In this thesis we start off by ensuring that the reader is up to speed when it comes to some well known definitions and theorems from real analysis. We then introduce the reader to metric spaces and provide them with some examples such as the real numbers with the Euclidean distance, and compact sets with the Hausdorff distance. Then, we go on to define important concepts such as inner points, limit points, open sets, boundary and much more. We also show, whenever we can, how these concepts are connected. With these tools in place we move on to explain how limits and continuity are defined in metric spaces as well as providing the reader with several examples. We then introduce the reader to the concepts of compactness and uniform convergence, for which we show some interesting results such as how uniform convergence and the supremum norm are related. We finish off by covering curves and connectedness (including pathconnectedness) in metric spaces, before we briefly touch on topological spaces as to give the reader a hint of what further mathematics studies might hold. / I detta examensarbete börjar vi med att försäkra oss om att läsaren har de förkunskaper som behövs för att kunna ta del av arbetet. Detta görs genom att påminna läsaren om viktiga definitioner och satser från reell analys. Därefter introducerar vi läsaren till metriska rum och ger en mängd olika exempel på dessa som läsaren förhoppningsvis redan stött på. Detta inkluderar bland annat de reella talen med euklidiskt avstånd och slutna och begränsade mängder med Hausdorff-avstånd. När vi väl förklarat distanskonceptet introducerar vi inre punkter, hopningspunkter, öppna mängder, randpunkter och mycket mer. Vi visar dessutom, närhelst vi kan, hur dessa koncept hänger samman. När alla dessa grundbegrepp är etablerade kan vi fortsätta med att förklara gränsvärden och kontinuitet i metriska rum. Vi ger även läsaren flera exempel på detta. I arbetets andra hälft tar vi upp kompakthet och likformig konvergens, för vilka vi presenterar en del intressanta resultat, såsom hur likformig konvergens och supremumnormen är relaterade. Vi avslutar examensarbetet genom att gå igenom kurvor och sammanhängande mängder (inklusive bågvis sammanhängande mängder) i metriska rum, innan vi kort tar upp topologiska rum för att ge läsaren en föraning om vad vidare matematikstudier kan innehålla.