La détection et la segmentation de formes dans les images à partir d'un échantillon nécessitent de combiner une analyse statistique des données à une analyse morphologique de l'image. L'analyse statique a pour objectif un calcul local de la similarité de l'image au modèle ; l'analyse morphologique vient compléter ce dispositif en permettant la prise en compte de l'information géométrique pour finaliser les étapes de détection et de segmentation. Les images étudiées sont des images multivaluées : images couleur, images multimodalité ou pile d'images émergeant d'une analyse multiéchelle d'une image scalaire... Le passage de l'image scalaire à l'image multivaluée pose des difficultés fondamentales, notamment pour l'analyse morphologique qui requiert de disposer d'un ordre total sur les valeurs manipulées. Contrairement aux scalaires, deux vecteurs ne sont pas comparables. La plupart des opérateurs définis dans le cas scalaire ne trouvent pas d'équivalent immédiat dans le cas vectoriel. Travailler à partir d'un échantillon permet de déverrouiller la situation, chaque élément de l'image multivaluée pouvant être ordonné selon sa similarité à l'échantillon. Sous réserve d'une relation univoque entre les vecteurs et leur rang dans l'espace des similarités, tous les opérateurs définis pour les images scalaires peuvent alors êtres étendus aux images vectorielles. Des applications sur les images couleur et sur des images médicales sont présentées. Une librairie "Open Source" (vmorph) a été réalisée afin détendre les opérateurs de morphologie mathématique aux vecteurs sur la base de nos travaux.

Nous nous intéressons aux approches par EDP pour la régularisation<br />d'images multivaluées, et leurs applications à une large classe de<br />problèmes d'intérêts. L'étude et la comparaison des méthodes<br />existantes nous permet à la fois de proposer un cadre mathématique<br />commun mieux adapté aux interprétations géométriques locales de<br />ces EDP, mais aussi de concevoir des schémas numériques efficaces<br />pour leur mise en oeuvre.<br />Nous développons de cette façon une nouvelle approche de régularisation multivaluée vérifiant certaines propriétés géométriques locales importantes, qui peut être utilisée dans de nombreuses applications différentes. Nous abordons ensuite le problème lié à la régularisation de données multivaluées<br />contraintes. Un formalisme variationel est proposé afin de traiter<br />dans un cadre unifié, des données de direction comme les champs de<br />vecteurs unitaires, de matrices de rotation, de tenseurs de diffusion etc.<br />Les solutions apportées sont analysées et utilisées avec succès pour résoudre de nombreux problèmes, notamment la régularisation et l'interpolation d'images couleurs, la visualisation de flots, la régularisation de mouvements rigides estimés à partir de<br />séquences vidéos, et l'aide à la reconstruction de réseaux cohérents de fibres dans la matière blanche du cerveau, à partir de la régularisation d'images d'IRM de diffusion.

On étudie les fonctions multivaluées vers un espace de Hilbert. Après avoir introduit unebonne notion de p énergie, on donne une définition possible d’espace de Sobolev et on prouveun théorème d’existence des p minimiseurs. Puis on considère les fonctions bivaluées de deuxvariables, stationnaires pour les déformations au départ et à l’arrivée. On démontre qu’ellessont localement lipschitziennes et on utilise cette régularité pour montrer la convergence fortedans W1,2 vers leur unique éclatement en un point. L’ensemble de branchement d’une tellefonction est la réunion localement finie de courbes analytiques qui se rencontrent en faisantdes angles égaux. Nous donnons aussi un exemple de fonction discontinue et stationnaireseulement pour les déformations au départ.Dans un deuxième temps, on prouve qu’il n’existe pas de rétraction uniformément continuede l’espace des champs vectoriels continus vers le sous-espace de ceux dont la divergence estnulle en un sens distributionnel. On généralise ce résultat en toute codimension en utilisant lanotion de m charge et à tout ensemble X ⊂ Rn vérifiant une hypothèse géométrique mineure. / We study multiple valued functions with values in a Hilbert space. We introduce a possibledefinition of Sobolev spaces and the rightful notion of p energy. We prove the existence of pminimizers. Then we consider two-valued real functions of two variables which are stationarywith respect to both domain and range transformations. We prove their local Lipschitzcontinuity and use it to establish strong convergence in W1,2 to their unique blow-up at anypoint. We claim that the branch set of any such function consists of finitely many real analyticcurves meeting at nod points with equal angles. We also provide an example showing thatstationarity with respect to domain transformations only does not imply continuity.In a second part, we prove that there does not exist a uniformly continuous retractionfrom the space of continuous vector fields onto the subspace of vector fields whose divergencevanishes in the distributional sense. We then generalise this result using the concept of mcharges on any subset X _ Rn satisfying a mild geometric condition, there is no uniformlycontinuous representation operator for mcharges in X.

