Rappelons qu'une partie de Rn est dite minimale si sa mesure de Hausdorff d-dimensionnelle ne peut être rendue plus petite par déformation dans une classe de compétiteurs adaptée. On peut citer comme exemple le problème de Plateau standard, pouvant se réécrire comme celui de trouver un ensemble minimal pour les déformations à support relativement compact dans un domaine, la frontière du domaine jouant alors le rôle d'une condition topologique de bord. Un ensemble quasiminimal au sens d'Almgren n'est pas forcément minimal puisque sa mesure peut décroître après déformation, mais seulement de manière contrôlée relativement à la mesure des points qui ont été déformés. Par exemple le graphe d'une application lipschitzienne de Rd dans Rn-d est quasiminimal et de façon générale, on sait (voir [A]) que les ensembles quasiminimaux sont rectifiables. Lorsqu'on considère la réduction E* d'un ensemble quasiminimal E, qui consiste à prendre le support de la mesure de Hausdorff k-dimensionnelle restreinte à E — en gros en enlevant les points dont la contribution à la mesure de E est nulle — on sait en outre (voir [DS]) que E* contient de grandes images lipschistziennes et est uniformément rectifiable. Une autre propriété remarquable concerne les limites de Hausdorff de suites d'ensembles quasiminimaux réduits. Dans ce contexte, non seulement la limite est quasiminimale et réduite, mais en outre la mesure de Hausdorff est semi-continue inférieurement (voir par exemple [D1]), ce qui n'est généralement pas le cas. Cette propriété fait des limites de suites minimisantes d'ensembles quasiminimaux les candidates idéales à la résolution de problèmes d'existence sous contrainte topologique stable par déformation. On propose ici, dans le cadre d'un problème sur un ouvert en dimension et codimension quelconques, un premier résultat d'existence utilisant une méthode systématique pour construire une suite minimisante d'ensembles quasiminimaux, par minimisation finie sur les sous-faces d-dimensionnelles de grilles polyédrales adaptées. La construction de telles grilles est assez délicate, puisqu'on s'impose à la fois de faire l'approximation polyédrale d'un ensemble rectifiable le long de certains plans tangents pour contrôler l'augmentation de mesure correspondante, tout en gardant un contrôle uniforme sur la régularité des polyèdres de façon à éviter qu'ils ne soient trop plats. Des bornes uniformes sur la forme des polyèdres sont en effet utilisées lors de la discrétisation polyédrale des compétiteurs du problème — mettant en jeu des projections radiales successives sur la frontière des sous-faces de dimension décroissante de n à d — et permettent d'obtenir automatiquement une constante de quasiminimalité ne dépendant que de n et d. La suite d'ensembles quasiminimaux obtenue converge alors en distance de Hausdorff sur tout compact du domaine vers un ensemble minimal — ou presque-minimal dans le cas d'une fonctionnelle Jd h(E) = R hdHd avec une fonction h continue à valeurs dans [1,M]. L'existence de rétractions lipschitziennes sur la limite obtenue (donnée par le théorème de Jean Taylor dans [T] pour le cas d = 2, n = 3) devrait alors permettre d'affirmer que la limite fait encore partie de la classe topologique initiale considérée. Le résultat d'existence pourrait encore se généraliser à certains problèmes sur des variétés sans bord, ou dans une certaine mesure à des domaines fermés pour lesquels on connait une rétraction lipschitzienne d'un voisinage sur le bord.

Cette thèse s’intéresse principalement à l’existence et à la régularité desensembles minimaux. On commence par montrer, dans le chapitre 3, que le problème de Plateau étudié par Reifenberg admet au moins une solution. C’est-à-dire que, si l’onse donne un ensemble compact B⊂R^n et un sous-groupe L du groupe d’homologie de Čech H_(d-1) (B;G) de dimension (d-1) sur un groupe abelien G, on montre qu’il existe un ensemble compact E⊃B tel que L est contenu dans le noyau de l’homomorphisme H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induit par l’application d’inclusion B→E, et pour lequel la mesure de Hausdorff H^d (E∖B) est minimale (sous ces contraintes). Ensuite, on montre au chapitre 4, que pour tout ensemble presque minimal glissant E de dimension 2, dans un domaine régulier Σ ressemblant localement à un demi espace, associé à la frontière glissante ∂Σ, et tel que E⊃∂Σ, il se trouve qu’à la frontière E est localement équivalent, par un homéomorphisme biHöldérien qui préserve la frontière, à un cône minimal glissant contenu dans un demi plan Ω, avec frontière glissante ∂Ω. De plus les seuls cônes minimaux possibles dans ce cas sont ∂Ω seul, ou son union avec un cône de type P_+ ou Y_+. / This thesis focuses on the existence and regularity of minimal sets. First we show, in Chapter 3, that there exists (at least) a minimizerfor Reifenberg Plateau problems. That is, Given a compact set B⊂R^n, and a subgroup L of the Čech homology group H_(d-1) (B;G) of dimension (d-1)over an abelian group G, we will show that there exists a compact set E⊃B such that L is contained in the kernel of the homomorphism H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induced by the natural inclusion map B→E, and such that the Hausdorff measure H^d (E∖B) is minimal under these constraints. Next we will show, in Chapter 4, that if E is a sliding almost minimal set of dimension 2, in a smooth domain Σ that looks locally like a half space, and with sliding boundary , and if in addition E⊃∂Σ, then, near every point of the boundary ∂Σ, E is locally biHölder equivalent to a sliding minimal cone (in a half space Ω, and with sliding boundary ∂Ω). In addition the only possible sliding minimal cones in this case are ∂Ω or the union of ∂Ω with a cone of type P_+ or Y_+.

Ce mémoire est consacré à` l'étude expérimentale, numérique et analytique d'exemples de membranes élastiques ou capillaires. Les grandes déformations des plaques élastiques conduisent en général à la concentration de l'énergie autour de zones presque singulières qui sont linéaires (plis) ou ponctuelles (cônes). Ces singularités sont bien comprises seulement quand elles sont isolées. Nous considérons deux situations modèles présentant plusieurs plis et cônes. Des simulations des équations complètes, ainsi que des calculs analytiques utilisant l'énergie élastique des singularités et des arguments géométriques, sont en accord quantitatif avec les expériences. Les films formés d'un liquide visqueux se déforment aux temps courts comme des plaques élastiques. L'analogie entre l'écoulement d'un fluide visqueux et les déformations d'un solide élastique nous permet d'exhiber un nouveau type de singularité conique sur un film visqueux. Aux temps longs, les films liquides évoluent vers des formes qui minimisent leur énergie capillaire : des surfaces minimales. Nous déterminons les surfaces minimales qui s'appuient sur une double hélice et nous étudions leur stabilité à l'aide de leurs spectres de vibration. Si l'on force une surface minimale solide à vibrer, elle répond de façon notable seulement si la fréquence d'excitation est proche de l'une de ses fréquences propres. Un film de savon à l'équilibre prend la forme d'une surface minimale. Par contre, nous avons constaté que, quand on force le film, son amplitude de vibration varie peu avec la fréquence d'excitation car sa distribution spatiale d'épaisseur s'adapte au forçage. Nous considérons un équivalent mécanique, une masselotte qui coulisse sur une corde vibrante, et montrons que l'ajout d'un degré de liberté (l'épaisseur du film ou la position de la masselotte) à un système vibrant rend celui-ci auto-adaptatif : il répond à toute fréquence de forçage.