- / -

Στην παρούσα διατριβή αναπτύσσεται η γραμμικοποιημένη μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών. Η μέθοδος αυτή αποτελεί νέα αριθμητική τεχνική επιλύσεως των διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως, κανονικών και με μερικές παραγώγους και εφαρμόζεται σε εσωτερικές και εξωτερικές ροές. Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις μεθόδους διακριτοποιήσεως μιας διαφορικής εξισώσεως και στον τρόπο επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο εκτίθεται η μέθοδος των Allen και Southwell για τη λύση της εξισώσεως της στροβιλότητας προκειμένου περί δισδιάστατης ροής και η τροποποίηση και βελτίωση της μεθόδου από τον Dennis. Εν συνεχεία περιγράφεται η περαιτέρω βελτίωση της μεθόδου, διά της οποίας ο πίνακας του συστήματος των συντελεστών των αγνώστων καθίσταται διαγωνίως υπέρτερος. Στο τρίτο κεφάλαιο η βελτιωμένη μέθοδος επεκτείνεται στις τρεις διαστάσεις με μεταβλητούς συντελεστές και εφαρμόζεται στην λύση αντιστοίχου προβλήματος ροής ιδανικού ρευστού εντός σωλήνα. Στο τέταρτο κεφάλαιο η παρούσα μέθοδος γενικεύεται μεταβλητούς συντελεστές. Στο πέμπτο κεφάλαιο επιλύεται η εξίσωση της στροβιλότητας στις τρεις διαστάσεις σε σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων και ο αλγόριθμος εφαρμόζεται στο πρόβλημα του von Kármán. Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο εξετάζεται η περίπτωση της αριθμητικής εξομοίωσης στροβίλων Taylor προκειμένου περί ροής ιξώδους ρευστού, το οποίο περιέχεται εντός σφαιρικού κελύφους, η δε κίνηση του ρευστού προκαλείται από την διαφορική περιστροφή των δύο σφαιρών γύρω από την κοινή διάμετρό τους. / In the present dissertation a numerical technique is developed on the solution of ordinary and/or partial differential equations of second order with variable coefficients. In particular, in the first chapter we make a general introduction to the discretisation methods and to the methods of solution of a linear system of algebraic equations. In the second chapter the method of Allen and Southwell on the solution of the vorticity equation in two dimensional flow is presented as well as its modification and improvement by Dennis. The contribution of the present work is on the further improvement of the previous method, such that the matrix of the coefficients of the unknowns becomes diagonally dominant and its extension to three dimensional problems. The consecutive steps of the method (Linearized Finite Difference Method, LFDM) are worked out on the ordinary differential equation with variable coefficients. Next, the method is applied to the solution of two problems from Fluid Mechanics. In the third chapter the improved method is extended to three dimensions with variable coefficients. Accordingly the method is applied to the solution of the equations of motion of a perfect fluid moving in a straight tube. In the fourth chapter the present method is generalized with variable coefficients. In the fifth chapter the three dimensional equation of the vorticity expressed in cylindrical coordinates is solved and the results are applied to the von Kármán problem. Finally in the sixth chapter we use this method to simulate Taylor vortices in spherical annular flow in the presence of heat, the motion of the fluid being induced by the differencial rotation of two spheres about their common diameter.

