The focus of this master thesis is to develop a model that measures the risk-neutral probability distributionof the future value of a portfolio consisting of options on the S&P 500 index. The cornerstone of the model is an explicit and thorough construction of the local volatility surface. The parametric model of Coleman etal. (1998), with some modifications, is used, representing the local volatility surface through a bicubic spline. The local volatility surface is optimized to be consistent with market data on option prices, futures contracts and Overnight Index Swap (OIS) interest rates. Repricing of options is done through a finite difference method (FDM) approach presented by Andersen and Brotherton-Ratcliffe (1998), using the Crank-Nicholson scheme. An interior point solver is used to minimize the squared pricing error weighted by liquidity in each option. Fast and accurate gradients of the objective function are obtained using the Automatic Differentiation library Autograd.The local volatility surface is constructed for multiple dates and the systematic changes are analyzed through Principal Component Analysis (PCA) of the logarithmic local variance. A stochastic process is assigned to the local volatility surface using the sensitivities towards systematic changes identified through the PCA. Using a Gaussian Kernel Density Estimator, the probability density function (PDF) of the future value of the portfolio is measured. The method requires simulated portfolio values, which are achieved through FDM pricing using simulations of the local volatility surface and the underlying index. The cumulative distribution function (CDF) is finally computed by integration of the PDF. To evaluate the measured probability distribution, a normal CDF inversion of 106 measured out-of-sample CDF values are compared to theoretical normal distribution quantiles with Q-Q plots. The constructed local volatility surface is consistent with market prices to an extent where it is more accurate for more liquid options. It is in most cases realistic with respect to smoothness, but have an unexpectedly large offset from the at-the-money strike level in the skew structure. It is unstable from date to date and also significantly dependent on choice of parameters, limited by computational power, and input data. The unstable construction of the local volatility surface results in measurement noise that cause negative auto correlation in the principal components, which impairs their explanatory ability. The main result show that the shape of the probability distribution is measured accurately, but the standard deviation (or volatility) is overestimated.

<p>The subject of the thesis is foundational aspects of partial functions (Papers 1, 2 & 4) and some choice principles (Papers 3 & 4) in the context of constructive mathematics.</p><p>Paper 1 studies the inversion functions of commutative rings. The foundational problem of having them only partially defined is overcome by extending them to total functions. This cannot be done constructively unless the rings themselves are extended at the same time. We study such extensions, called wheels. It is investigated how identities for wheels relate to identities for commutative rings.</p><p>Paper 2 studies the foundations of partial functions in Martin-Löf's type theory according to the view of subsets as propositional functions, in particular in connection with equivalence relations that the functions are supposed to preserve. The first and second isomorphism theorems of algebra are verified, showing that our approach is flexible enough for some natural mathematical proofs to be carried out.</p><p>Paper 3 shows that the difference between the principles of intensional and extensional choice can be described as the principle of excluded middle plus a certain mild extensionality principle, which follows from the principle that functions are identical if they are identical at every point.</p><p>Paper 4 studies a constructive calculus of indefinite and definite descriptions. It has the property that it can be interpreted straightforwardly in type theory with all terms referring to individuals. In this respect it differs from other constructive calculi of descriptions, which are known to be conservative extensions of description-free calculi but for which descriptions cannot be interpreted as referring to individuals in general.</p><p>The appendix includes a predicative version of Birkhoff's theorem. It states that if a class of algebras is closed under homomorphic images, subalgebras and products and contains a set-indexed family of algebras that satisfies the same identities as the class, then the class can be axiomatized by a set of equations.</p>

No description available.

No description available.

No description available.

No description available.

No description available.

<p>Syftet med uppsatsen är att försöka ta reda på om andraspråkselever har svårare med matematik på grund av att de inte behärskar språket eller om det finns andra orsaker till detta. Hur kan man förebygga och åtgärda detta och hur kan undervisningen anpassas till dessa elever?</p><p>Mina frågeställningar är:</p><p>• Har språket en stor betydelse i matematikundervisning?</p><p>• Hur arbetar lärare respektive speciallärare med elever som har invandrarbakgrund i matematik?</p><p>• Finns det andra orsakar till svårigheterna att förstå matematik?</p><p>Jag har gjort intervjuer med tre lärare som alla har flerårig erfarenhet av att undervisa elever med invandrarbakgrund.</p><p>Resultat visar att den stora svårigheten för de här eleverna, är bristen av språkförståelse och underliggande orsaker, som man bär med sig från sitt liv i ett krigshärjat land. Allt tillsammans skapar en brist på koncentration.</p><p>Slutsatsen blir: För elever med invandrarbakgrund är det så viktigt att öka förståelsen och begreppsinlärningen att känna till vad ordet betyder ger en ingång till problemet. Bildens betydelse förstärker tänkandet tillsammans med ordets innebörd och bilden förstärker vi inlärningen.</p>

