Nous étudions un rideau visqueux en écoulement vertical. Un injecteur situé en haut du domaine forme un écoulement ouvert composé d'un liquide visqueux homogène qui s'écoule dans un bain et est accéléré dans son mouvement vertical par l'effet de la gravité. Des zones présentant des taux de contrainte compressifs peuvent apparaître au sein de l'écoulement. Le rideau visqueux est alors susceptible de flamber, perdant sa géométrie plane. Le flambage d'une structure fine et visqueuse a précédemment été étudié dans le contexte d'un écoulement de base présentant une direction d'invariance, ici l'état précontraint est purement bidimensionnel. La modélisation théorique de l'écoulement ouvert prend en compte les effets advectifs. Nous introduirons des outils théoriques et numériques que nous appliquons à un problème classique de la mécanique des solides. Nous utilisons ensuite ces mêmes méthodes pour le rideau tombant. Nous obtenons un modèle de plaque visqueuse dont la cinématique mélange des vitesses et un déplacement hors plan. Les termes membranaires sont inspirés de la mécanique des structures fines et obtenus par l'analogie Stokes-Rayleigh, qui transpose aux écoulements visqueux les notions d'étirement et de flexion d'une plaque. Les équations d'équilibre de flambage étant d'ordre élevé, nous aurons recours à une implémentation numérique particulière. Les effets de la capillarité peuvent être pris en compte dans le modèle et seront étudiés. Nous concluons par une approche théorique de la stabilité de l'écoulement. Nous adaptons une méthode d'analyse des écoulements ouverts instables en cisaillement à l'équilibre de flambage du rideau visqueux. / We consider a vertical sheet made up of an homogeneous viscous fluid and falling into a bath. This curtain is formed by an inlet injecting viscous fluid at the top of the domain and creating an open flow. The resulting thin structure is falling under the effect of gravity, and develops regions of compressive stress. These may lead to a mechanical instability as the sheet can buckle under compression, losing its planar geometry and deforming in the out-of-plane direction.In previous studies, buckling of a viscous sheet that leads to surface wrinkles was associated with flows having a direction of invariance. We will be considering a genuinely two-dimensional stress state.We first introduce stability methods on a simple solid mechanics problem, obtaining equations in weak form and using a finite elements solver to obtain its buckled configurations.We will then study both the modelling of the falling curtain as a viscous membrane and its numerical resolution. We will derive a model with kinematics mixing velocities and displacements and use a viscous membrane model. Inspired by the solid mechanics of thin structures it uses the Stokes-Rayleigh analogy to transpose the concepts of stretching and bending stress to viscous flows. Equations for the out-of-plane equilibrium are of high order and require a specific numerical scheme. Capillary effects can be taken into account in the model and we assess their influence.We finally present a stability analysis hoping to improve our analytical understanding of the buckling phenomenon. We adapt a framework developed for the study of open shear flows instabilities to the out-of-plane equilibrium equations.

Ce mémoire est consacré à` l'étude expérimentale, numérique et analytique d'exemples de membranes élastiques ou capillaires. Les grandes déformations des plaques élastiques conduisent en général à la concentration de l'énergie autour de zones presque singulières qui sont linéaires (plis) ou ponctuelles (cônes). Ces singularités sont bien comprises seulement quand elles sont isolées. Nous considérons deux situations modèles présentant plusieurs plis et cônes. Des simulations des équations complètes, ainsi que des calculs analytiques utilisant l'énergie élastique des singularités et des arguments géométriques, sont en accord quantitatif avec les expériences. Les films formés d'un liquide visqueux se déforment aux temps courts comme des plaques élastiques. L'analogie entre l'écoulement d'un fluide visqueux et les déformations d'un solide élastique nous permet d'exhiber un nouveau type de singularité conique sur un film visqueux. Aux temps longs, les films liquides évoluent vers des formes qui minimisent leur énergie capillaire : des surfaces minimales. Nous déterminons les surfaces minimales qui s'appuient sur une double hélice et nous étudions leur stabilité à l'aide de leurs spectres de vibration. Si l'on force une surface minimale solide à vibrer, elle répond de façon notable seulement si la fréquence d'excitation est proche de l'une de ses fréquences propres. Un film de savon à l'équilibre prend la forme d'une surface minimale. Par contre, nous avons constaté que, quand on force le film, son amplitude de vibration varie peu avec la fréquence d'excitation car sa distribution spatiale d'épaisseur s'adapte au forçage. Nous considérons un équivalent mécanique, une masselotte qui coulisse sur une corde vibrante, et montrons que l'ajout d'un degré de liberté (l'épaisseur du film ou la position de la masselotte) à un système vibrant rend celui-ci auto-adaptatif : il répond à toute fréquence de forçage.