Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2009. / Submitted by Jaqueline Ferreira de Souza (jaquefs.braz@gmail.com) on 2010-03-10T19:40:41Z No. of bitstreams: 1 2009_AndreCaldasdeSouza.pdf: 1455086 bytes, checksum: 3ce04c510f6a016355cfbf203f266d46 (MD5) / Approved for entry into archive by Daniel Ribeiro(daniel@bce.unb.br) on 2010-03-11T01:19:52Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2009_AndreCaldasdeSouza.pdf: 1455086 bytes, checksum: 3ce04c510f6a016355cfbf203f266d46 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-03-11T01:19:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2009_AndreCaldasdeSouza.pdf: 1455086 bytes, checksum: 3ce04c510f6a016355cfbf203f266d46 (MD5) Previous issue date: 2009 / Introduzimos os conceitos de recorrência, recorrência por cadeias e decomposição de Morse para analisar os comportamentos recorrente e transiente de um fluxo topológico num espaço métrico compacto. A partir dessas ferramentas, fornecemos uma descrição precisa do comportamento recorrente de um fluxo linear em um espaço projetivo através da sua decomposição de Jordan. O resultado principal diz que o conjunto recorrente por cadeias coincide com os pontos fixos da componente de Jordan hiperbólica e o conjunto recorrente coincide com a interseção dos pontos fixos das componentes de Jordan hiperbólica e unipotente. Essa descrição e estendida para um fluxo linear induzido em uma órbita projetiva compacta de um subgrupo de Lie semi-simples linear qualquer. O ponto chave é mostrar que as órbitas projetivas compactas são invariantes pelas componentes de Jordan do fluxo. Exemplos de órbitas projetivas compactas incluem as grasmanianas e as variedades flag. ______________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We introduce the concepts of recurrence, chain recurrence and Morse decomposition in order to analyze the recurrent and transient behavior of a topological flow in a compact metric space. Using these tools, we provide a precise description of the recurrent behavior of a linear flow over a projective space by means of it’s Jordan decomposition. The main result states that the chain recurrent set is precisely the fix points of the hiperbolic Jordan component, and the recurrent set is the intersection of the fixed points of the hiperbolic and unipotent Jordan components. This characterization is further extended to a linear flow induced in a projective compact orbit of an arbitrary semisimple linear Lie subgroup. The key step is showing that the projective compact orbits are invariant by the action of the Jordan components of the flow. Examples of projective compact orbits include the grassmanians and the flag varieties.

Orientadora: Profa. Dra. Mariana Rodrigues da Silveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2018. / A Teoria de Morse é baseada na obtenção de informações topológicas de uma variedade M diferenciável por meio de uma função real f : M !R com apenas pontos críticos não degenerados. Nesta dissertação estudamos uma adaptação desta teoria para funções com imagem no círculo S1. Este estudo é realizado considerando o recobrimento cíclico infinito de M induzido pelo recobrimento universal R sobre S1. Mostramos que, assim como no caso Morse, informações topológicas de M podem ser recuperadas através de um complexo de cadeias construído a partir dos pontos críticos de f . / Morse theory is based on recovering topological information about a smooth manifold M using a real valued function f : M ! R with a finite number of nondegenarate critical points. In this work we study an adaptation of this theory for circle valued maps. This study is done considering the infinite cyclic covering of M induced by the universal covering R of S1. We prove that, as in the Morse case, topological information of M can be recovered using a chain complex generated by the critical points of f .

[pt] Para (Lambda) uma matriz diagonal real de espectro simples, consideramse O(Lambda), a variedade de matrizes reais, simétricas conjugadas a (Lambda), e Tau (Lambda), a variedade das matrizes tridiagonais em O(Lambda). Calcula-se as homologias das duas variedades, combinando técnicas de teoria de Morse e sistemas integráveis. Como conseqüência, mostra-se que a imersão de O(Lambda) no espaço vetorial de matrizes reais simétricas é tight e taut, o que tem implicações em teoria espectral numérica. / [en] For (Lambda) a real, diagonal matrix of simple spectrum, we consider O(lambda), the isospectral manifold of real, symmetric matrices conjugate to (Lambda), and (Tau)(Lambda), the isospectral manifold of tridiagonal matrices in O(Lambda).We compute the homologies of both manifolds, combining techniques of Morse theory and integrable systems. As a consequence, we show that the immersion of O(Lambda) in the vector space of real symmetric matrices is tight and taut, a fact with implications in numerical spectral theory.

Neste trabalho, estudamos a existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes de certos problemas p-sublineares envolvendo o operador p-laplaciano usando teoria de Morse. / The purpose of this text is to provide a didactic exposition of the paper “Solutions of p-sublinear p-Laplacian equation via Morse theory” by Yuxia Guo and Jiaquan Liu [8]. This paper addresses the existence and multiplicity of solutions for the problem where is a smooth, bounded domain of RN, p is the p-Laplacian operator and f satisfies certain conditions, in particular f is p-sublinear at 0. Morse theory is used to infer the existence of critical points of a functional associated to this problem. In Chapter 2, we introduce the necessary Morse theoretic concepts, assuming basic knowledge of singular homology theory. In Chapter 3, we introduce basic properties of the p-Laplacian operator, assuming knowledge of Sobolev spaces, including imbedding and compactness results. Finally, in Chapter 4, we follow Guo and Liu’s paper itself.

