On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas des fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental en terme d'espaces fonctionnels, on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique.

Nous présentons des résultats mathématiques obtenus pour un nouveau modèle de champ moyen dédié à la description d'électrons quantiques interagissant dans des cristaux comportant des défauts locaux. Ce modèle est dérivé du modèle dit de supercellule par un procédé de limite thermodynamique. ous travaillons avec un modèle de Hartree-Fock réduit, obtenu à partir du modèle de Kohn-Sham étendu en négligeant le terme d'échange-corrélation. Les modèles utilisés et les résultats obtenus sont présentés au chapitre 2 puis démontrés au chapitre 4. Les chapitres 3 et 5 sont consacrés à la simulation numérique de notre modèle. Notre approche consiste à mettre en œuvre une approximation variationnelle dans une base précalculée de fonctions de Wannier du cristal parfait de référence. Nous présentons quelques résultats numériques obtenus sur un modèle uni dimensionnel avec un potentiel d'interaction de Yukawa.

Cette thèse présente l'étude de divers problèmes mathématiques en modélisation des solides, tant à l'échelle atomique qu'à l'échelle macroscopique. Les modèles correspondants sont très simplifiés, mais présentent tout de même des comportements qualitatifs acceptables, et permettent, du fait de leur simplicité, de pousser l'analyse mathématique plus loin que dans le cas de modèles plus réalistes.<br /><br />Une première partie (chapitres 2,3,4) est consacrée à l'étude de l'origine de la structure cristalline. Ce problème peut être posé de la façon suivante : les modèles étudiés ici rendent-ils compte du fait qu'à température nulle, la matière est ordonnée ? ou, de façon équivalente, l'état de minimum d'énergie de N atomes identiques ressemble-t-il, pour N grand, à une structure périodique ? Ce type de problème est relié au problème de limite thermodynamique, dont certains aspects sont également étudiés ici.<br /><br />Dans un deuxième temps, nous étudions au chapitre 5 le cas où précisément, la matière n'est pas ordonnée : dans le cas d'un système périodique, il est possible de définir l'énergie du système pour les modèles utilisés ici par le processus de limite thermodynamique. Nous étudions ce même processus dans un cas non-périodique, donnant des hypothèses générales qui permettent de mener à bien une telle étude.<br /><br />Les chapitres 6 et 7 sont consacrés à l'étude du lien possible entres des théories macroscopiques des solides et ces modèles microscopiques, le premier dans le cas de comportements mécaniques, le deuxième dans le cas du comportement en présence d'un champ électrique.<br /><br />Enfin, le dernier chapitre présente une brève introduction à certaines techniques utilisées en numérique des solides, pour des modèles beaucoup plus élaborés que ceux des chapitres précédents.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets.La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts.Dans le chapitre~ref{chap:ergodic_crystals}, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre~ref{chap:défauts_étendus}, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre~ref{chap:numerical_simuation}, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un.Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre~ref{chap:kMC}, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets.La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts.Dans le chapitre~ref{chap:ergodic_crystals}, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre~ref{chap:défauts_étendus}, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre~ref{chap:numerical_simuation}, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un.Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre~ref{chap:kMC}, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets. La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts. Dans le chapitre 2, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre 3, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre 4, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un. Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre 6, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets.La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts.Dans le chapitre~ref{chap:ergodic_crystals}, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre~ref{chap:défauts_étendus}, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre~ref{chap:numerical_simuation}, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un.Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre~ref{chap:kMC}, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques. / The contributions of this thesis concern two topics.The first part is dedicated to the study of mean-field models for the electronic structure of materials with defects. In Chapter~ref{chap:ergodic_crystals}, we introduce and study the reduced Hartree-Fock (rHF) model for disordered crystals. We prove the existence of a ground state and establish, for (short-range)Yukawa interactions, some properties of this ground state. In Chapter~ref{chap:défauts_étendus}, we consider crystals with extended defects. Assuming Yukawa interactions, we prove the existence of an electronic ground state, solution of the self-consistent field equation. We also investigate the case of crystals with low concentration of random defects. In Chapter~ref{chap:numerical_simuation}, we present some numerical results obtained from the simulation of one-dimensional random systems.In the second part, we consider multiscale-in-time kinetic Monte Carlo models. We prove, for the three models presented in Chapter~ref{chap:kMC}, that in the limit of large time-scale separation, the slow variables converge to an effective dynamics. Our results are illustrated by numerical simulations.

Ce mémoire est consacré à l'étude mathématique de divers modèles variationnels permettant la description de systèmes quantiques, en particulier infinis. Les outils mathématiques utilisés sont ceux de l'analyse non linéaire, du calcul des variations, des équations aux dérivées partielles, de la théorie spectrale et du calcul scientifique. <br /><br />Une première partie contient quelques résultats pour des systèmes finis. Nous étudions des approximations de l'équation de Schrödinger pour N électrons dans une molécule ou un atome, puis le modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov pour un système de fermions interagissant avec une force de type gravitationnelle.<br /><br />Dans une seconde partie nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer l'existence de la limite thermodynamique pour des systèmes quantiques interagissant avec la force de Coulomb.<br /><br />Ensuite, nous construisons deux modèles de type Hartree-Fock pour des systèmes infinis. Le premier est un modèle relativiste, déduit de l'électrodynamique quantique, et qui permet de décrire le comportement d'électrons, couplés avec celui du vide de Dirac qui peut se polariser. Le second modèle décrit l'état d'un cristal non relativiste en présence d'un défaut chargé ; il est complété par une nouvelle approche numérique.<br /><br />La dernière partie du mémoire est consacrée au problème de pollution spectrale, un phénomène observé lorsque l'on cherche à calculer des valeurs propres au milieu du spectre essentiel, par exemple pour des opérateurs de Dirac ou de Schrödinger périodique.