Une mosaïque de Poisson-Voronoï est une partition aléatoire de l'espace euclidien en polyèdres, appelés cellules, obtenue à partir d'un ensemble aléatoire discret de points appelés germes. A chaque germe correspond une cellule, qui est l'ensemble des points de l'espace qui sont plus proches de ce germes que des autres germes. Ces modèles sont souvent utilisées dans divers domaines tels que la biologie, les télécommunications, l'astronomie, etc. Les caractéristiques de ces mosaïques et des cellules associées ont été largement étudiées dans l'espace euclidien mais les travaux sur les mosaïques de Voronoï dans un cadre non-euclidien sont rares.Dans cette thèse, on étend la définition de mosaïque de Voronoï à une variétériemannienne de dimension finie et on s'intéresse aux caractéristiques des cellules associées. Plus précisément, on mesure dans un premier temps l'influence que peut avoir la géométrie locale de la variété, c'est-à-dire les courbures sur les caractéristiques moyennes d'une cellule, comme son volume ou son nombre de sommets, en calculant des développements asymptotiques des ces caractéristiques moyennes à grande intensité. Dans un deuxième temps, on s'interroge sur la possibilité de retrouver la géométrie locale de la variété à partir des caractéristiques combinatoires de la mosaïque sur la variété. En particulier, on établit desthéorèmes limites, quand l'intensité du processus des germes tend vers l'infini, pour le nombre de sommets de la mosaïque dans une fenêtre, ce qui permet de construire un estimateur de la courbure et d'en donner quelques propriétés.Les principaux résultats de cette thèse reposent sur la combinaison de méthodesprobabilistes et de techniques issues de la géométrie différentielle. / A Poisson-Voronoi tessellation is a random partition of the Euclidean space intopolytopes, called cells, obtained from a discrete set of points called germs. To each germ corresponds a cell which is the set of the points of the space which are closer to this germ than to the other germs. These models are often used in several domains such as biology, telecommunication, astronomy, etc. The caracteristics of these tessellations and cells have been widely studied in the Euclidean space but only a few works concerns non-Euclidean Voronoi tessellation. In this thesis, we extend the definition of Poisson-Voronoi tessellation to a Riemannian manifold with finite dimension and we study the caracteristics of the associated cells. More precisely, we first measure the influence of the local geometry of the manifold, namely the curvatures, on the caracteristics of the cells, e.g. the mean volume or the mean number of vertices. Second, we aim to recover the local geometry of the manifold from the combinatorial properties of the tessellation on the manifolds. In particular, we establish limit theorems for the number of vertices of the tessellation, when the intensity of the process of the germs tends to infinity. This leads to the construction of an estimator of the curvature of the manifold and makes it possible to derive some properties of it. The main results of this thesis relies on the combination of stochastic methods and techniques from the differential geometry theory.

Ce mémoire est consacré à trois modèles classiques de géométrie aléatoire : les mosaïques, les enveloppes convexes et le modèle booléen. Dans la première partie, on étudie les mosaïques poissonniennes d'hyperplans isotropes et plus particulièrement leur zéro-cellule qui est un polyèdre convexe aléatoire de l'espace euclidien. Deux cas particuliers de zéro-cellules sont la cellule typique de Poisson-Voronoi et la cellule de Crofton. On donne une formule explicite pour la loi du nombre de côtés d'une zéro-cellule en dimension deux. On s'intéresse au comportement asymptotique de cette loi et on fait le lien avec le problème de Sylvester des points en position convexe. On décrit ensuite la loi du rayon circonscrit ainsi que le comportement asymptotique du polyèdre à grand rayon inscrit au moyen de théorèmes limites. De cette manière et aussi par l'utilisation de la fréquence fondamentale, on apporte des précisions à l'énoncé de la conjecture de D. G. Kendall. La seconde partie a pour objet les enveloppes convexes de processus ponctuels de Poisson isotropes dans la boule-unité. On établit un résultat de type grandes déviations pour le nombre de sommets. On montre ensuite la convergence de la frontière de l'enveloppe après changement d'échelle et on en déduit des résultats de valeurs extrêmes, estimations de variance, théorèmes centraux limites et principes d'invariance pour certaines caractéristiques. Dans la troisième partie, on s'intéresse enfin aux modèles de recouvrement de type booléen de l'espace euclidien. Dans un premier travail, on applique une variante du modèle sans interpénétration des objets à la modélisation d'un phénomène de fissuration. On étudie ensuite la convergence de la composante connexe de l'origine d'un modèle booléen vers la cellule de Crofton en dimension deux. On s'intéresse enfin à la fonction de visibilité de cette composante connexe pour laquelle on obtient une estimée de la queue de distribution et des résultats de valeurs extrêmes.