La réparation de l’humain est un secteur d’activité qui nécessite les compétences en sciences médicales et sciences dites «dures». Dans de nombreux cas, tout ou partie d’un organe doit être remplacé par un substitut en matériau inerte. C’est par exemple le cas en implantologie où l’on s’intéresse au remplacement de dents. La pose d’un implant dentaire est un acte chirurgical qui consiste à introduire dans l’os de la mandibule un dispositif en matériau inerte destiné à recevoir la couronne dentaire. Ces prothèses sont plus ou moins tolérées par l’organisme vivant (environ 5% de rejet) et peuvent dans certains cas conduire à une ruine de l’os ou engendrer des infections connues sous le nom de péri-implantite. Pour améliorer la biocompatibilité de ces dispositifs médicaux, plusieurs pistes sont explorées. On peut s’intéresser à la géométrie de l’implant et son état de surface, au matériau de l’implant ou bien au système mécanique implant-os. C’est dans ce dernier cadre que nous avons situé notre travail de thèse. Le système os/dent est un système mécanique soumis à des sollicitations répétées de forte intensité. Les niveaux de contrainte et de déformation atteints lors de la mastication participent à la stabilité de l’ensemble et la viabilité de ces milieux vivants. Ces niveaux de contrainte et de déformation doivent être reproduits dans l’os dans le cas du système implant-os. On espère ainsi assurer la viabilité de l’os et éviter les divers processus de dégradation. Il convient donc de simuler et analyser la réponse d’un tel système à des sollicitations mécaniques. Ce travail nécessite la modélisation du comportement de l’os et de l’implant. Ce dernier est considéré comme un matériau métallique classique sollicité dans son domaine de déformation élastique. Pour ce qui est l’os, son observation fine révèle sa nature multi-échelle et nous avons choisi de modéliser son comportement par une particularisation du milieu micromorphique de Eringen. Plus précisément nous l’avons considéré comme un milieu élastique micropolaire. Pour résoudre les équations de champs du problème, il a été nécessaire de développer un outil numérique spécifiquement dédié. Cet outil est basé sur une combinaison astucieuse de la méthode des éléments de frontières et d’une méthode sans maillage (meshless), plus précisément une méthode de collocation par points. Dans un premier temps, afin de comprendre le principe de la méthode, nous avons développé l’outil numérique pour résoudre une équation de champ scalaire, ici équation de la conduction thermique transitoire. Nous avons pu constater l’efficacité de la méthode pour des systèmes en trois dimensions. Dans un second temps nous avons adapté notre méthode numérique pour résoudre des équations de champ vectoriel qui sont dans notre cas les équations pour les milieux élastiques micropolaires. L’outil numérique a été validé sur un nombre d’exemples possédant une solution analytique ou en comparaison aux résultats de la littérature sur d’autres types de problèmes. L’outil a ensuite été appliqué à l’analyse du système implant-os. Pour comprendre l’apport de la microstructure d’un milieu élastique micropolaire, en comparaison à un milieu élastique classique, nous avons fait différentes études du système implant-os sous sollicitations mécaniques diverses en considérant les deux types de modélisation pour l’os. Les paramètres macroscopiques pour un milieu élastique micropolaire sont les mêmes que pour un milieu élastique classique. Les différences obtenues ne proviendront que de l’apport de la microstructure. Les résultats obtenus montrent que la modélisation fine du comportement mécanique adoptée pour l’os est réaliste au regard des contraintes induites par la sollicitation et à la diminution notable des sauts de contraintes à l’interface os/métal comparé au cas de la modélisation de l’os comme un milieu élastique classique. Ces résultats ont d’ores et déjà permis de comprendre certaines observations cliniques. / The repair of the human is a sector of activity which requires skills in medical sciences and sciences known as "hard". In many cases, all or part of an organ must be replaced by a substitute made of inert material. This is for example the case in implantology where one is interested in the replacement of teeth. The installation of a dental implant is a surgical act which consists in introducing into the bone of the mandible a device made of inert material intended to receive the dental crown. These prostheses are more or less tolerated by the living organism (about 5% of rejection) and can in some cases lead to a bone ruin or cause infections known as peri-implantitis. To improve the biocompatibility of these medical devices, several tracks are explored. We can focus on the geometry of the implant and its surface condition, the material of the implant or the mechanical bone / implant system. It is in this last frame that we located our work of thesis. The bone / tooth system is a mechanical system subject to repeated intense stress. The levels of stress and deformation achieved during chewing contribute to the overall stability and viability of these living media. These stress and strain levels must be reproduced in the bone in the case of the bone / implant system. It is hoped to ensure the viability of the bone and to avoid the various processes of degradation. It is therefore necessary to simulate and analyze the response of such a system to mechanical stresses. This work requires modeling the behavior of the bone and the implant. The latter is considered as a conventional metallic material stressed in its field of elastic deformation. As for the bone, its fine observation reveals its multi-scale nature and we have chosen to model its behavior by a particularization of Eringen's micromorphic environment. More precisely we have considered it as a micropolar elastic medium. To solve the field equations of the problem, it was necessary to develop a dedicated digital tool. This tool is based on a clever combination of the boundary element method and a meshless method, more precisely a collocation method. At first, in order to understand the principle of the method, we developed the numerical tool to solve a scalar field equation, here equation of transient thermal conduction. We have seen the effectiveness of the method for three-dimensional systems. In a second time we adapted our numerical method to solve vector field equations which are in our case the equations for the micropolar elastic media. The digital tool has been validated on a number of examples having an analytical solution or in comparison with the results of the literature. The digital tool was then applied to the analysis of the bone / implant system. To understand the contribution of the microstructure of a micropolar elastic medium, compared to a conventional elastic medium, we made different studies of the implant / bone system under various mechanical stress considering both types of modeling for the bone. The macroscopic parameters for a micropolar elastic medium are the same as for a conventional elastic medium. The differences obtained will come only from the contribution of the microstructure. The results obtained show that the fine modeling of the mechanical behavior adopted for the bone is realistic with regard to the stresses induced by the stress and to the noticeable decrease of the stress jumps at the bone / metal interface compared to the case of the modeling of the equivalent classic elastic medium. These results have already made it possible to understand certain clinical observations.

