Les espaces de Sobolev jouent un rôle central dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Les théorèmes de plongement de ces espaces dans les espaces de Lebesgue se traduisent en inégalités dites de Sobolev. Elles sont devenues un outil fondamental en analyse. Ces notions ont été introduites par S. L. Sobolev à la fin des années~30. D'autres mathématiciens se sont intéressés à ce domaine. On peut notamment citer les travaux d'E. Gagliardo et L. Nirenberg dans les années~50. L'étude des inégalités de Sobolev optimales trouve ses origines dans de grands problèmes d'analyse tels que le problème de Yamabe. Il existe plusieurs façons d'aborder cette étude. Nous parlerons plus particulièrement de programme AB et de programme BA. Le premier programme a été étudié, entre autre, par T. Aubin, O. Druet, E. Hebey et M. Vaugon. Le second trouve sa source en théorie des semi-groupes de Markov. Il a notamment été étudié par D. Bakry et M. Ledoux. Les inégalités de Sobolev sont un cas particulier des inégalités de Gagliardo-Nirenberg. Il est donc naturel de se demander si les résultats connus pour les inégalités de Sobolev s'adaptent aux autres inégalités de la famille. Les premiers travaux de ce type se sont portés sur l'inégalité de Nash et les inégalités de Sobolev logarithmique. Dans cette thèse, nous obtenons une généralisation de ces travaux à une famille d'inégalités plus large. Plus précisément, nous adaptons les programmes AB et BA à une sous-famille des inégalités de Gagliardo-Nirenberg contenant, entre autres, l'inégalité de Nash.

La simulation moléculaire est un outil indispensable pour comprendre le comportement de systèmes complexes pour lesquels les expériences s'avèrent coûteuses ou irréalisables à l'heure actuelle. Cette thèse est dédiée aux aspects méthodologiques de la simulation moléculaire et comprend deux volets. Le premier volet porte sur la recherche de chemins de réaction et de points col d'une surface d'énergie potentielle. Nous proposons, dans le chaptire 3, une amélioration d'une des méthodes de cette classe, appelée '"Activation Relaxation Technique"(ART). Nous donnons également une preuve de convergence pour un algorithme prototype. Le deuxieme volet porte sur le calcul d'énergie libre pour les transitions caractérisées par une coordonnée de réaction. Nous nous plaçons dans le cadre d'une méthode d'échantillonnage d'importance adaptative, appelée 'Adaptive Biasing Force' (ABF). Ce volet comprend en soi deux sous-parties. La première partie (chapitre 5) s'attache à montrer l'applicabilité à un système biomoléculaire, d'une nouvelle mise en oeuvre parallèle d'ABF, nommée 'multiple-walker ABF' (MW-ABF), consistant à utiliser plusieurs répliques. Cette mise en oeuvre s'est avérée utile pour surmonter des problèmes liés à un mauvais choix de coordonnée de réaction. Nous confirmons ensuite ces résultats numériques en étudiant la convergence théorique d'un algorithme d'ABF adapté. Le chapitre 6 comprend une étude de convergence en temps long utilisant les méthodes d'entropie relative et les inégalités de Sobolev logarithmiques / Molecular simulation is an essential tool in understanding complex chemical and biochemical processes as real-life experiments prove increasingly costly or infeasible in practice . This thesis is devoted to methodological aspects of molecular simulation, with a particular focus on computing transition paths and their associated free energy profiles. The first part is dedicated to computational methods for reaction path and transition state searches on a potential energy surface. In Chapter 3 we propose an improvement to a widely-used transition state search method, the Activation Relaxation Technique (ART). We also present a local convergence study of a prototypical algorithm. The second part is dedicated to free energy computations. We focus in particular on an adaptive importance sampling technique, the Adaptive Biasing Force (ABF) method. The first contribution to this field, presented in Chapter 5, consists in showing the applicability to a large molecular system of a new parallel implementation, named multiple-walker ABF (MW-ABF). Numerical experiments demonstrated the robustness of MW-ABF against artefacts arising due to poorly chosen or oversimplified reaction coordinates. These numerical findings inspired a new study of the longtime convergence of the ABF method, as presented in Chapter 6. By studying a slightly modified model, we back our numerical results by showing a faster theoretical rate of convergence of ABF than was previously shown

