Nous présentons quelques développements récents dans le domaine du modèle de Potts et du modèle O(N) bidimensionnels. Quelques mots clefs : Dualité des modèles de Potts couplés. Polynôme chromatique, nombres de Beraha. Polynôme de Tutte, diagramme de phase du modèle de Potts. Polymères compacts, coloriages de Tait, modèle de Flory pour la fusion d'une protéine, phase de Goldstone du modèle O(N). Couplage du modèle O(N) à la gravité quantique, méandres, noeuds, entrelacs. Modèle de Potts ferromagnétique désordonné, verre de jauge. Modèles de Potts couplés, théories conformes parafermioniques.

PREMIERE PARTIE : Modèle de Potts avec couplages aléatoires.<br /><br />Les transitions de phase en présence de désordre sont moins bien comprises que celles des systèmes purs. Afin de résoudre une<br />controverse dans la littérature, nous étudions l'effet du désordre gelé dans les systèmes qui subissent une transition de phase du premier ordre, dans le contexte du modèle de Potts à q états. Pour q grand, une transformation au modèle d'Ising en champ aléatoire est introduite. Cette transformation donne une simple explication physique de l'absence de chaleur latente en deux dimensions et elle suggère l'existence d'un point tricritique en dimension plus élevée, avec un exposant de corrélation lié à celui du modèle en champ aléatoire. Un diagramme de phase unifiant les comportements pur, percolatif et aléatoire est proposé. <br />En deux dimensions nous analysons le modèle avec l'aide de la théorie conforme des champs et nous trouvons une transition continue avec un exposant magnétique \beta/\nu qui varie continûment avec q, et un exposant de corrélation \nu ~ 1.<br />Pour q > 4, la transition du premier ordre du modèle pur est rendue continue grace aux impuretés et la classe d'universalité est différente de celle du modèle d'Ising pur. Comme attendu, les fonctions de corrélation démontrent des lois d'échelle multiples. <br /><br />SECONDE PARTIE : Polymères compacts sur le réseau carré.<br /><br />Des résultats exacts pour la statistique conformationnelle des polymères compacts sont dérivés à partir d'un modèle de deux espèces de boucles vivant sur le réseau carré. Ce modèle de boucles possède une variété bidimensionnelle de points fixes critiques, chacun caractérisé par une infinité d'exposants critiques géométriques. Nous calculons ces exposants exactement en utilisant l'équivalence du modèle de boucles à un modèle d'interface multidimensionnel. Ce dernier est décrit, dans la limite continue, par une théorie de champs conforme du type Liouville. Les polymères compacts sont identifiés avec un point particulier dans le diagramme de phase, et la valeur de l'exposant conformationnel \gamma = 117/112 est supérieure à la prédiction de champ moyen, indiquant une répulsion entropique entre les deux extrémités de la chaîne. Des polymères compacts avec une interaction non locale sont décrits par une ligne de points fixes le long de laquelle \gamma varie continûment.

