Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nos Ãltimos anos à crescente o interesse pelo estudo de teorias em espaÃos nÃo-comutativos. As teorias de campos nÃo-comutativas sÃo relacionadas com compactificaÃÃes da Teoria M, teoria de cordas em cenÃrios nÃo-triviais e no efeito Hall quÃntico. Por outro lado, o papel da nÃo-comutatividade em teorias de uma partÃcula encontra grandes aplicaÃÃes quando analisado em cenÃrios de mecÃnica quÃntica e mecÃnica quÃntica relativÃstica. Nestes contextos os estudos das equaÃÃes de Schrodinger e Dirac com massa dependendo da posiÃÃo (MDP) tem despertado muita atenÃÃo na literatura. Sistemas dotadas de MDP constituem modelos Ãteis para o estudo de muitos problemas fÃsicos. Em particular, eles sÃo usados para estudar a densidade de energia em problemas de muitos corpos, determinando as propriedades eletrÃnicas de heteroestruturas semicondutoras e tambÃm para descrever as propriedades de heterojunÃÃes e pontos quÃnticos. A investigaÃÃo de efeitos relativÃsticos, em particular, à importante para sistemas contendo Ãtomos pesados ou dopagem por ions pesados. Para esses tipos de materiais, o estudo das propriedades da equaÃÃo de Dirac, no caso em que a massa torna-se variÃvel à de grande interesse. No presente trabalho analisamos a equaÃÃo de Dirac com massa dependendo da posiÃÃo, na forma de potencial tipo-Coulomb mais um termo de confinamento, num espaÃo nÃo-comutativo e calculamos as correÃÃes no espectro de energia devido à presenÃa do termo de massa modificado.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O sistema de elÃtrons na superfÃcie de hÃlio lÃquido à considerado um dos melhores objetos na investigaÃÃo de prÃncipios fundamentais da FÃsica de baixa dimensionalidade, uma vez que estes nÃo apresentam heterogeneidades e impurezas geralmente encontradas em heteroestruturas semicondutoras. AlÃm disso, espera-se que estes sistemas tenham uma aplicaÃÃo tecnolÃgica futura como extit{bits} quÃnticos, que sÃo fundamentais na construÃÃo de blocos dos futuros computadores quÃnticos. Geralmente, as estruturas de confinamento de baixa dimensionalidade sugeridas para elÃtrons na superfÃcie de hÃlio lÃquido na literatura sÃo baseadas em superfÃcies planas, onde o confinamento lateral à induzido por um potencial externo controlado por eletrodos. No presente trabalho, à sugerida uma forma alternativa de produzir o confinamento lateral em superfÃcies de hÃlio lÃquido, isto Ã, à demonstrado que a forma da superfÃcie pode ser projetada para produzir anÃis, fios e pontos quÃnticos apenas variando a forma da cavidade do substrato no qual o hÃlio lÃquido se encontra suspenso. A superfÃcie foi calculada para quatro formas diferentes de cavidade: i) uma cavidade cilÃndrica, gerando um ponto quÃntico simples; ii) uma cavidade em forma de anel circular, gerando um anel quÃntico; iii) duas cavidades em forma de canais que se interceptam perpendicularmente, formando um ponto quÃntico simples no ponto de interceptaÃÃo; e iv) duas cavidades retangulares conectadas por um canal estreito, gerando um ponto duplo. O elÃtron à entÃo depositado sobre a superfÃcie e confinado a se mover em cada superfÃcie devido à aÃÃo de um campo elÃtrico externo. Os resultados apresentados aqui mostram que os nÃveis de energia para estes sistemas podem ser alterados atravÃs da variaÃÃo do campo elÃtrico e do banho de hÃlio, que sÃo facilmente ajustÃveis. O efeito de um campo magnÃtico externo à tambÃm investigado em um destes sistemas. / The system of electrons on liquid helium (EoH) is one of the most ideal objects for investigating the fundamental principles of the physics of low dimensionality, since they do not have the inhomogeneities and impurities generally found on semiconductors. Besisdes, these systems are expected to have future technological applications as quantum bits, which are of fundamental importance as building blocks of future quantum computers. Usually, the low-dimensional confinements structures for EoH suggested in the literature are based on a planar surface, where the lateral confinement is induced by an external potential controlled by electrodes. In this work, we suggest an alternative way to produce lateral confinement in liquid helium surfaces, namely, we demonstrate that the shape of the surface can be designed to produce single and double quantum dots by adjusting the shape of a cavity in the substrate. The surface was calculated for four different shapes of substrate cavity: i) a cilyndrical