Nous passons en revue certains résultats obtenus dans quatre thèmes: les équations de Navier-Stokes stochastiques en deux dimensions, la loi de Fourier dans les chaines d'oscillateurs anharmoniques, les grandes déviations de ces systèmes et finalement, les dynamiques de collision locales.

On s'intéresse dans cette thèse au comportement ergodique de certains systèmes dynamiques.<br /><br />Dans la première partie, on établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la loi d'un mouvement Brownien avec dérive, et plus généralement de certaines diffusions elliptiques, sur l'espace des trajectoires riemanniennes muni d'une métrique L2. <br />Ce résultat implique des propriétés de concentration intéressantes pour le comportement en temps grands de moyennes d'observables le long de la trajectoire.<br /><br />Dans la seconde partie, on prouve un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des équations de Burgers et de Navier-Stokes stochastiques. <br />Ce principe décrit la convergence exponentielle vers la mesure d'équilibre du système, dont l'unicité est assurée par les conditions de non dégénérescence imposées sur la perturbation aléatoire.