Depuis la proposition en 2006 d’utiliser des nano aimants réalisés par des techniques top-down pour reproduire des « spins artificiels », l’étude des systèmes de spins artificiels a suscité un large intérêt. En effet la possibilité de pouvoir réaliser arbitrairement tous types de réseaux de spins artificiels et de pouvoir imager les configurations magnétiques de ceux-ci dans l’espace direct, offre un large terrain de jeu dans le domaine de la physique statistique. Jusqu’à présent seuls des réseaux de spins d’Ising, multi axes (réseaux kagomé ou carré avec une aimantation planaire) ou plus récemment uni axes (avec une anisotropie perpendiculaire), ont été étudiés. Cependant en physique statistique d’autres modèles de spins sont étudiés et notamment les modèles de Potts à q-états. Au cours de cette thèse nous avons étudié le cas d’un modèle de Potts à 4 états, ayant la particularité de posséder uniquement des interactions dipolaires entre les spins: le modèle de Potts dipolaire. Nous avons tout d’abord réalisé une étude théorique, montrant que sur un réseau carré, en fonction de l’angle entre les spins et ce réseau, le système possède des états fondamentaux très différents : un ordre antiferromagnétique, un ordre respectant les règles de la glace (2 in- 2 out) ou un ordre ferromagnétique. Dans une deuxième partie, nous avons exposé l’étude expérimentale du modèle de Potts dipolaire. Des réseaux formés d’aimants carrés ayant 300 nm de côté ont été réalisés par lithographie électronique, à partir d’une couche épitaxiée de Fer possédant une anisotropie quadratique. A température ambiante, ces plots possèdent une configuration magnétique monodomaine pouvant prendre 4 directions équivalentes, comme recherché pour le modèle de Potts dipolaire à 4 états. Un passage à 350°C (inférieure à la température de Curie) sous champ nul permet d’activer thermiquement la réorientation des spins afin qu’ils se rapprochent de l’état fondamental de l’assemblée de spins. Les configurations magnétiques observées après recuit, à l’aide d’un microscope à force magnétique, montrent l’importance du couplage dipolaire sur les états obtenus, ainsi que l’influence de l’angle entre les spins et l’axe du réseau. Les différentes configurations prédites théoriquement sont bien observées / Since the proposal in 2006 to use nanomagnets patterned by top-down techniques to mimic "artificial spins", the studies of artificial spin systems has attracted wide interest. As a matter of facts, the possibility to design "upon request" arbitrary network and the possibility to determine completely the "spin" configuration with magnetic imaging offer a wide playground for statistical physics. Up to now only Ising spin systems, multi axes with planar magnetization (on square or Kagome lattice) or more recently, single axis with perpendicular anisotropy, have been studied. However, beyond Ising spins, statistical physics and condensed matter physics have shown the interest of other spin models like q-state Potts models. In this thesis, we introduce the dipolar 4-state Potts model. It is shown that on a square lattice, depending on the angle between spins and lattice, the system present very different properties like antiferromagnetic order, spin ice state (2 in-2 out ice rule) and even dipolar ferromagnetism. This model has been realized experimentally. 300 nm square magnets are patterned from a 2 nm thick Fe layer with cubic anisotropy. At room temperature, the magnets present a uniform state with 4 equivalent directions. Upon heating at 350 °C the magnets switch from one direction to another. It is therefore possible to simply drive the system toward its ground state. The magnetic configurations determined by magnetic force microscopy reveals the importance of the dipolar coupling as the different expected ground states (antiferromagnetic, spin ice and ferromagnetic) are indeed observed. It is noticeable that these very different properties are obtained with the same "spins" (magnetic elements) and same lattice

L'adhérence cellulaire est un processus vital impliqué dans de nombreux phénomènes biologiques fondamentaux comme la diérenciation, la réparation tissulaire ou encore le développement cellulaire. Cette thèse porte sur une étude alliant expériences et modélisation de cellules uniques en adhérence sur des supports micro-structurés Les résultats montrent que la contrainte géomé- trique imposée par les supports à contraste adhésif limite l'adhérence. Au-delà de cette limitation, une organisation reproductible du cytosquelette d'actine est observée cela suggère l'existence de lois physiques simples régissant ce processus. Nous avons développé une méthode de classication des formes géométriques élémentaires observées expérimentalement nous permettant d'obtenir des statistiques robustes. En nous basant sur le modèle de Potts Cellulaire, nous avons pu reproduire les résultats expérimentaux. Ce modèle énergétique démontre que les formes élémentaires sont des états métastables utilisés par les cellules au cours de l'adhérence. Les paramètres du modèle sont reliés aux paramètres biologiques pertinents. Nous présentons des résultats qui relient la courbure des interfaces aux paramètres biologiques. Nous montrons que la mesure expérimentale de cette courbure est une représentation de la compétition entre la contractilité des bres de stress et l'élasticité du gel d'actine. Une correspondance entre les propriétés physiques issues du modèle et les processus biochimiques régulant et organisant l'adhérence cellulaire est ainsi possible.

