Orientadora: Luciana de Fátima Martins / Banca: Lizandro Sanchez Challapa / Banca: João Carlos Ferreira Costa / Resumo: Dada uma superfíıcie regular suave M em R3 podemos considerá-la localmente como imagem inversa de um valor regular de uma função suave F : R3 → R. O contorno aparente de M em uma dada direção coincide com a envoltória de uma família de curvas associadas à F. O estudo destes objetos é de bastante interesse na Teoria das Singularidades os quais podem ser relacionados com Equações Diferenciais Implícitas (EDI's). Uma EDI é uma equação da forma F(x, y, p) = 0, onde p = dxdy e F : R3 → R é uma função suave. Neste trabalho apresentamos um estudo sobre contorno aparente de uma superfície regular, sobre a envoltória (envelope) de uma família de curvas e sobre equações diferenciais implícitas, objetivando analisar qual a relação entre esses três... / Abstract: Given a smooth regular surface M in R3 we can locally consider it as an inverse image of a regular value of a smooth function F : R3 → R. The apparent contour of M in a given direction coincides with the envelope of a family of curves associated to F. The study of such objects is of great interest to the Singularity Theory and it can be related to Implicit Differential Equations (IDE's). An IDE is an equation of the form F(x, y, p) = 0 where p = dxdy and F : R3 → R is a smooth function. This work presents a study on apparent contour of a regular surface, envelope of family of curves, and implicit differential equations in order to analyze the relationship between ... / Mestre

Made available in DSpace on 2015-09-17T15:25:38Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-03-12. Added 1 bitstream(s) on 2015-09-17T15:46:46Z : No. of bitstreams: 1 000843896.pdf: 603704 bytes, checksum: c5887046c800b05f7129044cc75c6986 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Dada uma superfíıcie regular suave M em R3 podemos considerá-la localmente como imagem inversa de um valor regular de uma função suave F : R3 → R. O contorno aparente de M em uma dada direção coincide com a envoltória de uma família de curvas associadas à F. O estudo destes objetos é de bastante interesse na Teoria das Singularidades os quais podem ser relacionados com Equações Diferenciais Implícitas (EDI's). Uma EDI é uma equação da forma F(x, y, p) = 0, onde p = dxdy e F : R3 → R é uma função suave. Neste trabalho apresentamos um estudo sobre contorno aparente de uma superfície regular, sobre a envoltória (envelope) de uma família de curvas e sobre equações diferenciais implícitas, objetivando analisar qual a relação entre esses três... / Given a smooth regular surface M in R3 we can locally consider it as an inverse image of a regular value of a smooth function F : R3 → R. The apparent contour of M in a given direction coincides with the envelope of a family of curves associated to F. The study of such objects is of great interest to the Singularity Theory and it can be related to Implicit Differential Equations (IDE's). An IDE is an equation of the form F(x, y, p) = 0 where p = dxdy and F : R3 → R is a smooth function. This work presents a study on apparent contour of a regular surface, envelope of family of curves, and implicit differential equations in order to analyze the relationship between ...

Submitted by Reginaldo Soares de Freitas (reginaldo.freitas@ufv.br) on 2015-11-12T09:41:23Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 2874495 bytes, checksum: 6e012c46258024982e6e3a2ba5314770 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-12T09:41:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 2874495 bytes, checksum: 6e012c46258024982e6e3a2ba5314770 (MD5) Previous issue date: 2015-02-27 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais / Em 1978, Quine ([28]) apresentou um teorema global para aplicações estáveis entre a superfícies fechadas e orientadas, que relaciona a soma do grau das cúspides com a característica de Euler do contradomínio e de dois conjuntos da aplicação: um formado pelo fecho das regiões regulares que tem a orientação preservada pela aplicação e, o outro, formado pelo fecho das regiões regulares que tem a orientação invertida. Em [23], Mendes de Jesus obteve resultados que levaram a uma nova demonstração para o teorema de Quine, via transições de codimensão um e cirurgias de aplicações estáveis, no estudo do comportamento topológico dos conjuntos regulares e singulares de aplicações estáveis entre superfícies fechadas e orientadas. O objetivo deste trabalho é apresentar e essa nova demonstra ̧ao e os principais resultados que levaram a ela. / In 1978, Quine ([28]) presented a global theorem for stable applications between closed and oriented surfaces, which relates the sum of the degree of the cusps with the Euler characteristic of the codomain and two sets of the application: one formed by the closure of regular regions that have preserved by the application and orientation, the other, formed by the closure of regular regions which has inverted orientation. In [23], Mendes de Jesus obtained results that led to a new demonstration to Quine’s theorem, via transitions of codimension one and surgeries of stable applications, in topological behavior of the study of regular and singular sets of stable maps between closed and oriented surfaces. The objective of this paper is to present this new demonstration and the main results that led to it. / O autor não colocou título em inglês.