Dans cette thèse, nous nous intéressons essentiellement à trois sujets : les inégalités fonctionnelles à contenu probabiliste, les limites hydrodynamiques pour les systèmes de spins continus en interaction et la discrétisation des équations différentielles stochastiques. Ce document, outre l'introduction, comporte trois parties. La première s'intéresse aux inégalités fonctionnelles, et notamment aux inégalités de Sobolev logarithmiques, pour les mesures canoniques, ainsi qu'aux limites hydrodynamiques pour les systèmes des spins continus. La convergence vers la limite hydrodynamique pour plusieurs variantes du modèle de Ginzburg--Landau équipé de la dynamique de Kawasaki y est obtenue, avec notamment des bornes quantitatives en le nombre de spins. On y étudie également la convergence de l'entropie microscopique vers l'entropie hydrodynamique. La deuxième partie étudie les liens entre flots gradients dans les espaces de mesures de probabilités et grandes déviations pour les suites de lois de solutions d'équations différentielles stochastiques. On y obtient l'équivalence entre le principe de grandes déviations et la Gamma-Convergence d'une suite de fonctionnelles apparaissant dans la formulation en flots gradients du flot de marginales des lois des solutions des équations différentielles stochastiques. Comme application de ce principe, on obtient les grandes déviations par rapport à la limite hydrodynamique pour deux variantes du modèle de Ginzburg--Landau. La troisième partie concerne la discrétisation des équations différentielles stochastiques. On y prouve une inégalité transport-Entropie pour la loi du schéma d'Euler explicite. Cette inégalité implique des bornes sur les intervalles de confiance pour l'estimation de quantités de la forme $\mathbb{E}[f(X_T)]$. On y étudie également l'erreur de discrétisation pour l'évaluation des coefficients de transport avec l'algorithme MALA (qui est une combinaison du schéma d'Euler explicite et de l'algorithme de Metropolis--Hastings). / In this thesis, we are mainly interested in three topics : functional inequalities and their probabilistic aspects, hydrodynamic limits for interacting continuous spin systems and discretizations of stochastic differential equations. This document, in addition to a general introduction (written in French), contains three parts. The first part deals with functional inequalities, especially logarithmic Sobolev inequalities, for canonical ensembles, and with hydrodynamic limits for continuous spin systems. We prove convergence to the hydrodynamic limit for several variants of the Ginzburg--Landau model endowed with Kawasaki dynamics, with quantitative bounds in the number of spins. We also study convergence of the microscopic entropy to its hydrodynamic counterpart. In the second part, we study links between gradient flows in spaces of probability measures and large deviations for sequences of laws of solutions to stochastic differential equations. We show that the large deviations principle is equivalent to the Gamma--Convergence of a sequence of functionals that appear in the gradient flow formulation of the flow of marginals of the laws of the diffusion processes. As an application of this principle, we obtain large deviations from the hydrodynamic limit for two variants of the Ginzburg-Landau model. The third part deals with the discretization of stochastic differential equations. We prove a transport-Entropy inequality for the law of the explicit Euler scheme. This inequality implies bounds on the confidence intervals for quantities of the form $\mathbb{E}[f(X_T)]$. We also study the discretization error for the evaluation of transport coefficients with the Metropolis-Adjusted Langevin algorithm (which is a combination of the explicit Euler scheme and the Metropolis algorithm).

Nous étudions des méthodes d'approximation particulaire de solutions d'équations aux dérivées partielles décrivant l'état macroscopique de certains systèmes physiques. Elles consistent en l'introduction d'un grand nombre N de particules fictives évoluant selon des équations différentielles couplées, ordinaires ou stochastiques, dans un sens plus simple à résoudre que l'équation macroscopique; l'état de ce système de particules est décrit par une mesure de probabilité, dite mesure empirique. La validité de la méthode est donnée par la convergence, quand N tend vers l'infini, de cette mesure empirique vers la solution macroscopique originale, appelée limite de champ moyen. Nous cherchons principalement à en donner des estimations explicites, quantifiant ainsi la précision de l'approximation.<br /><br />Dans ce cadre nous étudions l'approximation des équations de transport de Vlasov et d'Euler par des systèmes de particules déterministes en interaction. Le problème de la convergence de la méthode se ramène à un problème de stabilité de solutions que nous traitons par des propriétés de type contraction pour des distances (de Wasserstein) liées à la théorie du transport optimal de mesures. Nous établissons aussi une propriété analogue de contraction pour des lois de conservation scalaires. <br /><br />Nous étudions également l'approximation d'équations de diffusion de McKean-Vlasov par des systèmes de particules stochastiques. Nous en donnons l'erreur de manière quantitative à l'aide de techniques de couplage, d'estimations de propagation du chaos et d'inégalités de concentration ou de déviation.<br /><br />De façon plus systématique nous nous intéressons à de telles inégalités de concentration pour des mesures de probabilité et à leurs relations avec des inégalités de transport (liant distances de Wasserstein et entropie) et de Sobolev logarithmiques. En particulier nous établissons de telles inégalités pour certaines classes de lois de variables dépendantes.

On s'intéresse dans cette thèse au comportement ergodique de certains systèmes dynamiques.<br /><br />Dans la première partie, on établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la loi d'un mouvement Brownien avec dérive, et plus généralement de certaines diffusions elliptiques, sur l'espace des trajectoires riemanniennes muni d'une métrique L2. <br />Ce résultat implique des propriétés de concentration intéressantes pour le comportement en temps grands de moyennes d'observables le long de la trajectoire.<br /><br />Dans la seconde partie, on prouve un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des équations de Burgers et de Navier-Stokes stochastiques. <br />Ce principe décrit la convergence exponentielle vers la mesure d'équilibre du système, dont l'unicité est assurée par les conditions de non dégénérescence imposées sur la perturbation aléatoire.