Neste trabalho, estudamos a existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes de certos problemas p-sublineares envolvendo o operador p-laplaciano usando teoria de Morse. / The purpose of this text is to provide a didactic exposition of the paper “Solutions of p-sublinear p-Laplacian equation via Morse theory” by Yuxia Guo and Jiaquan Liu [8]. This paper addresses the existence and multiplicity of solutions for the problem where is a smooth, bounded domain of RN, p is the p-Laplacian operator and f satisfies certain conditions, in particular f is p-sublinear at 0. Morse theory is used to infer the existence of critical points of a functional associated to this problem. In Chapter 2, we introduce the necessary Morse theoretic concepts, assuming basic knowledge of singular homology theory. In Chapter 3, we introduce basic properties of the p-Laplacian operator, assuming knowledge of Sobolev spaces, including imbedding and compactness results. Finally, in Chapter 4, we follow Guo and Liu’s paper itself.

Orientadora: Profa. Dra. Ilma Aparecida Marques Silva / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2015.

Neste trabalho, estudamos a existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes de certos problemas p-sublineares envolvendo o operador p-laplaciano usando teoria de Morse. / The purpose of this text is to provide a didactic exposition of the paper “Solutions of p-sublinear p-Laplacian equation via Morse theory” by Yuxia Guo and Jiaquan Liu [8]. This paper addresses the existence and multiplicity of solutions for the problem where is a smooth, bounded domain of RN, p is the p-Laplacian operator and f satisfies certain conditions, in particular f is p-sublinear at 0. Morse theory is used to infer the existence of critical points of a functional associated to this problem. In Chapter 2, we introduce the necessary Morse theoretic concepts, assuming basic knowledge of singular homology theory. In Chapter 3, we introduce basic properties of the p-Laplacian operator, assuming knowledge of Sobolev spaces, including imbedding and compactness results. Finally, in Chapter 4, we follow Guo and Liu’s paper itself.

In 1970, Raoul Bott published The Periodicity Theorem for the Classical Groups and Some of Its Applications, in which he uses this famous result as a guideline to present some important areas and tools of Algebraic Topology. This dissertation aims to use the path Bott presented in his article as a guideline to address certain topics on Algebraic Topology. We start this incursion developing important tools used in Homotopy Theory such as spectral sequences and Eilenberg-MacLane spaces, exploring how they can be combined to aid in computation of homotopy groups. We then study important results of Morse Theory, a tool which was in the centre of Botts proof of the Periodicity Theorem. We also develop two extensions: Morse-Bott Theory, and the applications of such results to the loopspace of a manifold. We end by giving an introduction to generalised cohomology theories and K-Theory. / Em 1970, Raoul Bott publicou o artigo The Periodicity Theorem for the Classical Groups and Some of Its Applications no qual usava esse famoso resultado como um guia para apresentar importantes áreas e ferramentas da Topologia Algébrica. O presente trabalho usa o mesmo caminho traçado por Bott em seu artigo como roteiro para explorar tópicos importantes da Topologia Algébrica. Começamos esta incursão desenvolvendo ferramentas importantes da Teoria de Homotopia como sequências espectrais e espaços de Eilenberg-MacLane, explorando como estes podem ser combinados para auxiliar em cálculos de grupos de homotopia. Passamos então a estudar resultados importantes de Teoria de Morse, uma ferramenta que estava no centro da demonstração de Bott do Teorema da Periodicidade. Desenvolvemos ainda, duas extensões: Teoria de Morse-Bott e aplicações destes resultados ao espaço de laços de uma variedade. Terminamos com uma introdução a teorias de cohomologia generalizadas e K-Teoria.

In 1970, Raoul Bott published The Periodicity Theorem for the Classical Groups and Some of Its Applications, in which he uses this famous result as a guideline to present some important areas and tools of Algebraic Topology. This dissertation aims to use the path Bott presented in his article as a guideline to address certain topics on Algebraic Topology. We start this incursion developing important tools used in Homotopy Theory such as spectral sequences and Eilenberg-MacLane spaces, exploring how they can be combined to aid in computation of homotopy groups. We then study important results of Morse Theory, a tool which was in the centre of Botts proof of the Periodicity Theorem. We also develop two extensions: Morse-Bott Theory, and the applications of such results to the loopspace of a manifold. We end by giving an introduction to generalised cohomology theories and K-Theory. / Em 1970, Raoul Bott publicou o artigo The Periodicity Theorem for the Classical Groups and Some of Its Applications no qual usava esse famoso resultado como um guia para apresentar importantes áreas e ferramentas da Topologia Algébrica. O presente trabalho usa o mesmo caminho traçado por Bott em seu artigo como roteiro para explorar tópicos importantes da Topologia Algébrica. Começamos esta incursão desenvolvendo ferramentas importantes da Teoria de Homotopia como sequências espectrais e espaços de Eilenberg-MacLane, explorando como estes podem ser combinados para auxiliar em cálculos de grupos de homotopia. Passamos então a estudar resultados importantes de Teoria de Morse, uma ferramenta que estava no centro da demonstração de Bott do Teorema da Periodicidade. Desenvolvemos ainda, duas extensões: Teoria de Morse-Bott e aplicações destes resultados ao espaço de laços de uma variedade. Terminamos com uma introdução a teorias de cohomologia generalizadas e K-Teoria.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-25T17:05:28Z No. of bitstreams: 1 DENILSON DA SILVA PEREIRA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 630527 bytes, checksum: 8a6ec5b5fb5e2a462945183d2180a573 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-25T17:05:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DENILSON DA SILVA PEREIRA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 630527 bytes, checksum: 8a6ec5b5fb5e2a462945183d2180a573 (MD5) Previous issue date: 2010-12 / Neste trabalho estudamos a existência e multiplicidade de soluções para uma certa classe de problemas elípticos. Utilizaremos métodos variacionais juntamente com a teoria de Morse em dimensão infinita. / In this work, we study the existence and multiplicity of solution for a large class of Elliptic problems. The main tools used are variational methods together with the infinite dimensional Morse Theory.