissage en ligne améliorant l'état de l'art et ouvrant la porte à une nouvelle famille d'algorithmes d'apprentissage tirant parti de cette information empirique. / The first part of this thesis introduces new algorithms for the sparse encoding of signals. Based on Matching Pursuit (MP) they focus on the following problem : how to reduce the computation time of the selection step of MP. As an answer, we sub-sample the dictionary in line and column at each iteration. We show that this theoretically grounded approach has good empirical performances. We then propose a bloc coordinate gradient descent algorithm for feature selection problems in the multiclass classification setting. Thanks to the use of error-correcting output codes, this task can be seen as a simultaneous sparse encoding of signals problem. The second part exposes new empirical Bernstein inequalities. Firstly, they concern the theory of the U-Statistics and are applied in order to design generalization bounds for ranking algorithms. These bounds take advantage of a variance estimator and we propose an efficient algorithm to compute it. Then, we present an empirical version of the Bernstein type inequality for martingales by Freedman [1975]. Again, the strength of our result lies in the variance estimator computable from the data. This allows us to propose generalization bounds for online learning algorithms which improve the state of the art and pave the way to a new family of learning algorithms taking advantage of this empirical information.

This doctoral thesis is concerned with some theoretical and practical questions related to backward stochastic differential equations (BSDEs) and more specifically their connection with some parabolic partial differential equations (PDEs). The thesis is made of three parts. In the first part, we study the probabilistic representation for a class of multidimensional PDEs with quadratic nonlinearities of a special form. We obtain a representation formula for the PDE solution in terms of the solutions to a Lipschitz BSDE. We then use this representation to obtain an estimate on the gradient of the PDE solutions by probabilistic means. In the course of our analysis, we are led to prove some results for the associated multidimensional quadratic BSDEs, namely an existence result and a partial uniqueness result. In the second part, we study the well-posedness of a very general quadratic reflected BSDE driven by a continuous martingale. We obtain the comparison theorem, the special comparison theorem for reflected BSDEs (which allows to compare the increasing processes of two solutions), the uniqueness and existence of solutions, as well as a stability result. The comparison theorem (from which uniqueness follows) and the special comparison theorem are obtained through natural techniques and minimal assumptions. The existence is based on a perturbative procedure, and holds for a driver whis is Lipschitz, or slightly-superlinear, or monotone with arbitrary growth in y. Finally, we obtain a stability result, which gives in particular a local Lipschitz estimate in BMO for the martingale part of the solution. In the third and last part, we study the time-discretization of BSDEs having nonlinearities that are monotone but with polynomial growth in the primary variable. We show that in that case, the explicit Euler scheme is likely to diverge, while the implicit scheme converges. In fact, by studying the family of θ-schemes, which are mixed explicit-implicit, θ characterizing the degree of implicitness, we find that the scheme converges when the implicit component is dominant (θ ≥ 1/2 ). We then propose a tamed explicit scheme, which converges. We show that the implicit-dominant schemes with θ > 1/2 and our tamed explicit scheme converge with order 1/2 , while the trapezoidal scheme (θ = 1/2) converges with order 7/4.

La théorie des matrices aléatoires présente un ensemble d'outils mathématiques efficaces pour l'étude de performances des systèmes de communications numériques. L'objectif de cette thèse est de développer des résultats analytiques basés sur la théorie des matrices aléatoires pour étudier les fluctuations de quelques indices de performances pour les systèmes de communications sans fil. Nous étudions dans un premier temps, les fluctuations de formes quadratiques aléatoires. Basés sur l'approche REFORM, nous montrons les fluctuations gaussiennes des formes quadratiques associées à des matrices aléatoires. De point de vue applicatif, le SINR (rapport signal sur bruit), indice de performance mesuré à la sortie d'un récepteur linéaire de Wiener, peut être modélisé sous forme de formes quadratiques aléatoires. Nous nous intéressons également à l'établissement d'un théorème central limit pour une fonctionnelle spectrale de matrices de Gram pour un modèle de matrices dont les entrées sont indépendantes non centrées et non identiquement distribuées. Sur le plan applicatif, cette fonctionnelle modélise la capacité d'un canal de transmission dans le cadre des systèmes de transmission multi-antennes.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:57:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Estevao_MSc2013.pdf: 798745 bytes, checksum: 3a737b306d09e12a7beaa6d3f396c369 (MD5) Previous issue date: 2013-06-17 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico / We address the theory of no-arbitrage pricing of derivatives and hedging strategies. The continuous-time model of the underlying stock price that we consider is the Geometric Brownian Motion, which parameters (mean rate of return and volatility) are initially set as stochastic processes and, in the sequel, specified as deterministic functions of time or constant values. With a view to providing self-sufficiency for the text, we have included the necessary fundamental theory and derived the Partial Differential Equation (PDE) for the price of derivatives with payoffs that are functions of the time and of the stock price at maturity, while the stock is now governed by the local volatility model (in which the parameters are functions of time and of the stock price at each moment). Focusing the particular niche where parameters are, except for very mild constraints, arbitrary deterministic functions of time, we develop explicit formulae for both the price and the hedging strategy for an European call option, as well as the particular shape of the associated PDEs. The generalization of the above scenario corresponds to the main result of this thesis which, to the best of our knowledge, is new: we assume (as above) the model where parameters are arbitrary deterministic functions of time and an European call option with a moving barrier of a special sort - which we name discounted barrier. Still, we obtain explicit formulas for both the exact price and hedging strategy. The shape of the barrier option under consideration is attractive from the point of view of the dealer, since it is in fact constant if tested against the discounted risky asset price. Moreover, the riskless asset - which accounts for discounting - is the dealers reference for profit evaluation. Some tools employed in this work are the risk-neutral (or martingale) measure and an extension of the Reflection Principle for Brownian Motion. / Nós abordamos a teoria de preços livres de arbitragem de derivativos e estratégias de hedging. O modelo a tempo contínuo que consideramos para o preço das ações é o Movimento Browniano Geométrico, cujos parâmetros (taxa média de retorno e volatilidade) são inicialmente definidos como processos estocásticos, para daí serem especificados por funções determinísticas do tempo ou valores constantes. Com vistas a dar um cunho autossuficiente à dissertação, desenvolvemos a teoria de base e a Equação Diferencial Parcial (EDP) para o preço de derivativos cujos payoffs são funções do tempo e do preço da ação, ambos na expiração, enquanto que a ação é governada pelo modelo de volatilidade local (no qual os parâmetros são funções do tempo e do preço da ação a cada instante). No caso particular onde os parâmetros são, salvo restrições brandas, funções determinísticas arbitrárias do tempo, desenvolvemos fórmulas explícitas para o preço e para a estratégia de hedging para uma opção de compra Europeia, bem como a forma particular das EDPs associadas. A generalização do cenário acima constitui o resultado principal desta dissertação, novo na literatura: assumimos (como acima) o modelo onde os parâmetros são funções determinísticas arbitrárias do tempo e uma opção de compra Europeia com uma barreira móvel de um tipo específico - a qual chamamos barreira descontada. Ainda assim, obtemos fórmulas explícitas tanto para o preço quanto para a estratégia de hedging. O formato da barreira móvel considerada é atrativo do ponto de vista prático de mercado, uma vez que é, de fato, constante se testada contra o preço descontado do ativo de risco. Ademais, é em relação ao ativo sem risco - que dita o desconto - que os dealers aferem seus lucros. Algumas ferramentas empregadas neste trabalho são a medida risco-neutro (medida martingale) e uma extensão do Princípio da Reflexão para o Movimento Browniano.

