O objetivo desta tese é estudar a geometria diferencial plana local de uma hipersuperfície regular M em R4, usando a teoria de singularidades. Esta geometria é obtida através do estudo do contato de M com retas, planos e hiperplanos. O contato com hiperplanos (respectivamente, retas e planos) é medido através das singularidades dos elementos da família de funções altura H : M x S3 → R (respectivamente, família de projeções P M x S3 → R3 e II : M x G(2,4) → R2), onde S3 é a esfera unitária em R4, e G(2,4) é a Grassmaniana de 2-planos em R4. Escrevendo M localmente na forma de Monge w = f(x,y,z) obtemos as condições sobre os coeficientes da expansão de Taylor de f para identificar as singularidades genéricas de Hu , Pu e nu. Estudamos as estruturas dos conjuntos em M de um dado tipo de singularidade, usando a aplicação Monge-Taylor e os teoremas de transversalidade de Thom. Além disso, mostramos que existe uma relação de dualidade entre certos estratos dos conjuntos de bifurcações de H e P, e deduzimos propriedades geométricas sobre estes conjuntos. Estudamos também o comportamento de P em um ponto umbílico plano parcial. A família II é de 4 parâmetros, portanto as singularidades genéricas que ocorrem são aquelas de codimensão ≤ 4. Precisamos então completar a tabela de singularidades dos germes R3, O → R2, O em [45]. Fizemos isso usando o programa \"Transversal\" feito por Neil Kirk [26]. Obtemos critérios geométricos para reconhecer as singularidades de codimensão ≤ 1 e para estabelecer quando II é um desdobramento versal de IIu. / We initiate in this thesis the study of the local flat geometry of smooth hypersurfaces M in R4 using singularity theory. This geometry is obtained by studying the contact of M with lines, planes and hyperplanes. The contact with hyperplanes (respectively, lines and planes) is measured by the singularities of the elements of the family of height functions H: M x S3 → R (respectively, projections to hyperplanes P : M x S3 → R3, and projections to planes II: M x G(2,4) → R2), where S3 is the unit sphere in R4, and G(2,4) is the Grassmanian of 2-planes in R4. We write locally M in Monge form w = f(x, y, z) and obtain the conditions on the coefflcients of the Taylor expansion of f for identifying the generic singularities of Hu, Pu and IIu. We study the local structures of the set of points in M of a given singularity type using the Monge-Taylor map and Thom\'s transversality theorems. We also show that there is a duality relation between some strata of the bifurcation sets of H and P, and deduce geometric properties about these sets. We study in more details the behaviour of P at a partial flat umbilic point. The family II is of 4 parameters, so the generic singularities that occur in IIu are of codimension ≤ 4. Therefore we need to complete the list of singularities of germs R2, O → R2, O given in [45]. We do this using \"Transversal\", a program elaborated by Neil Kirk [26]. We also obtain geometric criteria for recognizing the codimension ≤ 1 singularities of IIu and for establishing when II is a versal unfolding of IIu.

Nesta tese estudamos de maneira sistemática pares de germes de folheações determinadas por 1-formas diferenciais no plano, usando três diferentes técnicas: a teoria de singularidades, o método do blowing up polar e a redução formal. Usando a teoria de singularidades, apresentamos uma classificação suave e completa dos pares de germes de codimensão finita de folheações regulares ou da forma regular/singular-exata no plano e em variedades bidimensionais com bordo regular. Fizemos um estudo geométrico dos pares encontrados nas classificações e associamos invariantes à tais pares. Com o método do blowing up obtivemos um estudo topológico dos pares de folheações regular/singular e singular/singular com singularidades do tipo sela, nó ou foco. Usamos também o método da redução formal para estudar estes casos. Finalmente, estabelecemos um teorema de desingularização de pares de 1-formas diferenciais no plano, análogo aos teoremas de Seidenberg e Dumortier sobre a desingularização de 1-formas diferenciais no plano. / In this thesis we study in a systematic way pairs of germs of foliations defined by differential 1-forms in the plane using three different techniques: singularity theory, polar blowing up and formal reduction. Using singularity theory, we present a smooth and complete classification of pairs of germs of finite codimension of regular and regular/singular exact foliations in the plane and in 2- dimensional manifolds with regular boundary. We investigate the geometry of the classified pairs and associate invariants to them. With the blowing up method we obtain topological models of pairs of singular and regular/ singular foliations in the plane, when the singularity is of type saddle, node or focus. We also study theses cases using the formal reduction technique. Finally, we prove a desingularization theorem for pairs of germs of differential 1-forms in the plane, similar to Seidenberg and Dumortier\'s theorems for 1-form.