cavity, generating a single quantum dot; ii) a ring-shaped cavity, generating a quantum ring; iii) two cubic cavities connected by a channel, creating a coupled double-dot structure; and iv) two channel-shaped cavities that intersect perpendicularly to each other, where a single dot is formed in the intersection point. The electron is then deposited and confined to move on each surface by an external electric field. Our results show that the electron energy levels in these systems can be tuned by varying the electric field and the bulk level, which are easily adjustably. The effect of an external magnetic field on the energy spectrum in one of these systems is also investigated.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nesta Tese, apresentamos a mecÃnica quÃntica nÃo-aditiva (MQNA), uma teoria desenvolvida a partir de primeiros princÃpios com o intuito de entender quais sÃo os efeitos da mÃtrica do espaÃo na teoria quÃntica. Em espaÃos nÃo-euclideanos, uma translaÃÃo de comprimento ∆x nÃo leva necessariamente uma partÃcula de uma posiÃÃo x para outra x + ∆x. O resultado dessa translaÃÃo depende da mÃtrica. Esse à o ponto de partida para o desenvolvimento da MQNA. AtravÃs de uma redefiniÃÃo do operador translaÃÃo, obtivemos novas relaÃÃes de comutaÃÃo entre os operadores posiÃÃo e momentum e uma equaÃÃo tipo equaÃÃo de SchrÃdinger que descreve a evoluÃÃo temporal do estado da partÃcula. Mostramos que essa equaÃÃo, juntamente com certas condiÃÃes de contorno, pode ser vista como um problema de Sturm-Liouville, garantindo que as energias da partÃcula sÃo reais e que os autoestados da hamiltoniana sÃo ortonormais e formam uma base no espaÃo dos estados. Apesar dessas modificaÃÃes, mostramos que continuam vÃlidos o determinismo na evoluÃÃo temporal, o princÃpio da superposiÃÃo e a conservaÃÃo local e global da probabilidade. Em contrapartida, generalizamos o teorema de Ehrenfest, mostrando que, para os valores mÃdios das grandezas fÃsicas, a MQNA cai na mecÃnica clÃssica em um referencial nÃo inercial, e demonstramos a existÃncia de uma incerteza mÃnima diferente de zero no momentum. AlÃm disso, investigamos, tanto classicamente como quanticamente, os efeitos dinÃmicos da mÃtrica na evoluÃÃo temporal de uma partÃcula livre. Para realizar a simulaÃÃo quÃntica tivemos que adaptar a tÃcnica split operator para resolver numericamente a nova equaÃÃo de SchrÃdinger. Por fim, exploramos a possibilidade de mapearmos diversos problemas fÃsicos de naturezas distintas atravÃs do surgimento de um potencial efetivo, consequÃncia de uma simples mudanÃa de coordenadas. / In this thesis, we study the nonadditive quantum mechanics (NAQM), which is a theory developed from first principles in order to understand the effects of the space metric in the quantum theory. In non-Euclidean spaces, the translation of length ∆x does not necessarily take a particle from the position x to x + ∆x. The result of this translation depends on the metric. This is the starting point for the development of the NAQM. Through a redefinition of the translation operator, we obtain new commutation relations between the position operator and the momentum operator, and a SchrÃdinger-like equation which describes the time evolution of the state of a particle. We show that this equation, with appropriate boundary conditions, can be seen as a Sturm-Liouville problem, ensuring that the energies of the particle are real and that the eigenstates of the hamiltonian are orthonormal and form a basis in the space of the states. In spite of these modifications, we show the determinism in the time evolution, the superposition principle and the local and global probability conservation remain valid. On the other hand, we generalize the Ehrenfest theorem, showing that, for the average values of the physical quantities, the NAQM is identical to the classical mechanics in a non-inertial reference frame, and we demonstrate the existence of a nonzero minimum uncertainty for the momentum. Besides, we investigate, classically as well as quantically, the dynamical effects of the metric in the time evolution of a free particle. In order to perform the quantum simulation, we adapt the split operator technique to solve numerically the new SchrÃdinger equation. Lastly, we explore the possibility of mapping of several physical problems of different nature through the arising of an effective potential which appears due to a simple change of coordinates.