Neste trabalho estudamos a geometria da evoluta afim e da curva normal afim associada à uma curva plana sem inflexões a partir do tipo de singularidade das funções suporte afim. O principal resultado estabelece que se \'\\gamma\' é uma curva plana sem inflexões, satisfazendo certas condições genéricas então dois casos podem ocorrer: 1. se p é um ponto da evoluta afim de \'\\gamma\' em \'s IND. 0\' então temos dois casos: se \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') é um ponto sextático então, localmente em p, a evoluta afim é difeomorfa a uma cúspide em \'R POT. 2\' ; se não, localmente em p, a evoluta afim é difeomorfa à uma reta em \'R POT. 2\' , 2. se p = \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') é um ponto da normal afim de \'\\gamma\' então temos dois casos: se \'\\gamma\'(\'s IND. 0\') é um ponto parabólico de \'\\gamma\' então, localmente em p, a curva normal afim é difeomorfa a uma cúspide em \'R POT. 2\' ; em outro caso, localmente em p, a curva normal afim é difeomorfa à uma reta em \'R POT. 2\' / In this work we study the geometry of the affine evolute and the affine normal curve associated with a plane curve without inflections from the type of singularity of affine support functions. The main result is setting if \'\\gamma\' is a flat curve without inflections, satisfying certain conditions generic then, if p is a point of the affine evolute of \'\\gamma\' at \'s IND. 0\' then two cases: if \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') is a sextactic point then locally in p the affine evolute is diffeomorphic to a cusp at \'R POT. 2\', otherwise locally in p the affine evolute is diffeomorphic to a straight in \'R POT. 2\', and second if p = \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') is a point of the affine normal curve then two cases: if \'\\gamma\'(\'s IND. 0\') is a parabolic point of \'\\gamma\' then locally in p the affine normal curve is diffeomorphic to a cusp at \'R POT. 2\' , in otherwise locally in p the affine normal curve is diffeomorphic to a line in \'R POT. 2\'

Neste trabalho estudamos a geometria da evoluta afim e da curva normal afim associada à uma curva plana sem inflexões a partir do tipo de singularidade das funções suporte afim. O principal resultado estabelece que se \'\\gamma\' é uma curva plana sem inflexões, satisfazendo certas condições genéricas então dois casos podem ocorrer: 1. se p é um ponto da evoluta afim de \'\\gamma\' em \'s IND. 0\' então temos dois casos: se \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') é um ponto sextático então, localmente em p, a evoluta afim é difeomorfa a uma cúspide em \'R POT. 2\' ; se não, localmente em p, a evoluta afim é difeomorfa à uma reta em \'R POT. 2\' , 2. se p = \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') é um ponto da normal afim de \'\\gamma\' então temos dois casos: se \'\\gamma\'(\'s IND. 0\') é um ponto parabólico de \'\\gamma\' então, localmente em p, a curva normal afim é difeomorfa a uma cúspide em \'R POT. 2\' ; em outro caso, localmente em p, a curva normal afim é difeomorfa à uma reta em \'R POT. 2\' / In this work we study the geometry of the affine evolute and the affine normal curve associated with a plane curve without inflections from the type of singularity of affine support functions. The main result is setting if \'\\gamma\' is a flat curve without inflections, satisfying certain conditions generic then, if p is a point of the affine evolute of \'\\gamma\' at \'s IND. 0\' then two cases: if \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') is a sextactic point then locally in p the affine evolute is diffeomorphic to a cusp at \'R POT. 2\', otherwise locally in p the affine evolute is diffeomorphic to a straight in \'R POT. 2\', and second if p = \'\\gamma\' (\'s IND. 0\') is a point of the affine normal curve then two cases: if \'\\gamma\'(\'s IND. 0\') is a parabolic point of \'\\gamma\' then locally in p the affine normal curve is diffeomorphic to a cusp at \'R POT. 2\' , in otherwise locally in p the affine normal curve is diffeomorphic to a line in \'R POT. 2\'

