[pt] Para (Lambda) uma matriz diagonal real de espectro simples, consideramse O(Lambda), a variedade de matrizes reais, simétricas conjugadas a (Lambda), e Tau (Lambda), a variedade das matrizes tridiagonais em O(Lambda). Calcula-se as homologias das duas variedades, combinando técnicas de teoria de Morse e sistemas integráveis. Como conseqüência, mostra-se que a imersão de O(Lambda) no espaço vetorial de matrizes reais simétricas é tight e taut, o que tem implicações em teoria espectral numérica. / [en] For (Lambda) a real, diagonal matrix of simple spectrum, we consider O(lambda), the isospectral manifold of real, symmetric matrices conjugate to (Lambda), and (Tau)(Lambda), the isospectral manifold of tridiagonal matrices in O(Lambda).We compute the homologies of both manifolds, combining techniques of Morse theory and integrable systems. As a consequence, we show that the immersion of O(Lambda) in the vector space of real symmetric matrices is tight and taut, a fact with implications in numerical spectral theory.

[pt] A partir da interlocução com Pierre Bourdieu, esta tese apresenta as homologias nas estratégias empreendidas pelos agentes e pelas instituições privadas e públicas pesquisadas na cidade do Rio de Janeiro para garantir suas posições nos seus respectivos subcampos do campo educacional. A pesquisa se insere na investigação do SOCED/ PUC-Rio - Contextos Institucionais e a Construção da Qualidade do Ensino na Educação Básica e investiga oito escolas de prestígio da cidade do Rio de Janeiro: quatro privadas e quatro públicas municipais. Na construção dos dados para análise foram utilizados diferentes instrumentos, nem sempre os mesmos para as escolas privadas e públicas, como relatórios, diários de campo, websites, entrevistas, documentos e questionários aplicados a pais, alunos e professores das instituições pesquisadas. Para análise, foram elaboradas diversas bases no software Sphinx 5.0, programa com uma interface amigável que facilita a interpretação e a análise de dados quantitativos e qualitativos. Também foi utilizado o software SPSS - Statistical Package for the Social Sciencies para viabilizar a análise fatorial exploratória de dois grupos de variáveis no questionário dos pais. Para investigar as homologias nas estratégias familiares e institucionais analisei, em cada subcampo, as características das instituições que projetam sua marca distintiva, as características socioeconômicas das famílias, as percepções das famílias sobre a imagem de qualidade das escolas, as razões da escolha, os critérios de seleção dos estabelecimentos escolares e as estratégias mobilizadas pelas famílias e pelas escolas nas escolhas. A pesquisa mostrou que há homologias entre os subcampos nas estratégias das famílias, que procuram garantir a escolarização dos filhos numa instituição de qualidade, e nas estratégias das instituições, que procuram assegurar o bom desempenho dos alunos e sua marca distintiva, no sentido de favorecer a manutenção ou a mudança de sua posição em cada subcampo. / [en] Inspired by Pierre Bourdieu s researches, this work presents the homologies in the strategies undertaken by the agents and the private and public institutions studied in the city of Rio de Janeiro to ensure their positions in their respective subfields of the educational field. The research is part of the investigation organized by SOCED / PUC-Rio - Institutional Contexts and the Construction of Quality Teaching in Basic Education and investigates eight prestigious schools of Rio de Janeiro: four private and four municipal. In constructing the data analysis, different instruments were used, not always the same for private and public schools, such as reports, field diaries, websites, interviews, documents and questionnaires given to parents, students and teachers of the institutions surveyed. Several bases were prepared in the software Sphinx 5.0, a program with friendly interface that facilitates interpretation and analysis of quantitative and qualitative data. Besides this program, the SPSS - Statistical Package for the Social Sciences was used to enable exploratory factor analysis of two groups of variables in the questionnaire of the parents. To investigate the homologies in family and institutional strategies in each subfield, were analyzed the characteristics of the institutions that design its hallmark, the socioeconomic characteristics of households, the perceptions of families about the image quality of schools, the reasons for choosing, the selection criteria of schools and the strategies used by families and schools in choices. The research has shown that there are homologies between the subfields in the strategies of families, searching for ensure schooling for children in a quality school, and in the strategies of institutions, seeking to ensure the good performance of pupils and their distinctive mark, in order to contribute to the conservation or change in their position in each subfield.

[pt] A geometria diferencial descreve de maneira intuitiva os objetos suaves no espaço. Porém, com a evolução da modelagem geométrica por computador, essa ferramenta se tornou ao mesmo tempo necessária e difícil de se descrever no mundo discreto. A teoria de Morse ficou importante pela ligação que ela cria entre a topologia e a geometria diferenciais. Partindo de um ponto de vista mais combinatório, a teoria de Morse discreta de Forman liga de forma rigorosa os objetos discretos à topologia deles, abrindo essa teoria para estruturas discretas. Este trabalho propõe uma definição construtiva de funções de Morse geométricas no mundo discreto e do complexo de Morse-Smale correspondente, onde a geometria é definida como a amostragem de uma função suave nos vértices da estrutura discreta. Essa construção precisa de cálculos de homologia que se tornaram por si só uma melhoria significativa dos métodos existentes. A decomposição de Morse- Smale resultante pode ser eficientemente computada e usada para aplicações de cálculo da persistência, geração de grafos de Reeb, remoção de ruído e mais. . . / [en] Differential geometry provides an intuitive way of understanding smooth objects in the space. However, with the evolution of geometric modeling by computer, this tool became both necessary and difficult to transpose to the discrete setting. The power of Morse theory relies on the link it created between differential topology and geometry. Starting from a combinatorial point of view, Forman´s discrete Morse theory relates rigorously discrete objects to their topology, opening Morse theory to discrete structures. This work proposes a constructive definition of geometric discrete Morse functions and their corresponding discrete Morse-Smale complexes, where the geometry is defined as a smooth function sampled on the vertices of the discrete structure. This construction required some homology computations that turned out to be a significant improvement over existing methods by itself. The resulting Morse-Smale decomposition can then be efficiently computed, and used for applications to persistence computation, Reeb graph generation, noise removal. . .