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / In this work we analyze the three-dimensional Dirac oscillator in a thermal bath. We found that the heat capacity is two times greather than the heat capacity of the one-dimensional Dirac oscillator in the higher temperatures. We begin with the energy spectrum of the three-dimensional Dirac oscillator, then we find the partition functions and others thermodynamics properties; thus we make one comparasion with the one-dimensional Dirac oscillator and non-relativistic harmonic oscillator. We are interested in study numerically the properties thermodynamics of the square well with infinity potencial. In the latter case we have used a Jacobi theta function. / Nesta tese analisamos o oscilador de Dirac tridimensional em um banho tÃrmico. Encontramos que o calor especÃfico do oscilador de Dirac tridimensional à duas vezes maior que o calor especÃfico do oscilador de Dirac unidimensional quando estamos em um regime de altas temperaturas. Inicialmente utilizamos o espectro de energia do oscilador de Dirac tridimensional para encontramos a funÃÃo de partiÃÃo e as demais propriedades. Assim procedendo, fizemos uma comparaÃÃo com oscilador de Dirac unidimensional e com oscilador harmÃnico nÃo-relativÃstico. Em seguida, fizemos um estudo numÃrico das propriedades termodinÃmicas de um poÃo quadrado de potencial infinito. Para este estudo nÃs utilizamos a funÃÃo theta de Jacobi.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de NÃvel Superior / O presente trabalho à divido em duas partes. Na primeira, a utilizaÃÃo do interferÃmetro de Sagnac em informaÃÃo quÃntica à analisada atravÃs da aplicaÃÃo do mesmo em trÃs problemas: MediÃÃo livre de interaÃÃo, distribuiÃÃo quÃntica de chaves e compartilhamento de segredo. Para a mediÃÃo livre de interaÃÃo, dois sistemas usando o Sagnac foram propostos. Considerando detectores ideais e ausÃncia de perdas, um deles apresenta probabilidade de sucesso de 25% por fÃton consumido, enquanto que o segundo apresenta probabilidade de determinar corretamente a presenÃa do objeto prÃxima a 100% por fÃton consumido. Para a distribuiÃÃo quÃntica de chaves foi proposta uma configuraÃÃo diferente das existentes, sendo a principal diferenÃa a ausÃncia de retorno do pulso enviado, como ocorre nos sistemas com Sagnac anteriormente propostos. Isto evita ataques do tipo Cavalo de TrÃia. Por fim, foi proposta uma configuraÃÃo Ãptica que permite que um segredo compartilhado por cinco pessoas, localmente distantes, seja usado apenas quando todos os cinco concordarem. A segunda parte da dissertaÃÃo apresenta um estudo analÃtico e numÃrico da variaÃÃo do entrelaÃamento de estados bipartites de qubits quando da propagaÃÃo dos mesmos em canais quÃnticos ruidosos. Em particular, foi encontrada uma fÃrmula exata que relaciona os entrelaÃamentos dos estados na entrada e saÃda do canal, quando o estado na entrada à puro e o canal à modelado pela interaÃÃo do estado bipartite (sinal) com um qubit (estado do canal) atravÃs de uma operaÃÃo unitÃria canÃnica. / This work is divided into two parts. In the first one, the use of the Sagnac interferometer in quantum information is analyzed applying it in three problems: interaction-free measurement, quantum key distribution, and secret sharing. For the interaction-free measurement two systems using Sagnac interferometer were proposed. Considering ideal detectors and loss less devices, one of them has a success probability of 25% for each photon used while the other presents the probability of getting success to detect the presence of the object close to 100% for each photon used. For quantum key distribution, it was proposed a different setup, where the main difference is that the pulse sent by the transmitter does not come back to him/her as happen with the systems based on Sagnac proposed before. This avoids the Trojan horse attack. Finally, it was proposed an optical configuration where it is possible to share a secret among five users, locally distant, that could be used only when all five persons agreed. The second part of this dissertation presents an analytical and numerical study of the entanglement variation of bipartite states of qubits during propagation in a quantum noisy channel. Particularly, it was found an exactly formula which relates the entanglement of states in the input and output of the channel, when the input state is pure and the channel is modeled by a canonical unitary operation.