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3184.pdf: 615801 bytes, checksum: 5d8654ee242eff8f78e530be4b12eaf5 (MD5) Previous issue date: 2010-06-24 / Financiadora de Estudos e Projetos / In his retiring Presidential address to the American Mathematical Society in 1971, Zariski proposed some questions in the Theory of Singularities. One of them concerns the topological invariance of the multiplicity of complex hypersurfaces. In more accurate terms, Zariski asked: if two complex hypersurfaces are homeomorphic as embedded varieties, then are their multiplicities at the origin the same? The multiplicity of a complex hypersurface at the origin is the number of points of intersection of the hypersurface with a generic complex line passing close to the origin, but not through it. The problem still remains unsolved. However, there are some special cases which were answered affirmatively, such as the case of homeomorphic hypersurfaces by a bilipschitz homeomorphism. This work aims at understanding the main results settled for the problem. In the present dissertation, we will make a precise concept of multiplicity of a complex hypersurface and we will give special emphasis to C1-invariance of the multiplicity, bilipschitz invariance and quasihomogeneous hypersurfaces. Besides having great importance by themselves, these cases bring their own interpretations of multiplicity helping us to understand better such an object. / Em seu discurso de saída da presidência da Sociedade Americana de Matemática em 1971, Zariski propôs algumas questões na Teoria de Singularidades. Uma delas diz respeito `a invariância topológica da multiplicidade de hipersuperfícies complexas. Em termos mais precisos, Zariski perguntou: se duas hipersuperfícies complexas são homeomorfas como variedades imersas, então suas multiplicidades na origem são as mesmas? A multiplicidade de uma hipersuperfície complexa na origem é o número de pontos de interseção da hipersuperfície com uma reta complexa genérica passando próximo da origem, mas não por ela. O problema permanece ainda sem solução. Entretanto, existem alguns casos especiais que foram respondidos afirmativamente, tais como o caso de hipersuperfícies homeomorfas por um homeomorfismo bilipschitz. Este trabalho tem por objetivo compreender os principais resultados estabelecidos para o problema. Na presente dissertação, faremos um conceito preciso de multiplicidade de uma hipersuperfície complexa e daremos ênfase especial `a C1-invariância da multiplicidade, `a invariância bilipschitz e `as hipersuperfícies quase homogêneas. Além de terem grande importância por si só, estes casos trazem suas próprias interpretações de multiplicidade, ajudando-nos a compreender melhor tal objeto.

[pt] Seja (Es)t o espaço de germes na origem de funções suaves entre os espaços euclidianos de dimensões e t. Nesta dissertação, apresentamos a parte da Teoria de Mather que descreve hipóteses suficientes para k-determinação em (Es)t sob duas ações diferentes, induzindo as chamadas R- e K-equivalências. Um germe é k-determinado se é equivalente a qualquer perturbação que deixa invariante seu k-jato, os termos de ordem até k de sua expansão de Taylor na origem. A R-equivalência consiste em compor germes com germes de difeomorfismos µa direita. A K- equivalência é mais difícil de descrever. / [en] Let (Es)t be the space of smooth map-germs at the origin between Euclidian spaces of dimensions s and t. In this dissertation, we present a section of Mather theory describing su±cient conditions for k- determinacy of this map-germs under two different actions, inducing the so called R- e K- equivalences. A map-germ is k-determined if it is equivalent to any perturbation that leaves invariant its k-jet, i.e., the terms up to order k of its Taylor expansion at the origin. The R-equivalence consists of compositions with germs of diffeomorphisms to the right. The K- equivalence is harder to describe.

