1 |
[en] THE HOMOLOGY OF SOME ISOSPECTRAL MANIFOLDS / [pt] HOMOLOGIA DE VARIEDADES ISOESPECTRAISFELIPE DUARTE CARDOZO DE PINA 02 March 2010 (has links)
[pt] Para (Lambda) uma matriz diagonal real de espectro simples, consideramse
O(Lambda), a variedade de matrizes reais, simétricas conjugadas a (Lambda), e Tau (Lambda), a
variedade das matrizes tridiagonais em O(Lambda). Calcula-se as homologias das duas
variedades, combinando técnicas de teoria de Morse e sistemas integráveis.
Como conseqüência, mostra-se que a imersão de O(Lambda) no espaço vetorial de
matrizes reais simétricas é tight e taut, o que tem implicações em teoria
espectral numérica. / [en] For (Lambda) a real, diagonal matrix of simple spectrum, we consider O(lambda), the
isospectral manifold of real, symmetric matrices conjugate to (Lambda), and (Tau)(Lambda), the
isospectral manifold of tridiagonal matrices in O(Lambda).We compute the homologies
of both manifolds, combining techniques of Morse theory and integrable
systems. As a consequence, we show that the immersion of O(Lambda) in the vector
space of real symmetric matrices is tight and taut, a fact with implications in
numerical spectral theory.
|
2 |
[en] GEOMETRIC DISCRETE MORSE COMPLEXES / [pt] COMPLEXOS DE MORSE DISCRETOS E GEOMÉTRICOSTHOMAS LEWINER 26 October 2005 (has links)
[pt] A geometria diferencial descreve de maneira intuitiva os
objetos suaves no
espaço. Porém, com a evolução da modelagem geométrica por
computador,
essa ferramenta se tornou ao mesmo tempo necessária e
difícil de se
descrever no mundo discreto. A teoria de Morse ficou
importante pela
ligação que ela cria entre a topologia e a geometria
diferenciais. Partindo
de um ponto de vista mais combinatório, a teoria de Morse
discreta de
Forman liga de forma rigorosa os objetos discretos à
topologia deles, abrindo
essa teoria para estruturas discretas. Este trabalho
propõe uma definição
construtiva de funções de Morse geométricas no mundo
discreto e do
complexo de Morse-Smale correspondente, onde a geometria é
definida como
a amostragem de uma função suave nos vértices da estrutura
discreta. Essa
construção precisa de cálculos de homologia que se
tornaram por si só uma
melhoria significativa dos métodos existentes. A
decomposição de Morse-
Smale resultante pode ser eficientemente computada e usada
para aplicações
de cálculo da persistência, geração de grafos de Reeb,
remoção de ruído e
mais. . . / [en] Differential geometry provides an intuitive way of
understanding smooth
objects in the space. However, with the evolution of
geometric modeling
by computer, this tool became both necessary and difficult
to transpose to
the discrete setting. The power of Morse theory relies on
the link it created
between differential topology and geometry. Starting from a
combinatorial
point of view, Forman´s discrete Morse theory relates
rigorously discrete
objects to their topology, opening Morse theory to discrete
structures.
This work proposes a constructive definition of geometric
discrete Morse
functions and their corresponding discrete Morse-Smale
complexes, where
the geometry is defined as a smooth function sampled on the
vertices of the
discrete structure. This construction required some
homology computations
that turned out to be a significant improvement over
existing methods
by itself. The resulting Morse-Smale decomposition can then
be efficiently
computed, and used for applications to persistence
computation, Reeb graph
generation, noise removal. . .
|
3 |
[en] ANALYSIS OF MORSE MATCHINGS: PARAMETERIZED COMPLEXITY AND STABLE MATCHING / [pt] ANÁLISE DE CASAMENTOS DE MORSE: COMPLEXIDADE PARAMETRIZADA E CASAMENTO ESTÁVEL16 December 2021 (has links)
[pt] A teoria de Morse relaciona a topologia de um espaço aos elementos críticos de uma função escalar definida nele. Isso vale tanto para a teoria clássica quanto para a versão discreta proposta por Forman em 1995. Essas teorias de Morse permitem caracterizar a topologia do espaço a partir de funções definidas nele, mas também permite estudar funções a partir de construções tipológicas derivadas dela, como por exemplo o complexo de Morse-Smale. Apesar da teoria de Morse discreta se aplicar para complexos celulares gerais de forma inteiramente combinatória, o que torna a teoria particularmente bem adaptada para o computador, as funções usadas na teoria não são amostragens de funções contínuas, mas casamentos especiais no grafo que codifica as adjacências no complexo celular, chamadas de casamentos de Morse. Quando usar essa teoria para estudar um espaço topológico, procura- se casamentos de Morse ótimos, i.e. com o menor número possível de elementos críticos, para obter uma informação topológica do complexo sem redundância. Na primeira parte desta tese, investiga-se a complexidade parametrizada de encontrar esses casamentos de Morse ótimos.
Por um lado, prova-se que o problema ERASABILITY, um problema fortemente relacionado à
encontrar casamentos de Morse ótimos, é W [P ]-completo. Por outro lado, um algoritmo é proposto para calcular casamentos de Morse ótimos em triangulações de 3-variedades, que é FPT no parâmetro do tree- width de seu grafo dual. Quando usar a teoria de Morse discreta para estudar uma função escalar definida no espaço, procura-se casamentos de Morse que capturam a informação geométrica dessa função. Na segunda parte é proposto uma construção de casamentos de Morse baseada em casamentos estáveis. As garantias teóricas sobre a relação desses casamentos com a geometria são elaboradas a partir de provas surpreendentemente simples que aproveitam da caracterização local do casamento estável. A construção e as suas garantias funcionam em qualquer dimensão. Finalmente, resultados mais fortes são obtidos quando a função for suave discreta, uma noção definida nesta tese. / [en] Morse theory relates the topology of a space to the critical elements of a
scalar function defined on it. This applies in both the classical theory and
a discrete version of it defined by Forman in 1995. Those Morse theories
permit to characterize a topological space from functions defined on it, but
also to study functions based on topological constructions it implies, such as
the Morse-Smale complex. While discrete Morse theory applies on general
cell complexes in an entirely combinatorial manner, which makes it suitable
for computation, the functions it considers are not sampling of continuous
functions, but special matchings in the graph encoding the cell complex
adjacencies, called Morse matchings.
When using this theory to study a topological space, one looks for optimal
Morse matchings, i.e. one with the smallest number of critical elements, to
get highly succinct topological information about the complex. The first
part of this thesis investigates the parameterized complexity of finding such
optimal Morse matching. On the one hand the Erasability problem, a
closely related problem to finding optimal Morse matchings, is proven to be
W[P]-complete. On the other hand, an algorithm is proposed for computing
optimal Morse matchings on triangulations of 3-manifolds which is fixed parameter
tractable in the tree-width of its dual graph.
When using discrete Morse theory to study a scalar function defined on
the space, one looks for a Morse matching that captures the geometric
information of that function. The second part of this thesis introduces a
construction of Morse matchings based on stable matchings. The theoretical
guarantees about the relation of such matchings to the geometry are
established through surprisingly simple proofs that benefits from the local
characterization of the stable matching. The construction and its guarantees
work in any dimension. Finally stronger results are obtained if the function
is discrete smooth on the complex, a notion defined in this thesis.
|
Page generated in 0.0427 seconds