Στην παρούσα εργασία μελετώνται οι ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων με ιδιαίτερη έμφαση στις ακτινικές ταλαντώσεις τους. Σκοπός αυτής της μελέτης είναι ο υπολογισμός των συχνοτήτων των ακτινικών ταλαντώσεων των αστέρων νετρονίων. Στο πρώτο, κεφάλαιο κάνουμε μία μικρή εισαγωγή για τους αστέρες νετρονίων και τους ταχέως περιστρεφόμενους αστέρες νετρονίων (pulsars) καθώς και για τον ρόλο, που διαδραματίζουν αυτοί και τα διπλά συστήματα που σχηματίζουν, στην σύγχρονη Αστροφυσική. Ακόμα αναφερόμαστε στην εσωτερική δομή των αστέρων νετρονίων και σε κάποιες από τις καταστατικές εξισώσεις, που μπορεί να περιγράφουν την ύλη στο εσωτερικό του, δίνοντας έμφαση στην πολυτροπική καταστατική εξίσωση την οποία και υιοθετούμε στην παρούσα εργασία. Στο δεύτερο κεφάλαιο, παραθέτουμε τις εξισώσεις Oppenheimer–Volkoff(OV) που περιγράφουν την ισορροπία ενός αδιατάρακτου αστέρα νετρονίων. Στη συνέ- χεια, θεωρώντας τις ακτινικές ταλαντώσεις 1) ως απειροστού πλάτους αδιαβατικές ταλαντώσεις που διατηρούν τον βαρυονικό αριθμό και 2) ως αποτέλεσμα της αργής περιστροφής του αστέρα, καταλήγουμε σε μία δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση που διέπει τις ακτινικές ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων. Η εξί- σωση αυτή γράφεται στη μορφή Sturm– Liouville. Επιπροσθέτως, συνεχίζουμε παραθέτοντας τον διορθωτικό όρο, λόγω περιστροφής, για την τιμή της συχνότη- τας και τις εξισώσεις που διέπουν τις μη ακτινικές ταλαντώσεις. Τέλος κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με μία ανάλυση των διαφόρων τρόπων ταλάντωσης. Στο τρίτο κεφάλαιο, αρχικά επιλύουμε, με τη χρήση ενός πρωτότυπου επα- ναληπτικού αλγορίθμου, το σύστημα διαφορικών εξισώσεων OV για την εύρεση των φυσικών παραμέτρων του αστέρα. Στη συνέχεια, αφού αρχικά αναλύσουμε τις βασικότερες μεθόδους επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης των ακτινικών ταλα- ντώσεων, που εμφανίζονται στην βιβλιογραφία, μετατρέπουμε τη μορφή Sturm– Liouville σε ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, το οποίο επιλύουμε με την βοήθεια της μεθόδου σκόπευσης (shooting method). Στη βιβλιογραφία, υπάρχουν δύο διαφορετικές τάσεις αντιμετώπισης της πο- λυτροπικής καταστατικής εξίσωσης, ανάλογα με το αν στην θέση της πυκνότητας εισέρχεται η πυκνότητα μάζας ηρεμίας ή η πυκνότητα της ολικής μάζας–ενέργειας. Ακόμα, δύο είναι και οι διαφορετικοί τρόποι αντιμετώπισης του αδιαβατικού δεί- κτη, ο οποίος εισέρχεται στην εξίσωση που περιγράφει τις ακτινικές ταλαντώσεις, ανάλογα με το αν είναι σταθερός ή μεταβάλλεται. Από τις τέσσερις αυτές βασικές υποθέσεις για την πολυτροπική καταστατική εξίσωση και τον αδιαβατικό δείκτη, προκύπτουν τέσσερα διαφορετικά πρωτότυπα μοντέλα για τις ακτινικές ταλαντώ- σεις, τα οποία και επιλύουμε. Στο τελευταίο κεφάλαιο, υπολογίζουμε και παρουσιάζουμε τις τρεις πρώτες συχνότητες των τεσσάρων πρωτότυπων μοντέλων για τις ακτινικές ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων για τρεις διαφορετικές τιμές του πολυτροπικού δείκτη και αναλύουμε τις αριθμητικές μεθόδους, τις οποίες χρησιμοποιούμε, καθώς και τις αντίστοιχες υπορουτίνες της βιβλιοθήκης SLATEC. Εν κατακλείδι, τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός πρωτότυπου επαναληπτικού αλγορίθμου για την εύρεση της ακτίνας του αστέρα με μεγάλη ακρίβεια και η παρουσίαση αποτελεσμάτων για τέσσερα πρωτότυπα μοντέλα που περιγράφουν τις ακτινικές ταλαντώσεις των αστέρων νετρονίων. / In the present Thesis we study the oscillations of neutron stars emphasizing on the radial oscillations. The Thesis is organized in four chapters. In the first chapter, we introduce the theoretical background of neutron stars and pulsars. We then discuss the importance of the role that the binary neutron stars play in modern Astrophysics. Next, we refer to the structure of these stars and introduce some of the equations of state (EOS) which try to describe the matter occupying the inner layers of neutron stars, emphasizing on the polytropic EOS which is adopted here. In the second chapter we, first introduce the Oppenheimer–Volkoff (OV) system of differential equations, describing the hydrostatic equilibrium of a non rotating, non pulsating neutron star, and considering the radial oscillations 1) as infinitesimal, baryon-number conserving, adiabatic oscillations 2) as the result of the slow rotation of the neutron star, we derive the second order differential equation governing the radial oscillations of a neutron star. We then rewrite this equation in the Sturm–Liouville form. The expression of the change of frequency of the radial oscillations due to slow rotation and the equations of state is obtained. Finally, we conclude this chapter with a mode analysis of oscillations of neutron stars in general. In the third chapter, we first solve the OV system of differential equations, implementing an original iterative algorithm, and thus calculate the physical parameters of the star. Next, some of the methods used for solving the equations describing the radial oscillations are discussed. Finally, we transform the Sturme–Liouville form to a set of two first order differential equations, which are computed by implementation of the shooting method. In the bibliography, the polytropic EOS is considered in two different ways, depending on which density (rest mass or total mass–energy) is involved in the polytropic EOS. In a similar manner, we have two different ways for considering the adiabatic exponent which enters the equation describing the radial oscillations (constant or variable). Considering these four different assumptions for the polytropic EOS and the adiabatic exponent, we construct four different models of pulsating neutron stars. In the final chapter, we compute and present the first three frequencies of each basic model concerning radial oscillations of neutron stars for three values of the polyropic index. We discuss the numerical methods implemented here and the involved subroutines, which can be found in the SLATEC Library. The main issues of the present Thesis are the development of an iterative algorithm for accurately computing the radius of the star and the computation of the frequencies for the four basic models describing th radial oscillations of neutron stars.