Dans cette thèse,nous proposons de nouvelles techniques de réduction de variance, pourles simultions Monté Carlo. Par un simple changement de variable, nous modifions la loi de simulation de façon paramétrique. L'idée consiste ensuite à utiliser une version convenablement projetée des algorithmes de Robbins-Monro pour déterminer le paramètre optimal qui "minimise" la variance de l'estimation. Nous avons d'abord développé une implémentation séquentielle dans laquelle la variance est réduite dynamiquement au cours des itératons Monte Carlo. Enfin, dans la dernière partie de notre travail, l'idée principale a été d'interpréter la réduction de variance en termes de minimisation d'entropie relative entre une mesure de probabilité optimale donnée, et une famille paramétrique de mesures de probabilité. Nous avons prouvé des résultats théoriques généraux qui définissent un cadre rigoureux d'utilisation de ces méthodes, puis nous avons effectué plusieurs expérimentations en finance et en fiabilité qui justifient de leur efficacité réelle.

Stochastic dynamic programming is a recursive method for solving sequential or multistage decision problems. It helps economists and mathematicians construct and solve a huge variety of sequential decision making problems in stochastic cases. Research on stochastic dynamic programming is important and meaningful because stochastic dynamic programming reflects the behavior of the decision maker without risk aversion; i.e., decision making under uncertainty. In the solution process, it is extremely difficult to represent the existing or future state precisely since uncertainty is a state of having limited knowledge. Indeed, compared to the deterministic case, which is decision making under certainty, the stochastic case is more realistic and gives more accurate results because the majority of problems in reality inevitably have many unknown parameters. In addition, time scale calculus theory is applicable to any field in which a dynamic process can be described with discrete or continuous models. Many stochastic dynamic models are discrete or continuous, so the results of time scale calculus are directly applicable to them as well. The aim of this thesis is to introduce a general form of a stochastic dynamic sequence problem on complex discrete time domains and to find the optimal sequence which maximizes the sequence problem.

Rational expectations provide people or economic agents making future decision with available information and past experiences. The first approach to the idea of rational expectations was given approximately fifty years ago by John F. Muth. Many models in economics have been studied using the rational expectations idea. The most familiar one among them is the rational expectations version of the Cagans hyperination model where the expectation for tomorrow is formed using all the information available today. This model was reinterpreted by Thomas J. Sargent and Neil Wallace in 1973. After that time, many solution techniques were suggested to solve the Cagan type rational expectations (CTRE) model. Some economists such as Muth [13], Taylor [26] and Shiller [27] consider the solutions admitting an infinite moving-average representation. Blanchard and Kahn [28] find solutions by using a recursive procedure. A general characterization of the solution was obtained using the martingale approach by Broze, Gourieroux and Szafarz in [22], [23]. We choose to study martingale solution of CTRE model. This thesis is comprised of five chapters where the main aim is to study the CTRE model on isolated time scales. Most of the models studied in economics are continuous or discrete. Discrete models are more preferable by economists since they give more meaningful and accurate results. Discrete models only contain uniform time domains. Time scale calculus enables us to study on m-periodic time domains as well as non periodic time domains. In the first chapter, we give basics of time scales calculus and stochastic calculus. The second chapter is the brief introduction to rational expectations and the CTRE model. Moreover, many other solution techniques are examined in this chapter. After we introduce the necessary background, in the third chapter we construct the CTRE Model on isolated time scales. Then we give the general solution of this model in terms of martingales. We continue our work with defining the linear system and higher order CTRE on isolated time scales. We use Putzer Algorithm to solve the system of the CTRE Model. Then, we examine the existence and uniqueness of the solution of the CTRE model. In the fourth chapter, we apply our solution algorithm developed in the previous chapter to models in Finance and stochastic growth models in Economics.

The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces. / Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms.

Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms. / The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces.