Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de synchronisation d'oscillateurs lents-rapides inspirés de la neuroendocrinologie et des neurosciences, en se concentrant sur les effets des phénomènes de type canard et bifurcations dynamiques sur le comportement collectif.Nous partons d'un système de dimension 4 qui représente les caractéristiques dynamiques qualitatives et quantitatives du profil de sécrétion de la neurohormone GnRH (gonadotropin releasing hormone) au cours d'un cycle ovarien. Ce modèle est constitué de deux oscillateurs de FitzHugh-Nagumo avec pour chacun des échelles de temps différentes. Le couplage unidirectionnel de l'oscillateur lent (représentant l'activité moyenne d'une population de neurones régulateurs) vers l'oscillateur rapide (représentant l'activité moyenne d'une population de neurones sécréteurs) donne une structure à trois échelles de temps. Le comportement de l'oscillateur rapide est caractérisé par une alternance entre un régime de type cycle de relaxation et un régime de quasi-stationnaire qui induit des transitions de type canard dans le modèle ; ces transitions ont un fort impact sur le modèle de sécrétion du système de dimension 4. Nous proposons un premier pas supplémentaire dans la modélisation multi-échelles (en espace) du système GnRH, c'est-à-dire que nous étendons le système original à 6 dimensions en considérant deux sous-populations distinctes de neurones sécréteurs recevant le même signal des neurones de régulation. Cette étape nous permet de enrichir les motifs possibles de sécrétion de GnRH tout en gardant un cadre dynamique compact et en préservant la séquence des événements neuro-sécréteurs capturés par le modèle de dimension 4, à la fois qualitativement et quantitativement.Une première analyse du modèle GnRH étendu à 6 dimensions est présentée dans le Chapitre 2, où nous montrons à l'aide d'un système minimal de dimension 5 l'existence de trajectoires de type canard dans des systèmes lents-rapides couplés présentant des points pseudo-stationnaires. Le couplage provoque la séparation des trajectoires correspondant à chaque sécréteur qui se retrouvent de chaque côté du canard maximal (associé soit à un point pseudo-stationnaire de type noeud soit à un pseudo-col). Nous explorons les rapports entre les canards en présence et le couplage, ainsi que leur impact sur les motifs de sécrétion collective du modèle de dimension 6. Nous identifions deux sources différentes de (dé)synchronisation due aux canards dans les événements sécrétoires, qui dépendent du type de point pseudo-stationnaire sous-jacent.Dans le Chapitre 3, nous proposons une modélisation possible des comportements complexes de sécrétion de GnRH qui ne sont pas capturés par le modèle de dimension 4, à savoir, une décharge avec 2 ``bosses'' et une désynchronisation partielle avant la décharge, en utilisant le modèle de dimension 6 précédemment construit. Pour obtenir une décharge avec deux bosses, il est essentiel d'utiliser des fonctions de couplage asymétriques dépendant du régulateur ainsi que d'introduire de l'hétérogénéité dans les sous-populations de sécréteurs. Pendant le régime pulsatile, il apparaît que le signal régulateur varie lentement et, ce faisant, provoque une bifurcation dynamique qui est responsable de la perte de synchronie dans le cas de sécréteurs non identiques et asymétriquement couplés. Nous introduisons des outils analytiques et numériques pour façonner et quantifier ces caractéristiques supplémentaires et les intégrer dans le profil complet de sécrétion. / This dissertation investigates synchronization properties of slow-fast oscillators inspired from neuroendocrinology and neuronal dynamics, focusing on the effects of canard phenomena and dynamic bifurcations on the collective behavior. We start from a 4-dimensional system which accounts for the qualitative and quantitative dynamical features of the secretion pattern of the neurohormone GnRH (gonadotropin releasing hormone) along a whole ovarian cycle. This model involves 2 FitzHugh-Nagumo oscillators with different timescales. Unidirectional coupling from the slow oscillator (representing the mean-field activity of a population of regulating neurons) to the fast oscillator (representing the mean-field activity of a population of the secreting neurons) gives a three timescale structure. The behavior of the fast oscillator is characterized by an alternation between a relaxation cycle and a quasi-stationary state which introduces canard-mediated transitions in the model; these transitions have a strong impact on the secretion pattern of the 4-dimensional system. We make a first step forward in multiscale modeling (in