Ce travail de thèse est consacré à l'étude asymptotique d'écoulements de faible épaisseur et à la modélisation des conditions aux limites à imposer à l'interface fluide-solide dans différentes situations. Le chapitre 1 est consacré à l'etude asymptotique d'un écoulement fluide constitué d'une couche poreuse mince adjacente à un milieu fluide mince. On met en évidence l'existence d'un rapport critique entre la taille de la microstructure du milieu poreux et les deux épaisseurs, rapport pour lequel une équation de Reynolds modifiée est obtenue. De plus il est montré qu'on peut toujours pour une géométrie réelle se placer dans ce cas critique. Enfin, on présente des simulations numériques qui mettent en évidence les différences entre le modèle présenté ici et deux autres modèles utilisés en mécanique. Dans le chapitre 2, on s'intéresse à l'étude d'un écoulement de faible épaisseur quand une des surfaces est rugueuse. Ceci peut etre relié à l'étude du chapitre précédent en considérant un milieu poreux qui ne comporterait qu'une seule couche. On utilise la technique de la double échelle en homogénéisation pour obtenir rigoureusement les résultats de convergences. En outre, la convergence des contraintes normales et tangentielles sur les surfaces lisses et rugueuses est étudiée. Dans le chapitre 3, on étudie un écoulement d'un fluide non newtonien de type micropolaire avec de nouvelles conditions à l'interface fluide solide couplant la vitesse et la microrotation par l'introduction d'une viscosité de surface. On démontre l'existence et l'unicité de la solution et des estimations a priori qui conduisent, via l'étude asymptotique, à une équation de Reynolds micropolaire généralisée. Une étude numérique montre l'influence des conditions aux limites sur la charge et le coefficient de frottement. Les résultats sont comparés avec ceux d'autres modèles retenant une condition d'adhérence à la paroi.

La technique de renforcement des sols par inclusions linéaires rigides, c'est-à-dire capables de reprendre des efforts de flexion et cisaillement, connaît depuis quelques décennies un essor important bien que la simulation et le calcul de tels ouvrages reste un problème difficile, en raison de la très forte hétérogénéité du sol renforcé combinée au grand nombre d'inclusions mis en jeu dans de tels ouvrages. Une modélisation multi phasique a récemment été développée permettant d'aborder le dimensionnement de tels ouvrages de géotechnique avec des temps de calcul considérablement réduits par rapport à ceux d'une modélisation numérique classique, où les inclusions de renforcement doivent être discrétisées individuellement. On s'intéresse dans le cadre de ce travail à la mise en oeuvre de ce modèle dans le cadre du comportement élastoplastique des différents constituants, lorsque les effets de flexion et de cisaillement des inclusions sont pris en compte. Après avoir développé un certain nombre de solutions analytiques de référence, un outil numérique basé sur la méthode des éléments finis est mis au point, puis appliqué à la simulation du comportement de différentes structures renforcées, telles que les radiers de fondation sur groupes de pieux, ou la stabilisation de pentes instables par l'incorporation de telles inclusions.