A frente da nappe Andrelândia está sotoposta à nappe Liberdade e cavalga as unidades metapsamíticas do Alóctone Serra da Bandeira, correlato ao Grupo Carancas, na região de Santana do Garambéu-MG. A litoestratigrafia da nappe Andrelândia, bem preservada na Serra de Cataguases e adjacências, compreende da base para o topo: rutilo-estaurolita-cianita-granada-muscovita-biotita xisto porfiroblástico (xisto Rio Capivari); granada-biotita-plagioclásio-quartzo xisto homogêneo (xisto Santo Antônio); rutilo-estaurolita-cianita-granada-biotita-muscovita-plagioclásio-quartzo xisto porfiroblástico com níveis granoblásticos, níveis ricos em muscovita e plagioclásio e lentes métricas de quartzitos (biotita xisto Cataguases), que grada para o topo para quartzito micáceo a muscovita-quartzo xisto (xisto Serra da Boa Vista). A foliação metamórfica principal \'S IND.2\' é desenvolvida essencialmente sob deformação não-coaxial, em fáceis anfibolito e com conspícua lineação mineral (cianita, muscovita, plagioclásio e rutilo) e de estiramento, orientadas preferencialmente para SW (213°/14°). Os indicadores cinemáticos, como sigmoides de quartzo, evidenciam transporte da placa superior para nordeste. A frente da nappe Andrelândia estrutura-se em escama de topo que cavalga sobre megadobramento recumbente e anisopaco, com comprimento de onda (\'lâmbda\') médio de 1000 m por 700 m de amplitude (\'alfa\'), orientado NW-SE, configurando sinformes nas Serras de Cataguases e Santana, separadas por uma antiforme isoclinal. Falhas de cavalgamento para NE e falha normal dúctil de baixo ângulo para W rompem a sinforma recumbente da Serra de Cataguases. O conjunto \'D IND.2\' e \'D IND.3\' é regionalmente deformado por dobramento normal, orientado SW e com dimensões de 1250m de \'lâmbda\'/2 por 250m de \'alfa\'. Estas dobras apresentam geometria cilíndrica, que indica o caráter recumbente do dobramento anterior. A megaestrutura define uma figura de interferência do tipo-2. O geotermômetro Zr in Rutilo sugere um padrão metamórfico invertido para a frente da nappe Andrelândia, com temperaturas de cerca de 702°C para o contato superior com a nappe Liberdade e cerca de 615°C para o contato inferior com o Alóctone Serra da Bandeira, quando comparadas em um horizonte de 10Kbar de pressão. O geotermobarômetro GASP indica condições de pico metamórfico pré-Sn em condições alta pressão, em torno de 649+/-48 °C e 10+/-0,9 kbar na parte central da área. Estudos isotópicos permitiram o estabelecimento da idade máxima de sedimentação para o xisto Santo Antônio em 648Ma, com populações criogenianas (690 e 807Ma) juvenis como contribuições mais expressivas, seguida por diversas populações meso a paleoproterozóicas, com destaque para contribuição juvenil de zircões de 1,5 Ga, exóticos ao cráton do São Francisco. O xisto Serra da Boa Vista apresenta maior população de zircões de 625Ma, com características de bacia tipo flysch, com sedimentação sin-orogênica. O magmatismo básico entre 790 Ma