This thesis studies numerical methods for integrating the master equations describing Markov chain models of cardiac ion channels. Such models describe the time evolution of the probability that ion channels are in a particular state. Numerical simulations of such models are often computationally demanding because many solvers require relatively small time steps to ensure numerical stability. The aim of this project is to analyse selected Markov chains and develop more efficient and accurate solvers. We separate a Markov chain model into fast and slow time-scales based on the speed of transitions between states. Eliminating the fast transitions, we find an asymptotic reduction of zeroth-order and first-order in a small parameter describing the time-scales separation. We apply the theory to a Markov chain model of the fast sodium channel INa. We consider several variants for classifying some transitions as fast in order to find reduced systems that yield a good accuracy. However, the time step size is still restricted by numerical instabilities. We adapt the Rush-Larsen technique originally developed for gate models. Assuming that a transition matrix can be considered constant during each time step, we solve the Markov chain model analytically. The solution provides a recipe for a stable exponential solver, which we call "Matrix Rush-Larsen" (MRL). Using operator splitting we design an even more flexible "hybrid" method that combines the MRL with other solvers. The resulting improvement in stability allows a large increase in the time step size. In some models, we obtain reasonably accurate results 27 times faster using a hybrid method than with the forward Euler method, even with the maximal time step allowed by the stability constraint. Finally, we extend the cardiac simulation package BeatBox by the developed exponential solvers. We upgrade a format of "ionic" modules which describe a cardiac cell, in order to allow for a specific definition of Markov chain models. We also modify a particular integrator for ionic modules to include the MRL and the hybrid method. To test the functionality of the code, we have converted a number of cellular models into the ionic format. The documented code is available in the official BeatBox package distribution.

We investigate the orbital evolution of an initially thin stellar disc around a supermassive black hole, considering various perturbative sources of gravity. By means of direct numerical N-body modelling, we first focus on the case when the disc is embedded in an extended spherically symmetric star cluster. We find that the gravitational influence of the disc triggers formation of macroscopic non- spherical substructure in the cluster which, subsequently, significantly affects the evolution of the disc itself. In another approximation, when the cluster is emu- lated by an analytic spherically symmetric potential, we further consider pertur- bative gravitational influence of a distant axisymmetric source. Using standard perturbation methods, we derive a simple semi-analytic model for such a config- uration. It turns out that the additional axisymmetric potential leads to mutual gravitational coupling of the individual orbits from the disc. Consequently, the dense parts of the disc can, for some period of time, evolve coherently. Finally, we apply some of our results to the young stellar disc which is observed in the innermost parsec of the Galactic Centre. 1

L’époque de réionisation (EoR) est une phase de grands changements qu’a subit l’Univers dans son premier milliard d’années. Suite à l’apparition des premières étoiles et à l’émission de photons énergétique par ces dernières, l’hydrogène a été réionisé. Cette transition a eu un impact sur la formation des galaxies. J’ai activement participé au développement d’EMMA, un code de simulation numérique ayant pour objectif d’étudier les processus à l’œuvre durant l’EoR. J’ai développé et implémenté un modèle de formation et d’évolution stellaire. Ces travaux ont contribué à la réalisation d’une simulation dédiée à l’étude de l’EoR parmi les plus grosses réalisées à l’heure actuelle. J’ai contribué au développement d’outils dédiés à l’exploration de simulations de ce type. J’ai étudié la façon dont le rayonnement s’échappe des galaxies en fonction des paramètres du modèle stellaire, et montré que les supernovæ peuvent augmenter la fraction de photons libérés. J’ai également étudié la propagation des fronts d’ionisation et montré qu’il était possible de réduire la vitesse de la lumière par trois (et ainsi diminuer le temps de calcul du transfert du rayonnement par 3), tout en conservant des résultats corrects ? / The epoch of reionization (EoR) is a phase of big changes in the first billion years of the Universe history. After the apparition of the first stars and the emission of energetic radiation by thoses ones, the hydrogen was reionized. This transition has an impact on the galaxies formations. I was part of the development team of EMMA, a numerical simulation code who aimed to study the processes happening during the EoR. I developed and implement a stellar formation and evolution model. These works contributed to the realisation of one of the biggest simulation dedicated to the study of the EoR yet. I contribute to the development of a tool dedicated to the exploration of this kind of simulations. I study how the radiation escaped the galaxies as a function of the parameters of the stellar model, and showed that supernovae could increase the ratio of escaping photon. I also studied the ionization fronts propagation and showed that the speed of light could be reduced by a factor 3 (and then divide the computational cost of the radiative transfer by 3), while keeping corrects results .