Neste trabalho, nós abordamos alguns resultados de T. Fukuda e de N. Dutertre e T. Fukui sobre a topologia das singularidades de Morin. Em particular, apresentamos uma nova prova para o Teorema de Dutertre-Fukui [2, Theorem 6.2], para o caso em que N = Rn, usando a Teoria de Morse para variedades com bordo. Baseados nas propriedades de um n-campo de vetores gradiente (∇ f1; : : : ∇fn) de uma aplicação de Morin f : M → Rn, com dim M ≥ n, na segunda parte deste trabalho, nós introduzimos o conceito de n-campos de Morin para n-campos de vetores que não são necessariamente gradientes. Nós também generalizamos o resultado de T. Fukuda [3, Theorem 1], que estabelece uma equivalência módulo 2 entre a característica de Euler de uma variedade diferenciável M e a característica de Euler dos conjuntos singulares de uma aplicação de Morin definida sobre M, para o contexto dos n-campos de Morin. / In this work, we revisit results of T. Fukuda and N. Dutertre and T. Fukui on the topology of Morin maps. In particular, we give a new proof for Dutertre-Fukui\'s Theorem [2, Theorem 6.2] when N = Rn, using Morse Theory for manifolds with boundary. Based on the properties of a gradient n-vector field (∇ f1; : : : ∇ fn) of a Morin map f : M → Rn, where dim M ≥ n, in the second part of this work, we introduce the concept of Morin n-vector field for n-vector fields V = (V1; : : : ; Vn) that are not necessarily gradients. We also generalize the result of T. Fukuda [3, Theorem 1], which establishes a module 2 equivalence between Euler\'s characteristic of a manifold M and Euler\'s characteristic of the singular sets of a Morin map defined on M, to the context of Morin n-vector fields.

Neste trabalho, nós abordamos alguns resultados de T. Fukuda e de N. Dutertre e T. Fukui sobre a topologia das singularidades de Morin. Em particular, apresentamos uma nova prova para o Teorema de Dutertre-Fukui [2, Theorem 6.2], para o caso em que N = Rn, usando a Teoria de Morse para variedades com bordo. Baseados nas propriedades de um n-campo de vetores gradiente (∇ f1; : : : ∇fn) de uma aplicação de Morin f : M → Rn, com dim M ≥ n, na segunda parte deste trabalho, nós introduzimos o conceito de n-campos de Morin para n-campos de vetores que não são necessariamente gradientes. Nós também generalizamos o resultado de T. Fukuda [3, Theorem 1], que estabelece uma equivalência módulo 2 entre a característica de Euler de uma variedade diferenciável M e a característica de Euler dos conjuntos singulares de uma aplicação de Morin definida sobre M, para o contexto dos n-campos de Morin. / In this work, we revisit results of T. Fukuda and N. Dutertre and T. Fukui on the topology of Morin maps. In particular, we give a new proof for Dutertre-Fukui\'s Theorem [2, Theorem 6.2] when N = Rn, using Morse Theory for manifolds with boundary. Based on the properties of a gradient n-vector field (∇ f1; : : : ∇ fn) of a Morin map f : M → Rn, where dim M ≥ n, in the second part of this work, we introduce the concept of Morin n-vector field for n-vector fields V = (V1; : : : ; Vn) that are not necessarily gradients. We also generalize the result of T. Fukuda [3, Theorem 1], which establishes a module 2 equivalence between Euler\'s characteristic of a manifold M and Euler\'s characteristic of the singular sets of a Morin map defined on M, to the context of Morin n-vector fields.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-02-07Bitstream added on 2014-06-13T20:08:06Z : No. of bitstreams: 1 pereira_ms_me_sjrp.pdf: 2071399 bytes, checksum: 9f8844443f17c4fa7a041cc8bc621d54 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho classificamos problemas de bifurcação Z2-equivariantes de corank 2 até co- dimensão 3 via técnicas da Teoria de Singularidades. A abordagem para classificar tais problemas é baseada no processo de redução à forma normal de Birkhoff para estudar a interação de modos Hopf-Pontos de Equilíbrio. O comportamento geométrico das soluções dos desdobramentos das formas normais obtidas é descrito pelos diagramas de bifurcação e estudamos a estabilidade assintótica desses ramos. / In this work we classify the Z2-equivariant corank 2 bifurcation problems up to codimension 3 via Singularity Theory techniques. The approach to classify such problems is based on the Birkhoff normal form to study Hopf-Steady- State mode interaction. The geometrical behavior of the solutions of the unfolding of the normal forms is described by the bifurcation diagrams and we study the asymptotic stability of such branches.