Neste trabalho, nós abordamos alguns resultados de T. Fukuda e de N. Dutertre e T. Fukui sobre a topologia das singularidades de Morin. Em particular, apresentamos uma nova prova para o Teorema de Dutertre-Fukui [2, Theorem 6.2], para o caso em que N = Rn, usando a Teoria de Morse para variedades com bordo. Baseados nas propriedades de um n-campo de vetores gradiente (∇ f1; : : : ∇fn) de uma aplicação de Morin f : M → Rn, com dim M ≥ n, na segunda parte deste trabalho, nós introduzimos o conceito de n-campos de Morin para n-campos de vetores que não são necessariamente gradientes. Nós também generalizamos o resultado de T. Fukuda [3, Theorem 1], que estabelece uma equivalência módulo 2 entre a característica de Euler de uma variedade diferenciável M e a característica de Euler dos conjuntos singulares de uma aplicação de Morin definida sobre M, para o contexto dos n-campos de Morin. / In this work, we revisit results of T. Fukuda and N. Dutertre and T. Fukui on the topology of Morin maps. In particular, we give a new proof for Dutertre-Fukui\'s Theorem [2, Theorem 6.2] when N = Rn, using Morse Theory for manifolds with boundary. Based on the properties of a gradient n-vector field (∇ f1; : : : ∇ fn) of a Morin map f : M → Rn, where dim M ≥ n, in the second part of this work, we introduce the concept of Morin n-vector field for n-vector fields V = (V1; : : : ; Vn) that are not necessarily gradients. We also generalize the result of T. Fukuda [3, Theorem 1], which establishes a module 2 equivalence between Euler\'s characteristic of a manifold M and Euler\'s characteristic of the singular sets of a Morin map defined on M, to the context of Morin n-vector fields.

Neste trabalho, estudamos a existência de soluções não triviais para uma classe de equações de Schrödinger não lineares envolvendo um campo magnético com condição de Dirichlet ou condição de fronteira mista Dirichlet-Neumann. Nos dois primeiros capítulos, damos uma estimativa para o número de soluções não triviais para o problema de Dirichlet em termos da topologia do domínio. Nos dois capítulos restantes, consideramos o problema de fronteira mista e estimamos o número de soluções não triviais em termos da topologia da porção da fronteira onde é prescrita a condição de Neumann. Em ambos os casos, usamos a teoria de categoria de Ljusternik-Schnirelmann e a teoria de Morse / We study the existence of nontrivial solutions for a class of nonlinear Schrödinger equations involving a magnetic field with Dirichlet or mixed DirichletNeumann boundary condition. In the first two chapters we give an estimate for the number of nontrivial solutions for the Dirichlet boundary value problem in terms of topology of the domain. In the last two chapters we consider mixed DirichletNeumann boundary value problems and the estimation of the number of nontrivial solutions is given in terms of the topology of the part of the boundary where the Neumann condition is prescribed. In both cases, we use Lyusternik- Shnirelman category and the Morse theory

Neste trabalho, nós abordamos alguns resultados de T. Fukuda e de N. Dutertre e T. Fukui sobre a topologia das singularidades de Morin. Em particular, apresentamos uma nova prova para o Teorema de Dutertre-Fukui [2, Theorem 6.2], para o caso em que N = Rn, usando a Teoria de Morse para variedades com bordo. Baseados nas propriedades de um n-campo de vetores gradiente (∇ f1; : : : ∇fn) de uma aplicação de Morin f : M → Rn, com dim M ≥ n, na segunda parte deste trabalho, nós introduzimos o conceito de n-campos de Morin para n-campos de vetores que não são necessariamente gradientes. Nós também generalizamos o resultado de T. Fukuda [3, Theorem 1], que estabelece uma equivalência módulo 2 entre a característica de Euler de uma variedade diferenciável M e a característica de Euler dos conjuntos singulares de uma aplicação de Morin definida sobre M, para o contexto dos n-campos de Morin. / In this work, we revisit results of T. Fukuda and N. Dutertre and T. Fukui on the topology of Morin maps. In particular, we give a new proof for Dutertre-Fukui\'s Theorem [2, Theorem 6.2] when N = Rn, using Morse Theory for manifolds with boundary. Based on the properties of a gradient n-vector field (∇ f1; : : : ∇ fn) of a Morin map f : M → Rn, where dim M ≥ n, in the second part of this work, we introduce the concept of Morin n-vector field for n-vector fields V = (V1; : : : ; Vn) that are not necessarily gradients. We also generalize the result of T. Fukuda [3, Theorem 1], which establishes a module 2 equivalence between Euler\'s characteristic of a manifold M and Euler\'s characteristic of the singular sets of a Morin map defined on M, to the context of Morin n-vector fields.

Neste trabalho, estudamos a existência de soluções não triviais para uma classe de equações de Schrödinger não lineares envolvendo um campo magnético com condição de Dirichlet ou condição de fronteira mista Dirichlet-Neumann. Nos dois primeiros capítulos, damos uma estimativa para o número de soluções não triviais para o problema de Dirichlet em termos da topologia do domínio. Nos dois capítulos restantes, consideramos o problema de fronteira mista e estimamos o número de soluções não triviais em termos da topologia da porção da fronteira onde é prescrita a condição de Neumann. Em ambos os casos, usamos a teoria de categoria de Ljusternik-Schnirelmann e a teoria de Morse / We study the existence of nontrivial solutions for a class of nonlinear Schrödinger equations involving a magnetic field with Dirichlet or mixed DirichletNeumann boundary condition. In the first two chapters we give an estimate for the number of nontrivial solutions for the Dirichlet boundary value problem in terms of topology of the domain. In the last two chapters we consider mixed DirichletNeumann boundary value problems and the estimation of the number of nontrivial solutions is given in terms of the topology of the part of the boundary where the Neumann condition is prescribed. In both cases, we use Lyusternik- Shnirelman category and the Morse theory

