Neste trabalho, nós abordamos alguns resultados de T. Fukuda e de N. Dutertre e T. Fukui sobre a topologia das singularidades de Morin. Em particular, apresentamos uma nova prova para o Teorema de Dutertre-Fukui [2, Theorem 6.2], para o caso em que N = Rn, usando a Teoria de Morse para variedades com bordo. Baseados nas propriedades de um n-campo de vetores gradiente (∇ f1; : : : ∇fn) de uma aplicação de Morin f : M → Rn, com dim M ≥ n, na segunda parte deste trabalho, nós introduzimos o conceito de n-campos de Morin para n-campos de vetores que não são necessariamente gradientes. Nós também generalizamos o resultado de T. Fukuda [3, Theorem 1], que estabelece uma equivalência módulo 2 entre a característica de Euler de uma variedade diferenciável M e a característica de Euler dos conjuntos singulares de uma aplicação de Morin definida sobre M, para o contexto dos n-campos de Morin. / In this work, we revisit results of T. Fukuda and N. Dutertre and T. Fukui on the topology of Morin maps. In particular, we give a new proof for Dutertre-Fukui\'s Theorem [2, Theorem 6.2] when N = Rn, using Morse Theory for manifolds with boundary. Based on the properties of a gradient n-vector field (∇ f1; : : : ∇ fn) of a Morin map f : M → Rn, where dim M ≥ n, in the second part of this work, we introduce the concept of Morin n-vector field for n-vector fields V = (V1; : : : ; Vn) that are not necessarily gradients. We also generalize the result of T. Fukuda [3, Theorem 1], which establishes a module 2 equivalence between Euler\'s characteristic of a manifold M and Euler\'s characteristic of the singular sets of a Morin map defined on M, to the context of Morin n-vector fields.

Neste trabalho, nós abordamos alguns resultados de T. Fukuda e de N. Dutertre e T. Fukui sobre a topologia das singularidades de Morin. Em particular, apresentamos uma nova prova para o Teorema de Dutertre-Fukui [2, Theorem 6.2], para o caso em que N = Rn, usando a Teoria de Morse para variedades com bordo. Baseados nas propriedades de um n-campo de vetores gradiente (∇ f1; : : : ∇fn) de uma aplicação de Morin f : M → Rn, com dim M ≥ n, na segunda parte deste trabalho, nós introduzimos o conceito de n-campos de Morin para n-campos de vetores que não são necessariamente gradientes. Nós também generalizamos o resultado de T. Fukuda [3, Theorem 1], que estabelece uma equivalência módulo 2 entre a característica de Euler de uma variedade diferenciável M e a característica de Euler dos conjuntos singulares de uma aplicação de Morin definida sobre M, para o contexto dos n-campos de Morin. / In this work, we revisit results of T. Fukuda and N. Dutertre and T. Fukui on the topology of Morin maps. In particular, we give a new proof for Dutertre-Fukui\'s Theorem [2, Theorem 6.2] when N = Rn, using Morse Theory for manifolds with boundary. Based on the properties of a gradient n-vector field (∇ f1; : : : ∇ fn) of a Morin map f : M → Rn, where dim M ≥ n, in the second part of this work, we introduce the concept of Morin n-vector field for n-vector fields V = (V1; : : : ; Vn) that are not necessarily gradients. We also generalize the result of T. Fukuda [3, Theorem 1], which establishes a module 2 equivalence between Euler\'s characteristic of a manifold M and Euler\'s characteristic of the singular sets of a Morin map defined on M, to the context of Morin n-vector fields.