e 670 Ma, o metamorfismo de alta pressão dos segmentos subductados há ~645 Ma e a idade da colisão, situam a evolução do prisma acrescionário em 170 Ma, do Criogeniano médio ao Ediacarano inferior. Assim, os metawackes do xisto Santo Antônio devem representar uma bacia de ante-arco, desenvolvida sobre segmentos do prisma acrescionário de longa duração, 60 Ma, a partir do Criogeniano superior. A idade do metamorfismo de alta pressão do prisma acrescionário, registrada em detritos de zircão na bacia de ante-arco, o vulcanismo cálcio-alcalino juvenil e proximal, e a presença de prováveis olistolitos de rochas básicas, indicam, como a assinatura química dos sedimentos, a evolução da bacia de ante-arco durante um período tectonicamente ativo. / The Andrelândia nappe front is thrusted by Liberdade nappe front, and the entire system is thrusted over Serra da Bandeira Allochton, correlate of Carrancas Group, in the region Santana the Garambéu, southern Minas Gerais State. The lithostratigraphy of Andrelândia nappe, well preserved in Serra dos Cataguases and adjacency, comprehends, from base to top: rutile staurolite kyanite garnet muscovite biotite porfiroblastic schist (Xisto Rio Capivari); garnet-biotite-quartz-plagioclase homogeneous schist (Xisto Santo Antonio); rutile-estaurolita cianita-garnet-biotite-muscovite-plagioclásio-quartz porfiroblastic schist with constant quartzites and granoblastic schist layers (biotita Xisto Cataguases), which grades to a micaceous quartzite to the top (Xisto Serra da Boa Vista). The main structure is a \'S IND.2\' foliation, developed under non-coaxial deformation, with intense stretch mineral lineation (kyanite, muscovite, plagioclase and rutile) preferentially oriented to SW (213°/14°). The kinematic indicators show transport of the upper plate to the Northeast. The Zr in Rutile geothermometer suggested an inverted metamorphic pattern, with temperatures of around 702°C in the vicinity of the Liberdade nappe contact (upper), and about 615°C for the lower contact with the Serra da Bandeira Allochton, when compared in a 10Kbar horizon. The GASP geothermobarometer indicates peak metamorphism in high pressure conditions, with peak of 649 +/- 48°C and 10 +/- 0,9 Kbar in the central part of the area. Isotopic studies allowed the establishment of a maximum age for the sedimentation of Xisto Santo Antonio in about 648 My, with Criogenian juvenile populations (690 and 807 My) as more expressive sedimentary contribution, followed by older meso and Paleoproterozoic populations, with presence of juvenile zircons of 1,5 Gy, exotic to the São Francisco craton. The Serra da Boa Vista schist presents major population of zircons in 625 My, and may represent a flysch basin type, with sin orogenic sedimentation. The mafic magmatism around 790 My and the high pressure metamorphism after ~645 Ma constrained the age of the collision, with a 170 My of acrescionary prism evolution, from middle Criogenian to lower Ediacarian periods.