space) of the GnRH system, namely, we extend the original system to 6 dimensions by considering two distinct subpopulations of secreting neurons receiving the same signal from the regulating neurons. This step allows us to enrich further the GnRH secretion pattern while keeping a compact dynamic framework and preserving the sequence of neurosecretory events captured by the 4-dimensional model, both qualitatively and quantitatively. An initial analysis of the extended 6-dimensional GnRH model is presented in Chapter 2, where we prove using a 5D minimal model the existence of canard trajectories in coupled systems with folded singularities. Coupling causes separation of trajectories corresponding to each secretor by driving them to different sides of the maximal canard (associated with either a folded-node or a folded-saddle singularity). We explore the impact of the relationship between canard structures and coupling on the collective secretion pattern of the 6-dimensional model. We identify two different sources of canard-mediated (de)synchronization in the secretory events, which depend on the type of underlying folded singularity. In Chapter 3, we attempt to model complex behaviors of the GnRH secretion not captured by the 4-dimensional model, namely, a surge with 2 bumps and partial desynchronization before the surge, by using the 6-dimensional model previously constructed. Regulatory-dependent asymmetric coupling functions and heterogeneity in the secretor subpopulations are essential for obtaining such a 2-bump surge. During the pulsatile regime, we find that the slowly varying regulatory signal causes a dynamic bifurcation, which is responsible for loss of synchrony in asymmetrically coupled nonidentical secretors. We introduce analytic and numerical tools to shape and quantify the additional features embedded within the whole secretion pattern.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets. La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts. Dans le chapitre 2, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre 3, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre 4, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un. Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre 6, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Cette thèse concerne la conception de commandes échantillonnées pour les systèmes non-linéaires en temps continu. Les systèmes échantillonnés sont des éléments inhérents aux systèmes contrôlés par ordinateur, les systèmes hybrides ou les systèmes embarqués. La conception et le calcul des contrôleurs numériques appropriés sont des taches difficiles car ils contiennent des composants à la fois continu et en temps discret. Ce travail s'inscrit dans une activité de recherche menée par S. Monaco et D. Normand-Cyrot dans le domaine des systèmes échantillonnés non-linéaires. L'idée de base est de concevoir des contrôleurs digitaux qui permettent de récupérer certaines propriétés en temps continu qui sont généralement dégradées par l'échantillonnage. Tel est le cas de l'émulation lorsque les contrôleurs en temps continu sont mis en ouvre en utilisant des bloqueurs d'ordre zéro. Cette thèse apporte des contributions dans trois directions complémentaires. La première concerne les développements théoriques: une nouvelle conception de type ``backstepping digital" est proposée pour les systèmes en forme ``strict-feedback". Cette méthode est comparée à d'autres stratégies proposées dans la littérature. La deuxième contribution est le développement d'un logiciel pour la synthèse des contrôleurs et d'une ``boîte à outils" pour simuler (en Matlab) les systèmes échantillonnés non-linéaires et leurs contrôleurs. Cette boîte à outils inclut plusieurs algorithmes pour la synthèse de contrôleurs échantillonnés tels que: commande de type multi-échelle, reproduction entrée-sortie/Lyapunov, backstepping digital, etc. La troisième contribution concerne plusieurs études de cas menées pour mettre en évidence les performances des contrôleurs échantillonnés, calculés avec l'aide du logiciel. Des résultats expérimentaux et des simulations sont décrits pour divers exemples réels dans les domaines électriques et mécaniques. / This thesis is concerned with the sampled-data control of non-linear continuous-time systems. Sampled-data systems are present in all computer controlled, hybrid or embedded systems. The design and computation of suitable digital controllers represent unavoidable tasks since both continuous and discrete-time components interact. The basic framework of this work takes part of a wide research activity performed by S. Monaco and D. Normand-Cyrot regarding non-linear