Ce travail s’intéresse à la phase de montée d’un aéronef civil. Les trajectoires minimisant le temps de montée ainsi que que celles minimisant la consommation de carburant sont étudiées au travers du contrôle optimal géométrique. La dynamique associée à la phase de montée possède un phénomène dit de perturbation singulière. Ce phénomène, présent dans les systèmes multi-échelle, rend difficile la résolution numérique du problème de contrôle associé. La réduction desystème hamiltonien, permettant de s’affranchir de la difficulté numérique introduite par la perturbation singulière, est étudiée d’un point de vue théorique puis numérique. Dans un second temps, le système réduit est étudié géométriquement. L’utilisation des outils du contrôle géométrique combinée à celui des synthèses à temps court permet de déterminer des familles de trajectoires localement temps-optimales pour des temps courts. Cette étude est complétée par une étude des trajectoires temps-optimales en présence de contraintes d’état. D’un point de vue plus numérique, les méthodes directes et indirectes sont utilisées pour résoudre les différents problèmes. Une synthèse locale est alors réalisée en partant des familles de trajectoires déterminées pour des temps courts. Une étude des trajectoires minimisant la consommation de carburant est également réalisée. / This work concerns the climbing phase of a civil aircraft. The trajectories which minimize the climbing time and the one which minimize the fuel consumption are studied throughout geometric optimal control. The climbing phase dynamics presents a characteristics called singular perturbation. This phenomena exists in multi-scale dynamics which makes the numerical study of the associated control problem difficult. Theoretically and numerically we study the reduction of hamiltonian system. This concept allows to remove the numerical complexity induced by the singular perturbation. Secondly, the reduced system is studied geometrically. Families of timeoptimal trajectories in small time are determined thanks to geometric control tools and small time synthesis. A study of time-optimal trajectories with active state constraints completes this work. From a more numerical point of view, direct and indirect methods are used to solve the climbing problems. A local synthesis for time-optimal trajectory is established starting from the families of trajectory determined in small time. A study of minimum fuel consumption trajectories is also realized.

Este trabalho de pesquisa tem por objetivo apresentar e investigar a viabilidade de um método numérico que contempla o paralelismo no tempo. Este método numérico está associado a problemas de condição inicial e de contorno para equações diferenciais parciais (evolutivas). Diferentemente do método proposto neste trabalho, a maioria dos métodos numéricos associados a equações diferencias parciais evolutivas e tradicionalmente encontrados, contemplam apenas o paralelismo no espaço. Daí, a motivação em realizar o presente trabalho de pesquisa, buscando não somente um método com paralelismo no tempo mas, sobretudo, um método viável do ponto de vista computacional. Para isso, a implementação do esquema numérico proposto está por conta de um algoritmo paralelo escrito na linguagem C e que utiliza a biblioteca MPI. A análise dos resultados obtidos com os testes de desempenho revelam um método numérico escalável e que exige pouco nível de comunicação entre processadores. / This research aims to present and investigate the feasibility of a numerical method that considers the parallelism in time. This numerical method is associated with problems of initial and boundary conditions for (evolutionary) partial differential equations. Unlike the method proposed in this work, most of the numerical methods associated with evolutionary partial diferential equations and traditionally found include only parallelism in space. Hence, the motivation for carrying out the present research work,seeking not only a method with parallelism in time but,above all, a viable method. The implementation of this proposed computational parallel algorithm was written with the language C and uses the MPI library. The results obtained from performance tests reveal a scalable and numerical method that requires little level of communication amount processors