Le but de cette thèse est de spécifier des outils de simulation, de simulation de pannes et de génération de vecteurs de test, utilisables sur des circuits v.l.s.i. décrits sous forme de réseaux de transistors. Un transistor MOS (interrupteur) est par nature bi-directionnel, et il est impossible de prévoir le sens des courants qui le traversent sans appliquer aux réseaux de transistors un traitement préliminaire, qui reconnait les boucles et les transistors de transmission, et définit le sens de propagation des signaux. Ce traitement préliminaire, bien qu'il permette à la vérification proprement dite d'être plus rapide, ne respecte par le concept de réseau bi-directionnel. On a donc choisi de vérifier les réseaux de transistors de façon directe, en créant des outils qui pallient l'ignorance des courants. En outre, l'algèbre des états représentant les signaux qui circulent dans les réseaux, doit être choisie de façon a pouvoir modéliser tous les comportements spécifiques de ce niveau de description. Cette algèbre est multivaluée, et comporte des couples (valeur, force) décrivant la tension et l'intensité des signaux

Ce mémoire présente une synthèse des activités de recherche en morphologie mathématique menées au LSIIT (UMR 7005 CNRS–UDS) depuis 2003. La morphologie mathématique est une théorie introduite il y a quarante ans par les chercheurs français Georges Matheron et Jean Serra. Elle connaît depuis un vif succès dans la communauté de l'analyse et du traitement des images, puisqu'elle permet l'analyse des structures spatiales (le plus souvent au travers d'un voisinage défini par le terme d'élément structurant) dans un cadre non-linéaire. Son application aux images binaires et aux images en niveaux de gris s'effectue très simplement en s'appuyant sur la théorie des ensembles ou mieux, celle des treillis. Cependant, son extension au cas des images multivaluées (où chaque pixel est représenté par un vecteur et non plus par un scalaire) n'est pas triviale et reste un problème ouvert. Ainsi, nous nous sommes intéressés aux approches morphologiques vectorielles basées sur des ordres totaux (aux fondements théoriques les plus valides), en cherchant à atténuer, à l'aide de différentes méthodes de quantification, leur caractère fortement asymétrique afin de mieux exploiter l'ensemble des données disponibles. Nous avons également étudié une autre stratégie consistant à éviter l'appel explicite à un ordre vectoriel, et à décomposer l'image en un ensemble de composantes binaires ou à niveaux de gris, traitées indépendemment ou conjointement. Indépendamment de la nature des images considérées, la création des systèmes d'analyse d'image par morphologie mathématique nécessite le plus souvent une expertise du domaine et une connaissance très fine du problème pour pouvoir choisir, combiner, et paramétrer les opérateurs morphologiques à bon escient. De ce fait, les méthodes morphologiques ne peuvent généralement pas être réutilisées dans un contexte différent de celui pour lequel elles ont été élaborées, et ne respectent que très peu la contrainte de généricité souhaitée en analyse d'image. Ce problème n'est bien sûr pas spécifique à la morphologie mathématique et est récurrent en traitement d'image, et nous l'avons abordé selon deux axes principaux. D'une part, nous avons étudié les connaissances pouvant être formalisées au sein des éléments structurants dans le contexte de la détection d'objet. D'autre part, nous avons exploité des procédures de classification supervisée (où des ensembles d'apprentissage sont fournis par l'expert) ou non-supervisée (où seul le nombre d'objets ou de classes d'intérêt est connu) au sein du processus de segmentation d'image en régions. L'objectif sous-jacent à ces travaux fondamentaux est d'aboutir à terme à des approches morphologiques multivaluées et guidées par les connaissances, aptes à traiter tout type d'information, dans tout contexte. Nous avons donc cherché à appliquer ces développements théoriques et méthodologiques dans différents domaines, en particulier l'analyse d'images couleur (dans un but d'annotation et de recherche par le contenu), ainsi que la télédétection (à très haute résolution spatiale) et l'imagerie astronomique (où les données peuvent être particulièrement bruitées). Ces domaines d'application, où les images sont de nature multivaluée et où l'intégration de connaissances pour guider les traitements est nécessaire, sont particulièrement pertinents puisque l'information spatiale y est cruciale, la morphologie mathématique prenant alors tout son sens. Les problèmes récurrents rencontrés dans ces différents domaines sont la détection, la segmentation, et la description des images. En complément à ces travaux relatifs à la morphologie mathématique, nous présentons le projet PELICAN, une plate-forme générique et extensible pour le traitement d'image. Ce mémoire se termine par une présentation de quelques perspectives de recherche envisagées dans le cadre de différentes collaborations. Ainsi, l'apport des propriétés d'invariance et d'imprécision dans le contexte de la morphologie mathématique aurait des répercussions en imagerie du vivant. L'analyse morphologique de séquences vidéo, et l'élaboration de descripteurs morphologiques locaux offriraient des solutions alternatives en indexation multimédia. Enfin, la morphologie mathématique n'étant par définition pas limitée à des données de type image, son application à des données de différentes natures mérite d'être étudiée avec une attention particulière.