<p>Syftet med detta arbete var att studera hemspråket betydelse för elevens utveckling i matematik och undersöka lärarens och elevens syn på matematiskt undervisning på modersmålet. Jag har intervjuat nio elever och fyra lärare i den mångkulturella skolan som jag jobbar i. Genom detta arbete har jag kommit fram till att studiehandledningen på modersmålet i studieverkstadsverksamheten som startades i skolan sedan 2005 är av stor betydelse för eleverna, där studiehandledningen på modersmålet gör att elevernas inlärning i både matematik och språk blir starkare.</p><h1>Nyckelord: modersmål, studiehandledning, andraspråkselever.</h1>

<p>Avhandlingen behandlar problemet att välja tidpunkt för att lösa in en amerikansk option. En amerikansk option ger ägaren rätten att köpa eller sälja en underliggande vara för ett fast pris, kallat lösenpriset, fram till och med en förbestämd tid, den så kallade slutdagen. Den underliggande varan kan vara en aktie, en växelkurs, eller någon annan ekonomisk tillgång. I avhandlingen antar vi att optionen kan lösas in vid vissa givna tidpunkter som vi för enkelhets skull kallar 0,1, 2,…,N, där N är lösendagen.</p><p>Ägaren vill hitta den optimala tidpunkten att lösa in optionen så att nuvärdet av den förväntade avkastningen maximeras. Att hitta den optimala tidpunkten att lösa in optionen är ett så kallat optimalt stopptidsproblem i diskret tid. I det optimala stopptidsproblemet observerar vi en följd av slumpmässiga värden (t.ex. aktiepriser) och söker efter den optimala tidpunkten att sluta observera följden och få en avkastning som bestäms av det senaste observerade värdet. Det är optimalt att lösa in optionen om avkastningen för det senaste observerade värdet är större än den förväntade framtida avkastningen givet det senaste observerade värdet.</p><p>Utifrån denna regel kan vi för varje tidpunkt identifiera vilka värden som tillhör den optimala stoppmängden, d.v.s. mängden av alla värden för vilka det är optimalt att avsluta observationerna och lösa in optionen. Den optimala tidpunkten att lösa in optionen är den första tidpunkten då värdet på den underliggande varan observeras i den optimala stoppmängden.</p><p>Avhandlingen består av två olika studier med anknytning till det optimala stopptids-problemet. I den första studien, se artiklarna A, B, C och D, undersöks strukturen på den optimala stoppmängden. I den andra studien, se artikel E, studeras värdet av den optimala strategin.</p><p>I artikel A presenteras en experimentell studie av hur strukturen på de optimala stoppmängderna beror på vilken avkastningsfunktion som en amerikansk köpoption har. Avkastningsfunktionen bestämmer hur avkastningen ska beräknas utifrån det observerade värdet. I artikeln visas att den optimala stoppmängden kan till exempel vara ett intervall av värden så att det finns ett tröskelvärde för vilket alla värden som är större än detta tröskelvärde tillhör den optimala stoppmängden. Den optimala stoppmängden kan även vara en union av två eller flera intervall där det mellan intervallen finns värden för vilket det är optimalt att fortsätta att äga optionen.</p><p>I artikel B, C och D ges tillrackliga villkor på avkastningsfunktionerna så att det finns ett tröskelvärde så att de optimala stoppmängderna har en enkel intervallstruktur. Artikel B behandlar amerikanska köpoptioner med avkastningsfunktioner som är konvexa och icke-avtagande med avseende på värdet på den underliggande varan. Prisprocessen, som beskriver utvecklingen värdet på den underliggande varan i tiden, är i denna artikel en inhomogen multiplikativ Markovprocess. Det tillräckliga villkoret på avkastningsfunktionen kan uttryckas på följande sätt: Om värdet av den underliggande varan vid en tidpunkt ändras, så ska förändringen av avkastningen vid den tidpunkten vara större än förändringen av den förväntade avkastningen vid följande tidpunkt.</p><p>Artikel C och D utökar villkoren givna i artikel B till att gälla även optioner med icke-växande (artikel C) och icke-avtagande (artikel D) avkastningsfunktioner motsvarande säljoptioner respektive köpoptioner. Prisprocessen antas i dessa artiklar vara en generell inhomogen Markovprocess i diskret tid. De tillräckliga villkoren för avkastningsfunktionen kan i båda artiklarna uttryckas på liknande sätt som villkoret i artikel B.</p><p>I den andra studien, se artikel E, studeras hur värdet av den optimala strategin påverkas om det finns en störning som påverkar avkastningsfunktionerna och övergångssannolikheterna för prisprocessen. Värdet på den optimala strategin för ett observerat värde som är i den optimala stoppmängden definieras som värdet av avkastningen som vi får om vi löser in optionen. Om det observerade värdet ar utanför stoppmängden är värdet på den optimala strategin lika med den förväntade framtida avkastningen givet det observerade värdet. I artikeln ges villkor på avkastningsfunktionerna och övergångssannolikheterna så att värdet på den optimala strategin i det "störda" fallet närmar sig värdet på den optimala strategin i det "ostörda" fallet när störningen i avkastningsfunktionerna och övergångssannolikheterna avtar mot noll.</p>