Na primeira etapa dos trabalhos (\"Experiências usando materiais selecionados\"), foram efetuados estudos laboratoriais em 20 amostras de rochas \"granitoides e quartzíticas. Executaram-se análises petrográficas por microscopia óptica. Determinaram-se índices de cristalinidade do quartzo por difratometria de raios X e \"coeficiente de desordem\" do quartzo por espectroscopia de infravermelho; e realizaram-se ensaios de reatividade potencial de agregados pelos métodos: químico e de barra de argamassa (métodos normais a 38 e 60°C e acelerado, com determinações obtidas durante 24 meses e 28 dias, respectivamente). A partir destes estudos, selecionaram-se dezenas de parâmetros mineralógicos-petrográficos considerados possíveis condicionadores de reações álcali-agregado, dos quais se revelou mais importante a quantidade de quartzo microgranular (<0,15 mm). A granulometria da matriz rochosa e dos cristais de quartzo (>= 0,15 mm), e as medidas de ângulos de extinção ondulante do quartzo associadas à quantidade deste mineral, podem, também, ser úteis na previsão do comportamento álcali-reativo desses agregados. Estes três parâmetros são eminentemente texturais e podem constituir, ao menos em parte, indicadores do grau de deformação atingido pela rocha. Dentre os métodos de ensaios de reatividade potencial os que se mostraram mais adequados para avaliar o comportamento de rochas \"granitoides\" deformadas tectonicamente foi o \"Método Acelerado\", desenvolvido pelo National Building Research Institute - NBRI e descrito por OBERHOLSTER & DAVIES (1986). Na segunda etapa, aplicaram-se as conclusões obtidas durante a primeira no concreto da Barragem de Pedro Beicht. Concluíram-se serem as concentrações de quartzo microgranular presentes no agregado \"granitoide\" (deformado e, em parte, recristalizado) os principais responsáveis pela reação álcali-silicato ocorrida. O cimento utilizado no concreto, há 60-65 anos, apresentava alto teor de álcalis (aproximadamente entre 1,3 e 1,6%). Verificaram-se, na porção central da barragem, simultaneamente: maior consumo de cimento; maiores teores em álcalis por metro cúbico de concreto; maior incidência de bordas de reação álcali-agregado e maior quantidade de fissuras no concreto. Presume-se a existência de algum fissuramento relacionado à reação álcali-agregado. Os materiais neoformados presentes nas bordas de reação são representados por gel alcalino, às vezes diferenciado em material de baixa cristalinidade e, localmente, exibindo fases cristalinas bem desenvolvidas de hábito foliar. Compõem-se predominantemente de Si, Ca e K, podendo conter algum Al. / This work was carried out in two parts. In the first one (\"Experiments using selected materials\") 20 samples of \"granitoid\" and quartzitc rocks were submitted to laboratorial studies, including petrographic analysis determination of quartz crystallinity index by x-ray diffraction, and attainment of quartz \"disorder coefficient\" by infrared spectroscopy. Tests of potential alkali reactivity were performed by chemical and mortar bar methods. The last one included the traditional method at 38°C and 60°C and also an accelerated method; measurements were made during 24 months and 28 days, respectively. Several mineralogical and petrographic parameters, selected from the above studies, were related to potential alkali-aggregate reactivity. The studies made it clear that the amount of microcrystalline quartz (<0,15 mm) is by far the most efficient parameter. The grain size of the rock matrix, the quartz crystal sizes (>= 0,15 mm) and the undulatory extinction angle in quartz, if associated with the amount of this mineral, can be useful in the prediction of the alkali-reactivity of aggregates. The last three essentially textural parameters may constitute, at least in part, rock deformation indicators. As judged from the results, the accelerated method is to be considered the most suitable for the evaluation of performances of tectonically deformated \"granitoid\" rock. This method was developed by the National Building Research Institute - NBRI and discussed by OBERHOLSTER & DAVIES (1986). The data obtained in the first phase of the present work were then applied to the case of the Pedro Beicht Dam. It was concluded that microgranular quartz concentrations present in the deformed and partially recrystallized \"granitoid\" of aggregates are the main agent answerable for the observed alkali-aggregate reactions. The cement put to use in concrete, 60 to 65 years ago, was then very rich in alkalis (about 1.3-1.6%). Observations of features in the central part of the dam pointed out: a higher cement consumption; higher content of alkali per m3 of concrete; higher incidence of aureoles of alkali-aggregate reaction and also, larger abundance of concrete fissures. Some relationship between fissuration and alkali-aggregate reaction is presumed. The neoformation material found in reaction aureoles is an alkaline gel which sometimes exhibit low crystallinity or, locally, well developed foliar crystalline phases. In its composition, Si, Ca and K are predominant, but some Al may also appear.