Nous présentons une étude numérique des propriétés critiques du modèle de Potts bidimensionnel à q états perturbé par un désordre couplé à la densité d'énergie. Le système pur donne lieu à une transition du premier ordre lorsque q>4 alors qu'elle est continue dans le cas contraire. Nous montrons que sous l'effet d'un désordre corrélé dans une direction de l'espace, le régime du premier ordre disparait, laissant place à une transition continue dont la classe d'universalité est la meme pour toute valeur finie de q. Nous étendons l'étude à diverses modulations apériodiques des couplages d'échange permettant le controle de la divergence des fluctuations géométriques. La perturbation adoucit la transition du modèle de Potts q=8 et, pour certaines séquences apériodiques, la transition devient continue. Dans un second temps, nous nous intéressons au cas du désordre homogène. Nous confirmons l'hypothèse d'une transition continue pour toute valeur de q et montrons que le comportement critique est décrit par un point fixe désordonné dépendant du nombre d'états q. Nous observons la compatibilité de nos estimations numériques avec les expressions des profils et des fonctions de corrélation prédites par l'invariance conforme. Nous mettons à profit cette observation pour donner des estimations précises des exposants critiques associés aux quantités moyennes et à leurs moments. Les résultats sont indépendants de la distribution de désordre et sont compatibles avec les développements perturbatifs au voisinage de q=2. Ils excluent notamment la possibilité d'une brisure spontanée de la symétrie des répliques. Enfin, nous présentons des résultats préliminaires concernant le modèle de Potts q=4 dilué en dimension d=3. Le système pur donne lieu à une transition du premier ordre fortement marquée. A fortes dilutions, nous présentons quelques arguments en faveur de l'existence d'un régime de second ordre et donc d'un point tricritique.

L'objectif principal de cette thèse est de caractériser et d'analyser les phénomènes de recristallisation et de croissance des grains qui se produisent dans les métaux hexagonaux. On considère ici surtout le titane et le zirconium. pour cette raison, plusieurs expériences ont été préparées et réalisées à l'aide de la technique EBSD (la diffraction d'électrons rétrodiffusés). En même temps, un logiciel spécial utilisant l'approche de simulation et qui est basé sur le modèle Monte Carlo Potts a été conçu afin de faciliter l'analyse expérimentale. Sur la base de données expérimentales et des résultats des simulations, les modèles physiques et les hypothèses concernant les processus de recristallisation et de croissance des grains étudiés ont été proposés et vérifiés de manière positive. / The main aim of this thesis is to describe and analyse recrystallization and grain growth phenomena taking place in hexagonal metals, in particular cold-rolled titanium and channel-die compressed zirconium were considered. For that reason, several experiements were prepared and carried out using EBSD (Electron Backstartter Diffraction) technique. In addition, a special software based on Monte Carlo Potts model was developed in order to facilitate experiemental analysis using simulation approach. Based on the obtained experiemental data and simulation results, physical models and hypotheses concerning the investigate recrystallization and grain growth processes were proposed and positively verified.

Nous étudions les interfaces de quatre modèles de spins sur réseau: le modèle d'Ising à basse température, le modèle de Potts à la température critique, un modèle à symétrie continue et son approximation d'horloge.<br />Pour chacun de ces modèles, nous imposons des conditions au bord spécifiques qui assurent l'existence d'une interface ; les mesures de Gibbs associées à de telles conditions au bord satisfont alors de puissantes inégalités de corrélation. Ces inégalités nous permettent de montrer que les interfaces considérées sont rigides, au sens où ce sont des hyperplans légèrement déformés par des aspérités locales. Cette méthode est une version restreinte de la méthode de positivité par réflexion, l'une des directions de réflexion étant prohibée par les conditions au bord choisies.<br />Pour Ising et Potts, notre méthode simplifie considérablement les démonstrations historiques, puisque ni la théorie de Pirogov-Sinai, ni les développements en amas ne sont nécessaires à son application. Par ailleurs, la théorie-PS n'est directement envisageable ni pour le modèle continu ni son approximation car leurs états fondamentaux sont infiniment dégénérés; notre méthode est donc une réelle alternative à ces techniques.