sampled-data systems. The underlying idea is to design digital controllers that recover certain continuous-time properties that are usually degraded through sampling as it is the case when continuous-time controllers are implemented by means of zero-order holder devices (emulated control). This thesis brings contributions into three different directions. The first one regards theoretical developments: a new digital backstepping-like strategy design for strict-feedback systems is proposed. This method is compared with other strategies proposed in the literature. The second contribution is the development of a control designer and of a simulation toolbox (in Matlab) for non-linear sampled-data systems. This toolbox includes different digital design strategies such as: multi-rate control, input-output/Lyapunov matching, digital backstepping design, etc. The third contribution concerns several case studies conducted to highlight the performances of the sampled-data controller designs, computed by the means of the software toolbox. Experimental and simulation results are described for various real examples especially in the area of electrical and mechanical processes. / Teza de față se concentrează asupra studiului controlului eșantionat pentru sisteme neliniare în timp continuu. Sistemele eșantionate sunt componente indispensabile oricăror sisteme de control bazate pe dispozitive de calcul, sisteme hibride sau sisteme embedded. Sinteza și calculul comenzilor digitale, potrivite pentru astfel de sisteme, devine o sarcină dificilă o dată ce presupune existența de dinamici în timp discret respectiv în timp continuu.Cadrul de bază al acestei lucrări se regăsește în activitatea de cercetare realizată de Salvatore Monaco și Dorothée Normand-Cyrot în domeniul sistemelor eșantionate neliniare. Ideea care stă la bază este de a sintetiza comenzile digitale urmărind menținerea unor proprietăți impuse în timp continuu sub eșantionare. Aceste proprietăți sunt în general degradate sub eșantionare cum este cazul comenzilor emulate, când comenzile continue sunt implementate practic cu ajutorul extrapolatoarelor de ordin 0.Această teză își aduce aportul în 3 direcții complementare. Prima adresează dezvoltările teoretice unde o nouă sinteză de tip backstepping digital este propusă pentru sisteme în formă <strict-feedback>. Această metodă, dezvoltată în două versiuni, este comparată cu alte strategii similare propuse în literatură. A doua contribuție a tezei este legată de dezvoltarea unui toolbox software pentru sinteza de controllere digitale pentru sisteme nelinare sub eșantionare. Acest toolbox include strategii diferite pentru sinteza eșantionată precum: comandă de tip multi-rate, reproducere intrare-ieșire/Lyapunov, backstepping digital și alte soluții care sunt obiectul unor noi extensii. A treia contribuție este dată de studiile de caz dezvoltate pentru a scoate în evidență performanțele comenzilor eșantionate testate și calculate cu ajutorul aplicației software. Rezultatele experimentale și de simulare sunt obținute pentru diverse exemple reale din domeniul electric și mecanic.

Cette thèse pose les principes d'une utilisation de la réduction de modèle dans un contexte de décomposition de domaine en dynamique transitoire des structures. L'intégration temporelle est explicite, dédiée à la prise en compte de phénomènes rapides tels que des impacts. L'approche multi-domaines mise en oeuvre permet de découpler les échelles de temps entre les sous-domaines, par l'intermédiaire d'une gestion des incompatibilités de maillage aux frontières et d'une stratégie à plusieurs pas de temps. La réduction est introduite dans le formalisme de façon totalement générique via la projection de l'équilibre sur un sous-domaine donné sur une base modale locale et sans modification de l'algorithme générale, les opérateurs éléments finis initiaux étant remplacés par leur projection sur la base et les relations de continuité aux frontières entre les domaines étant reconstruites dans l'espace physique. La cas particulier de la non-linéarité géométrique issue de sous-domaines en vibration libres de blocage et subissant des rotations d'ensemble d'amplitude finie fait l'objet d'une analyse spécifique, aboutissant à une réduction à deux échelles. La connexion entre un sous-domaine ainsi projeté et les autres sous-domaines présentent des particularités au niveau du coût numérique du calcul des efforts d'interface, ce qui fait l'objet de l'élaboration d'une technique de résolution totalement nouvelle. La pertinence et les performances, en résolution séquentielle, du formalisme proposé sont illustrées sur des exemples issus de l'industrie en support de la thèse.