A primeira parte deste trabalho refere-se ao estudo do processo de fotoionização do orbital 3&#963g da molécula de N2. Utilizando a Técnica de Stieltjes-Tchebycheff (TST) calculamos a seção de choque de fotoionização para a formação do íon N+2(X2&#931+g) nos níveis vibracionais &#957\' = O, 1 e 2. Os resultados das seções de choque relativas, definidas como Rx = (&#963v\"=0&#8594v\'/&#963v\"=0&#8594\'=0)o100, obtidos neste trabalho, são comparados com os resultados experimentais disponíveis, bem como com outros teóricos. A boa concordância com a experiência mostra a potencialidade da TST para estudos desta natureza. Na segunda parte calculamos seções de choque e parâmetros de assimetria para a fotoionização da molécula de CO, utilizando o Método Variacional de Schwinger e a Aproximação de Hartree-Fock de Caroço Congelado (FCHF). Diferentemente da TST a função de onda do elétron contínuo (ejetado) é calculada explicitamente. A vantagem de explicitar a função de onda do elétron ejetado reside na possibilidade de se obter a seção de choque diferencial de foto ionização (parâmetro de assimetria), o que não é possível utilizando-se a TST. Os resultados obtidos para a fotoionização dos orbitais de valência externos (5&#963, 1&#960, 4&#963) apresentaram uma boa concordância com os resultados experimentais disponíveis. Entretanto, para o orbital de valência interno (3&#963) e para os orbitais da camada-K (2&#963 e 1&963), a posição do máximo da curva de seção de choque, o qual corresponde à ressonância de forma (shape resonance), apresentou-se deslocada para a região de menor energia em alguns eV. Este deslocamento da posição de máximo da curva deveu-se, provavelmente, à não consideração do efeito de relaxação da densidade de carga eletrônica do íon molecular. As estruturas observadas nos valores experimentais das seçoes de choque de fotoionização, nas regiões próximas do limiar de ionização, são devidas aos elétrons resultantes do processo de autoionização. Todavia tais processos não foram incluídos no presente estudo / In the first part of this thesis we report the study of photoionization for the orbital 3&#963g of the N2 molecule. Stieltjes-Tchebycheff Momentum Theory (STMT), we have Using the calculated the cross sections for the ionization process which leads to the formation of the N+2 (X2&#931+g) molecular ion in the vibrational levels &#957\' =0, 1 and 2. The calculated vibrational branching ratios, which are defined as Rx=(&#963v\"=0&#8594v\'/&#963v\"=0&#8594\'=0)o100, are compared with the experimental data and also with the results obtained by other theoretical studies. The good agreement between our results and experimental data shows the potentiality of the STMT for this sort of studies. In the second part we report the study of photoionization of the CO moleculein the Frozen-Core Hartree-Foek Approximation (FCHF) combined with the Sehwinger Variational Method. In this study the scattering wave function of the ejected electron in the CO+ molecular ion potential field is explicitly calculated, so that the differential photoionization cross sections (asymmetry parameters) can be straightforwardly obtained. These parameters cannot be calculated in the STMT. Our results of cross sections for photo ionization of the external valence shells (5&#963, 1&#960, 4&#963) agree quite well with the experimental data. However the maximum of the photo ionization cross section curve (shape resonance) for the inner-valence shell (3&#963) and the K-shell (2&#963 e 1&963) is shifted by a few eV in relation to the experimental data. The shift of the resonance peak is probably caused by the negligence of the relaxation of electronic charge density in the molecular ion. At the photon energies closed to the threshold, there has been observed structures in the measured photoionization cross sections. Nevertheless these structures are attributed to the autoionization processes, which are not included in this study.