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[pt] A geometria diferencial descreve de maneira intuitiva os objetos suaves no espaço. Porém, com a evolução da modelagem geométrica por computador, essa ferramenta se tornou ao mesmo tempo necessária e difícil de se descrever no mundo discreto. A teoria de Morse ficou importante pela ligação que ela cria entre a topologia e a geometria diferenciais. Partindo de um ponto de vista mais combinatório, a teoria de Morse discreta de Forman liga de forma rigorosa os objetos discretos à topologia deles, abrindo essa teoria para estruturas discretas. Este trabalho propõe uma definição construtiva de funções de Morse geométricas no mundo discreto e do complexo de Morse-Smale correspondente, onde a geometria é definida como a amostragem de uma função suave nos vértices da estrutura discreta. Essa construção precisa de cálculos de homologia que se tornaram por si só uma melhoria significativa dos métodos existentes. A decomposição de Morse- Smale resultante pode ser eficientemente computada e usada para aplicações de cálculo da persistência, geração de grafos de Reeb, remoção de ruído e mais. . . / [en] Differential geometry provides an intuitive way of understanding smooth objects in the space. However, with the evolution of geometric modeling by computer, this tool became both necessary and difficult to transpose to the discrete setting. The power of Morse theory relies on the link it created between differential topology and geometry. Starting from a combinatorial point of view, Forman´s discrete Morse theory relates rigorously discrete objects to their topology, opening Morse theory to discrete structures. This work proposes a constructive definition of geometric discrete Morse functions and their corresponding discrete Morse-Smale complexes, where the geometry is defined as a smooth function sampled on the vertices of the discrete structure. This construction required some homology computations that turned out to be a significant improvement over existing methods by itself. The resulting Morse-Smale decomposition can then be efficiently computed, and used for applications to persistence computation, Reeb graph generation, noise removal. . .

[pt] A teoria de Morse relaciona a topologia de um espaço aos elementos críticos de uma função escalar definida nele. Isso vale tanto para a teoria clássica quanto para a versão discreta proposta por Forman em 1995. Essas teorias de Morse permitem caracterizar a topologia do espaço a partir de funções definidas nele, mas também permite estudar funções a partir de construções tipológicas derivadas dela, como por exemplo o complexo de Morse-Smale. Apesar da teoria de Morse discreta se aplicar para complexos celulares gerais de forma inteiramente combinatória, o que torna a teoria particularmente bem adaptada para o computador, as funções usadas na teoria não são amostragens de funções contínuas, mas casamentos especiais no grafo que codifica as adjacências no complexo celular, chamadas de casamentos de Morse. Quando usar essa teoria para estudar um espaço topológico, procura- se casamentos de Morse ótimos, i.e. com o menor número possível de elementos críticos, para obter uma informação topológica do complexo sem redundância. Na primeira parte desta tese, investiga-se a complexidade parametrizada de encontrar esses casamentos de Morse ótimos. Por um lado, prova-se que o problema ERASABILITY, um problema fortemente relacionado à encontrar casamentos de Morse ótimos, é W [P ]-completo. Por outro lado, um algoritmo é proposto para calcular casamentos de Morse ótimos em triangulações de 3-variedades, que é FPT no parâmetro do tree- width de seu grafo dual. Quando usar a teoria de Morse discreta para estudar uma função escalar definida no espaço, procura-se casamentos de Morse que capturam a informação geométrica dessa função. Na segunda parte é proposto uma construção de casamentos de Morse baseada em casamentos estáveis. As garantias teóricas sobre a relação desses casamentos com a geometria são elaboradas a partir de provas surpreendentemente simples que aproveitam da caracterização local do casamento estável. A construção e as suas garantias funcionam em qualquer dimensão. Finalmente, resultados mais fortes são obtidos quando a função for suave discreta, uma noção definida nesta tese. / [en] Morse theory relates the topology of a space to the critical elements of a scalar function defined on it. This applies in both the classical theory and a discrete version of it defined by Forman in 1995. Those Morse theories permit to characterize a topological space from functions defined on it, but also to study functions based on topological constructions it implies, such as the Morse-Smale complex. While discrete Morse theory applies on general cell complexes in an entirely combinatorial manner, which makes it suitable for computation, the functions it considers are not sampling of continuous functions, but special matchings in the graph encoding the cell complex adjacencies, called Morse matchings. When using this theory to study a topological space, one looks for optimal Morse matchings, i.e. one with the smallest number of critical elements, to get highly succinct topological information about the complex. The first part of this thesis investigates the parameterized complexity of finding such optimal Morse matching. On the one hand the Erasability problem, a closely related problem to finding optimal Morse matchings, is proven to be W[P]-complete. On the other hand, an algorithm is proposed for computing optimal Morse matchings on triangulations of 3-manifolds which is fixed parameter tractable in the tree-width of its dual graph. When using discrete Morse theory to study a scalar function defined on the space, one looks for a Morse matching that captures the geometric information of that function. The second part of this thesis introduces a construction of Morse matchings based on stable matchings. The theoretical guarantees about the relation of such matchings to the geometry are established through surprisingly simple proofs that benefits from the local characterization of the stable matching. The construction and its guarantees work in any dimension. Finally stronger results are obtained if the function is discrete smooth on the complex, a notion defined in this thesis.