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Nesse trabalho apresentamos as soluÃÃes clÃssicas e quÃnticas de duas classes de osciladores harmÃnicos dependentes de tempo, a saber: (a) o oscilador log-periÃdico e (b) o oscilador tipo Caldirola-Kanai. Para a classe (a) estudamos os seguintes osciladores: (I) $m(t)=m_0frac{t}{t_0}$, (II) $m(t)=m_0$ e (III) $m(t)=m_0ajust{frac{t}{t_0}}^2$. Nesses trÃs casos $omega(t)=omega_0frac{t_0}{t}$. Para a classe (b) estudamos o oscilador (IV) de Caldirola-Kanai onde $omega(t)=omega_0$ e $m(t)=m_0 ext{Exp}ajust{gamma t}$ e osciladores com $omega(t)=omega_0$ e $m(t)=m_0ajust{1+frac{t}{t_0}}^alpha$, para (V) $alpha=2$ e (VI) $alpha=4$. Para obter as soluÃÃes clÃssicas de cada oscilador resolvemos suas respectivas equaÃÃes de movimento e analisamos o comportamento de $q(t)$, $p(t)$ assim como do diagrama de fase $q(t)$ vs $p(t)$. Para obter as soluÃÃes quÃnticas usamos uma transformaÃÃo unitÃria e o mÃtodo dos invariantes quÃnticos de Lewis e Riesenfeld. A funÃÃo de onda obtida à escrita em termos de uma funÃÃo $ ho$, que à soluÃÃo da equaÃÃo de Milne-Pinney. Ainda, para cada sistema resolvemos a respectiva equaÃÃo de Milne-Pinney e discutimos como o produto da incerteza evolui no tempo. / In this work we present the classical and quantum solutions of two classes of time-dependent harmonic oscillators, namely: (a) the log-periodic and (b) the Caldirola-Kanai-type oscillators. For class (a) we study the following oscillators: (I) $m(t)=m_0frac{t}{t_0}$, (II) $m(t)=m_0$ and (III) $m(t)=m_0ajust{frac{t}{t_0}}^2$. In all three cases $omega(t)=omega_0frac{t_0}{t}$. For class (b) we study the Caldirola-Kanai oscillator (IV)where $omega(t)=omega_0$ and $m(t)=m_0 ext{exp}ajust{gamma t}$ and the oscillator with $omega(t)=omega_0$ and $m(t)=m_0ajust{1+frac{t}{t_0}}^alpha$, for $alpha=2$ (V) and $alpha=4$ (VI). To obtain the classical solution for each oscillator we solve the respective equation of motion and analyze the behavior of $q(t)$, $p(t)$ as well as the phase diagram $q(t)$ vs $p(t)$. To obtain the quantum solutions we use a unitary transformation and the Lewis and Riesenfeld quantum invariant method. The wave functions obtained are written in terms of a function ($ ho$) which is solution of the Milne-Pinney equation. Futhermore, for each system we solve the respective Milne-Pinney equation and discuss how the uncertainty product evolves with time.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / A formulaÃÃo e comprovaÃÃo experimental de uma teoria consistente de GravitaÃÃo QuÃntica à um dos maiores desafios da FÃsica atualmente. Entre as candidatas a ocupar este posto està a GravitaÃÃo QuÃntica de LaÃo, ela sugere a reinterpretaÃÃo do espaÃo-tempo que, em escala planckiana, assume a forma de uma rede de pontos espaÃados por um comprimento mÃnimo caracterÃstico da natureza. Neste trabalho tratamos de um modelo recentemente introduzido que incorpora o conceito de comprimento mÃnimo e o aplica no contexto de baixas energias, a MecÃnica QuÃntica PolimÃrica, discutimos a diferenÃa entre a fÃsica deste modelo e dos modelos de incerteza mÃnima, em especial o PrincÃpio de Incerteza Generalizado, onde a discretizaÃÃo espacial e consequÃncia de alteraÃÃes nas relaÃÃes de comutaÃÃo canÃnicas. Usamos o mÃtodo perturbativo para calcular correÃÃes de primeira ordem nos espectros de energia de alguns potenciais conhecidos, observamos atravÃs de grÃficos as escalas de energia envolvidas e comparamos os resultados com outras correÃÃes que surgem no contexto de altas energias. / The formulation and experimental verication of a consistent theory of Quantum Gravitation is one of the greatest challenges in Physics nowadays. Between the candidates for this post is the Loop Quantum Gravity, it suggests a reinterpretation of space-time, that in planckian scale, would assume the form of a net of points spaced by a minimal length characteristic of nature. In this work we deal with a model that incorporates this concept and applies it to the context of low energies, the Polymer Quantum Mechanics, we discuss the dierences on the physics of this model an that of the model on minimal uncertainty, in special the Generalized Uncertainty principle, where the spacial discretization is a consequence of modications in canonical commutation relations. We use the perturbative method to calculate rst order corrections in the energy spectra of some known potentials, we observe through graphics the energy scales involved and compare the results with other corrections that arise in the context of high energies.