Neste trabalho abordamos a teoria da relaxação lagrangeana para resolução de problemas de programação linear inteira, a qual tem sido extensivamente usada e apresentado resultados satisfatórios. Esta abordagem busca reformular um problema inteiro, fazendo deste um problema mais simples. Para tal, relaxa-se algumas restrições, colocando-as como um termo \"penalidade\" na função objetivo, criando assim o chamado \"problema lagrangeano\". É formulado o problema dual, o qual pode ser resolvido pelo método subgradiente ou variações deste. A relaxação lagrangeana tem mostrado muita eficiência também quando usada para gerar limitantes para o algoritmo \"Branch-and-Bound\". Em muitos casos tais limitantes são melhores que os dado pela relaxação linear, gerando uma árvore de tamanho reduzido. Esta técnica lagrangeana tem sido aplicada com sucesso a um grande número de problemas importantes de pesquisa operacional, por exemplo: rotas, localização, sequenciamento, designação, cobertura entre outros. / In this work we survey the lagrangean relaxation theory to solve integer linear programming problems, which has been extensively used and showed satisfactory results. This approach searches a new formulation for the original problem, in which some constraints are removed and replaced as a \"penalty\" term in the objective function. This new problem is cal led \"lagrangean problem\". So, the dual problem is formulated, which can be solved via the subgradient method or its variants. The Lagrangean relaxation has proved to be efficient, when used to obtain bounds for the Branch-and-Bound algorithm. In many cases these bounds are better than those provided by the linear relaxation. In general, it yields a reduced tree. This lagrangean technique has been successfully applied to number of important problems of operational research as, for example: routing, location, scheduling, assignment, set covering and others.

Este trabalho trata do problema de Separação em Variedades por Mergulhos e Imersões. Consiste de três capítulos e o apêndice. O primeiro contém os conceitos matemáticos mais importantes e úteis para o desenvolvimento do trabalho. No segundo apresentamos teoremas sobre Separação por meio de mergulhos, dando também uma idéia geométrica do problema. No terceiro e último capitulo, estudamos e apresentamos as técnicas usadas na demonstração de um Teorema de Separação por imersões. Tal teorema foi enunciado por Mark E. Feighn em um artigo intitulado: \"Separation Properties of Codimension-1 Immersions\" [4]. Para finalizar, no apêndice são mostradas algumas aplicações dos teoremas de separação. / This work studies the problem of separation in manifolds by using embeddings and immersions. It consists of 3 chapters and a appendix. The first chapter contains the most important and useful mathematical concepts for the development of the work. In the second one we present separation theorems by embedding, giving also a geometric idea of the problem. In the third and final chapter, we study and present the techniques used in the demonstration of a separation theorem by immersion. Such a theorem was state by Mark E. Feighn in the article: \"Separation Properties of Codimension-1 Immersion\". Then in the appendix, some applications of the separation theorems are shown.

Não disponível / Not available

Estamos interessados na equação diferencial retardada de segunda ordem x(t) + f(x(t))x(t) + g(x(t - r)) = O. (E) Nosso objetivo consiste em, seguindo o fluxo dado por (E), definir uma aplicação de retorno A sobre um conjunto fechado convexo do espaço de fase, para estudar as soluções periódicas. Para um retardamento r suficientemente pequeno, usamos um teorema de R. Nussbaum, veja Teorema(1.5), para obter a existência de soluções periódicas não constante de (E), as quais correspondem a pontos fixos não triviais de A. / We are concerned with the retarded second order differential equation x(t) + f(x(t))x(t) + g(x(t - r)) = O. (E) Our aim consists in following the flow given by (E) to define a return map A on a closed convex set of the phase space, in order to study the periodic solutions. For a small delay r, we use a fixed point theorem due to R. Nussbaum, Theorem(1.5) below, to accomplish the existence of nonconstant periodic solutions of (E), which correspond to nontrivial fixed points of A.

Neste trabalho estudamos a teoria de formas quadráticas sobre anéis locais, sem a hipótese que 2 é inversível no anel. Nosso objetivo é estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ideais primos minimais do Anel de Witt sobre um anel local e o conjunto das ordens maximais deste anel. Esta correspondência já foi estabelecida por Kanzaki e Kitamura quando 2 é inversível no anel local. / In this work we study quadratic forms theory on local rings on which we don\'t have the hipothesis that 2 is invertible. Our aim is to stablish a one to one correspondence between the set of the minimal prime ideais of Witt Ring on a local ring and the set of maximal orders of this ring. This correspondence have already been stablished by Kanzaki and Kitamura when 2 is invertible on the local ring.