La plupart des ruptures des structures géotechniques sont associées aux phénomènes de localisation des déformations, qui s'accompagnent toujours d'un adoucissement de la résistance. De nombreuses observations expérimentales montrent que d’importants réarrangements et rotations de particules se produisent à l'intérieur des bandes de cisaillement. Cette thèse vise à étudier numériquement les phénomènes de localisation des déformations dans les matériaux granulaires. Considérant les problèmes de dépendance au maillage dans l'analyse par éléments finis dans le cadre de la modélisation continue classique, un modèle de sable basé sur l' état critique a été formulé dans le cadre de la théorie micropolaire. Un code d'éléments finis pour les problèmes bidimensionnels a été développé dans ce cadre. Ensuite, les simulations d'essais bi-axiaux ont permis d’étudier en profondeur les caractéristiques des bandes de cisaillement en termes d'apparition,d'épaisseur, d'orientation, etc. Dans le même temps, l'efficacité de l'approche micropolaire, en tant que technique de régularisation, a été discutée. L'analyse de l'instabilité dans un continuum micropolaire basé sur le travail du second-ordre a également été effectuée. Enfin,pour une application plus large dans la simulation des défaillances en ingénierie géotechnique, le modèle 2D a été étendu à un modèle 3D. Sur la base de l'étude, les modèles 2D et 3D ont démontré leurs capacités de régularisation pour éviter les problèmes de dépendance au maillage et reproduire raisonnablement les bandes de cisaillement dans les géostructures. / Most of the progressive failures of geotechnical structures are associated with the strain localization phenomenon, which is generally accompanied by strength softening. Many experimental observationsshow that significant rear rangements and rotations of particles occur inside the shear bands. The aim of this thesis is to investigate numerically the strain localization phenomena of granular materials. Considering the mesh dependency problems in finite element analysis caused by strains oftening within the classical continuum framework, a sand model based on critical-state has been formulated within the framework of the micropolar theory, taking into account the micro rotations, and implemented into a finite element code for two dimensional problems. Then, the simulations of the shearband in biaxial tests are comprehensively studied in terms of onset, thickness, orientation, etc. At the same time, the efficiency of the micropolar approach, as a regularization technique, is discussed. This is followed by an instability analysis using the second-order work based on the micropolar continuum theory. Finally, for a wider application in simulating failures in geotechnical engineering, the 2D model has been extended to 3D model. Based on the entire study, both the 2D and 3Dmodel demonstrate obvious regularization ability to relieve the mesh dependency problems and to reproduce reasonably the shear bands in geostructures.

La première réalisation de ce travail est la construction unifiée et automatique d’un milieu continu équivalent à un treillis de poutres, dans le domaine élastique, en adoptant un modèle de poutres de Bernoulli. Une extension a été réalisée au domaine plastique, selon un algorithme de suivi de la loi de comportement après écrouissage. Suivant l’ordre des développements asymptotiques choisi, on obtient pour le comportement élastique un milieu continu classique ou micropolaire. On se restreint dans ce dernier cas aux treillis à cellules élémentaires centro-symétriques. Les codes de calculs obtenus fournissent de façon automatique les lois de comportement effectives et les modules mécaniques homogénéisés. Une grande variété de treillis, existants ou originaux, a été étudiée. Les résultats ont été systématiquement comparés aux données de la littérature et vérifiés par des simulations éléments finis avec une bonne concordance. La méthode utilisée montre également une capacité à prédire et comprendre le comportement atypique de certains treillis dits auxétiques présentant des coefficients de contraction négatifs. L’homogénéisation dans le domaine plastique a été limitée aux treillis à dominante extensionnelle. Le domaine de résistance élastique a été construit pour différents treillis, et un algorithme d’évolution du comportement avec écrouissage, de type retour-radial a été conçu et implémenté dans un code dédié. Un modèle de poutre élastoplastique à écrouissage isotrope est utilisé. L’application de l’algorithme à une simulation de charge-décharge montre une bonne concordance entre le treillis homogénéisé et les simulations éléments finis / The first achievement of this work is to construct a unified and effective continuum equivalent to a lattice of beams, in the elastic domain, using a Bernoulli beam model. An extension has been done to calculate the elastic domain resistance of such lattices and to build an algorithm for monitoring the constitutive law taking into account work hardening. The choice of the asymptotic expansions leads to a classical continuous or to a micropolar elastic continuum. We restrict in this last case our study to lattices with centro-symmetric unit cells. The numerical codes developed provide the stress-strain relationship and the effective mechanical moduli. A wide variety of trusses has been studied, either existing or original, including typical geometries of foams and various auxetic lattices, exhibiting negative contraction coefficients. The results were systematically compared with data from literature and verified by finite element simulations with a good agreement. The homogenization in the plastic range has been limited to stretching dominated lattices. The equilibrium equations of the discrete asymptotic homogenization have been used to automatically obtain the elastic resistance domain for several trusses, and a return-mapping algorithm for the follow up of the stress-strain relationship including hardening has been conceived and implemented in a dedicated code. An isotropic hardening elastoplastic model of the beam has been used. The application of the algorithm to the simulation of a loading-unloading cycle shows a good agreement between the homogenized lattice and finite element simulations