En utilisant les méthodes analytiques et numériques de la Physique Statistique bidimensionnelle (matrice de transfert, invariance conforme, gaz de Coulomb, équations de Yang-Baxter, Ansatz de Bethe, Monte-Carlo), nous abordons des problèmes qui n'entrent pas dans le cadre du modèle gaussien compact : modèle de Potts antiferromagnétique critique, modèle de boucles de Brauer. Ces modèles présentent des propriétés critiques originales, comme l'apparition de degrés de liberté non-compacts. Ces propriétés apparaissent quand on introduit, dans le modèle de boucles sur réseau, des intersections entre les boucles ou une alternance des poids de Boltzmann entre les sous-réseaux. Dans le cas du modèle de Potts antiferromagnétique, nous développons l'étude de la structure issue des équations de Yang-Baxter, et nous identifions une famille d'états de Bethe associés aux degrés de liberté non-compacts. Les calculs numériques sur de grandes tailles de système permettent de conjecturer la loi d'échelle du rayon de compactification effectif. Dans le cas du modèle de Brauer avec une fugacité de boucles n = 0, nous proposons un modèle de chemin d'échappement invariant d'échelle, et nous déterminons ses propriétés critiques par des méthodes numériques. En tant qu'observable (non-locale), le chemin d'échappement caractérise les points communs et différences avec les marches aléatoires.

Dans cette thèse, nous explorons le comportement critiques de chaînes de spins gouvernées par des interactions à décroissance algébrique. Dans une première partie, nous étudions le diagramme de phase d'une chaîne de Potts en utilisant un algorithme multicanonique. Nous proposons une nouvelle méthode de détection de l'ordre des transitions de phase exploitant les points spinodaux. A l'aide de cette méthode, nous localisons la ligne séparant les transitions du premier et du second ordre avec une précision sans précédent, et mettons en évidence un effet de taille finie inhabituel. Dans une deuxième partie, nous introduisons une nouvelle méthode multicanonique intégrant un algorithme de mise-à-jour collective des spins. Cette méthode, extrêmement souple, étend considérablement l'intervalle de tailles simulables, et s'avère bien plus précise que les méthodes multicanoniques usuelles. Nous appliquons cette méthode à l'étude d'effets de taille finie dans le cadre de transitions du premier ordre : les résultats suggèrent fortement que les configurations correspondant à des phases en coexistence sont caractérisées par une dimension fractale dépendent du taux de décroissance de l'interaction. Dans un dernier chapitre, nous étudions une chaîne d'Ising régie par des interactions à longue portée en présence de champs aléatoires à distribution bimodale, et prouvons l'existence d'un point tricritique pour des interactions à décroissance lente.

La cartographie du risque en épidémiologie permet de mettre en évidence des régionshomogènes en terme du risque afin de mieux comprendre l'étiologie des maladies. Nousabordons la cartographie automatique d'unités géographiques en classes de risque commeun problème de classification à l'aide de modèles de Markov cachés discrets et de modèlesde mélange de Poisson. Le modèle de Markov caché proposé est une variante du modèle dePotts, où le paramètre d'interaction dépend des classes de risque.Afin d'estimer les paramètres du modèle, nous utilisons l'algorithme EM combiné à une approche variationnelle champ-moyen. Cette approche nous permet d'appliquer l'algorithmeEM dans un cadre spatial et présente une alternative efficace aux méthodes d'estimation deMonte Carlo par chaîne de Markov (MCMC).Nous abordons également les problèmes d'initialisation, spécialement quand les taux de risquesont petits (cas des maladies animales). Nous proposons une nouvelle stratégie d'initialisationappropriée aux modèles de mélange de Poisson quand les classes sont mal séparées. Pourillustrer ces solutions proposées, nous présentons des résultats d'application sur des jeux dedonnées épidémiologiques animales fournis par l'INRA.