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This research investigates relationships between undergraduate students' understanding of proof and how this understanding relates to their conceptions of mathematical definitions. Three students in an introductory proofs course were each interviewed three times in order to assess their proof schemes, understand how they think of specific mathematical concepts, and investigate how the students prove relationships between these concepts. This research used theoretical frameworks from both proof and definition literature. Findings show that students' ability or inability to adapt their concept images of the mathematical concepts enhanced and impeded their proof schemes, respectively. / Master of Science

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Les travaux présentés dans ce mémoire traitent de la synthèse d'algorithmes de diagnostic de défauts simples et multiples. L'objectif vise à proposer une stratégie de diagnostic à minimum de redondance analytique en exploitant au mieux les informations de redondance matérielle éventuellement disponibles sur le système. Les développements proposés s'inscrivent dans une démarche de coopération et d'agrégation des méthodes de diagnostic et la construction optimale d'un diagnostic global en fonction des diagnostiqueurs locaux. Les travaux réalisés se veulent génériques dans le sens où ils mêlent à la fois les concepts et outils de deux communautés : ceux de la communauté FDI (Fault Detection and Isolation) et ceux de la communauté DX (Diagnosis) dont les bases méthodologiques sont issues des domaines informatiques et intelligence artificielle. Ainsi, le problème de détection (ainsi que le problème de localisation lorsque les contraintes structurelles le permettent) est résolu à l'aide des outils de la communauté FDI tandis que le problème de localisation est résolu à l'aide des concepts de la communauté DX, offrant ainsi une démarche méthodologique agrégée. La démarche méthodologique se décline en deux étapes principales. La première phase consiste en la construction d'une matrice de signatures mutuellement exclusive. Ainsi, le problème du nombre minimal de relations de redondance analytique (RRA), nécessaires pour établir un diagnostic sans ambiguïté, est abordé. Ce problème est formalisé comme un problème d'optimisation sous contraintes qui est efficacement résolu à l'aide d'un algorithme génétique. La deuxième étape concerne la génération des diagnostics. Ainsi, pour une situation observée, identifier les conflits revient à définir les RRAs non satisfaites par l'observation. Les diagnostics sont obtenus à l'aide d'un algorithme basé sur le concept de formules sous forme MNF (Maximal Normal Form). L'intérêt majeur dans cette approche est sa capacité à traiter le diagnostic des défauts simples et multiples ainsi que le diagnostic des plusieurs modes de fautes (i.e., le diagnostic des différents types de défauts) associés à chaque composant du système surveillé. De plus, il existe des preuves d'optimalité tant au niveau local (preuve de robustesse/sensibilité) qu'au niveau global (preuve de diagnostics minimaux). La méthodologie proposée est appliquée à la mission spatiale Mars Sample Return (MSR). Cette mission, entreprise conjointement entre l'administration nationale de l'aéronautique et de l'espace (NASA) et l'agence spatiale européenne (ESA), vise à ramener des échantillons martiens sur Terre pour des analyses. La phase critique de cette mission est la phase rendez-vous entre le conteneur d'échantillons et l'orbiteur. Les travaux de recherche traitent le problème de diagnostic des défauts capteurs présents sur la chaîne de mesure de l'orbiteur pendant la phase de rendez-vous de la mission. Les résultats, obtenus à l'aide du simulateur haute fidélité de Thalès Alenia Space, montrent la faisabilité et l'efficacité de la méthode. / The work presented in this thesis deals with the synthesis of algorithms for the diagnosis of simple and multiple faults. The main objective which is pursued is to design a fault diagnosis scheme by merging a minimum number of analytic redundancy with the available hardware redundancy. The main contribution of the proposed technique concerns the general architecture of the proposed diagnosis method. The originality of the research work is the combination of ideas and tools originated from two research communities : the FDI (Fault Detection and Isolation) community and the DX (Diagnosis) community whose foundations are derived from Computer Science and Artificial Intelligence fields. Hence, the fault detection problem (as well as the isolation task when structural constraints allow it) is solved by means of FDI techniques while the fault isolation problem is solved through the DX approaches, thus resulting in an aggregated methodology. The proposed method is divided in two steps. The first step deals with the construction of a mutually exclusive signature matrix. Hence, the problem of the minimal number of analytic redundancy relations (ARR), necessary for generating a diagnosis without any ambiguity, is treated. This problem is formalised as an optimized problem under constraints which is efficiently solved by means of a genetic algorithm. The second step concerns the generation of diagnoses. Thus, for an observed situation, the identification of conflicts results in the determination of the non satisfied ARRs for the given observation. The diagnoses are obtained by means an algorithm based on the concept of MNF (Maximal Normal Form) formulas. The main interest of this approach is its capacity to deal with the diagnosis of simple and multiple faults as well as the diagnosis of multi-modes faults (i.e., multiple types of faults) associated to each component of the system. Furthermore, it exists proofs on optimality both at a local level (proof of robustness/sensitivity) and at a global level (proof of minimal diagnoses). The proposed method is applied to the Mars Sample Return (MSR) mission. This spacecraft mission, undertaken jointly by the National Aeronautics and Space Administration (NASA) and the European Space Agency (ESA), aims at returning tangible samples from Mars atmosphere and ground to Earth for analysis. The critical phase of the mission is the rendezvous phase between the sample container vehicle and the orbiter spacecraft. The research work aims at realising sensor fault diagnosis on the orbiter during the rendezvous phase of the mission. Simulation results from the MSR high fidelity simulator, provided by Thalès Alenia Space, demonstrate the feasibility and the efficiency of the proposed approach.