Nous présentons des résultats mathématiques obtenus pour un nouveau modèle de champ moyen dédié à la description d'électrons quantiques interagissant dans des cristaux comportant des défauts locaux. Ce modèle est dérivé du modèle dit de supercellule par un procédé de limite thermodynamique. ous travaillons avec un modèle de Hartree-Fock réduit, obtenu à partir du modèle de Kohn-Sham étendu en négligeant le terme d'échange-corrélation. Les modèles utilisés et les résultats obtenus sont présentés au chapitre 2 puis démontrés au chapitre 4. Les chapitres 3 et 5 sont consacrés à la simulation numérique de notre modèle. Notre approche consiste à mettre en œuvre une approximation variationnelle dans une base précalculée de fonctions de Wannier du cristal parfait de référence. Nous présentons quelques résultats numériques obtenus sur un modèle uni dimensionnel avec un potentiel d'interaction de Yukawa.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets. La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts. Dans le chapitre 2, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre 3, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre 4, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un. Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre 6, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.