L'objectif principal de cette thèse est consacré à l'étude de la dynamique et la rhéologie d'une suspension de particules denses qui se comportent comme des fluides complexes. La premier partie de cette thèse est consacrée à l'étude de la déformation, le comportement dynamique et la rhéologie d'une suspension de vésicule (un modèle simple pour les globules rouges) sous l'action d'un écoulement externe appliqué (cisaillement simple et Poiseuille confiné) dans la limite de faible nombre de Reynolds. L'étude basée sur des simulations numériques en utilisant la méthode des intégrales de frontière. Cette étude est inspirée par le comportement des globules rouges dans le système microvasculaire. Notre étude est ensuite consacrée aux effets du confinement et du nombre capillaire sur la forme, le comportement dynamique et la viscosité effective d'une suspension de vésicules. Nous avons montré que pour des membranes rigides (nombre capillaire petit), on peut observer en plus de la forme parachute et pantoufle, les formes suivantes : (i) forme d'oscillation centrée, (ii) forme d'oscillation décentrée et (iii) la forme cacahuète. Egalement, nous avons examiné l'influence du contraste de viscosité sur la dynamique et la rhéologie d'une vésicule. Nous avons montré qu'il existe une phase de "coexistence" entre la forme pantoufle et la forme parachute. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous avons proposé un modèle analytique et une étude numérique pour étudier les propriétés dynamiques et rhéologiques d'une suspension de particules rigides sous écoulement de Poiseuille confiné. Le débit, la dissipation et la viscosité apparente sont étudiés en fonction de la structure des plaques dans le canal. Egalement, l'étude numérique d'une suspension de particules sphériques (formes des chaînes de particules) est en accord qualitatif avec le modèle analytique qui considère les longues plaques. Cette étude numérique est basée sur une méthode de la dynamique des particules du fluide, où les particules sont représentées par un champ scalaire ayant une viscosité élevée à l'intérieur. / The principal objective of this thesis is devoted to study the dynamics and rheology of a suspension of dense particles which behave as complex fluids. The first part of this thesis is dedicated to the study of the deformation, the dynamic behavior and rheology of a single neutrally buoyant suspended vesicle (a closed phospholipid membrane), as a response to external applied flows (simple shear and confined Poiseuille flows), is studied in the limit of small Reynolds. The study based on numerical simulations using the boundary integral method. This study is inspired by the behavior of red blood cells in the microvasculature. Our study is then dedicated on the effects of confinement and capillary number on the shape, the dynamic behavior and the effective viscosity of a vesicles suspension. We have shown that for rigid membranes (small capillary number) may be exist other shapes parachute and slipper, these shapes are : (i) Centered Snaking, (ii) Off-Centered Snaking and (iii) Peanut-shaped. Equally, we examined the influence of viscosity contrast on the dynamics and rheology of a vesicle. We have shown that there is a phase of "coexistence" between the slipper and parachute shape. The coexistence of shapes seems to be supported by experiments, though a systematic experimental study is lacking. In the second part of this thesis, we proposed an analytical model and a numerical study for study the dynamics and rheology properties of a rigid particles suspended in a confined Poiseuille flow. The flow rate, the dissipation and the apparent viscosity are studied as a function of the underlying structure. Equally, the numerical study is in good qualitative agreement with the analytical theory considering long plates. The numerical study is based on a fluid dynamic particle method where the particles are represented by a scalar field having high viscosity inside.

Les constructions d'infrastructures linéaires de transport sont de plus en plus contraintes par la traversée de terrains aux caractéristiques mécaniques médiocres, pouvant mener à des tassements importants où à la formation de fontis en base de l'ouvrage. Un renforcement géosynthétique peut alors être mis en œuvre sur cavités potentielles ou en renforcement de plateforme de transfert de charges sur inclusions rigides. L'objectif de cette thèse CIFRE (Conventions Industrielles de Formation par la Recherche) menée dans le cadre du projet de recherche FUI (Fond Unitaire Interministériel) GéoInov est de mieux appréhender le fonctionnement de ces ouvrages renforcés par géosynthétique afin d'en optimiser le dimensionnement. Dans le cadre de la thèse, différentes expérimentations en vraie grandeur ont permis d'appréhender le comportement cinématique et mécanique des renforcements géosynthétiques dans le cas d'effondrements localisés sous un remblai granulaire non cohésif ou une couche de sol traité, et dans le cas des renforcements des plateformes de transfert de charges sur inclusions rigides. Une importante base de données expérimentales a ainsi été constituée. Des simulations numériques discrètes des expérimentations sur cavités et inclusions rigides ont été menés afin de préciser le rôle des renforcements et des mécanismes mis en jeu dans ces structures renforcées. Dans le cas des effondrements localisés, la calibration du modèle à partir des données expérimentales a permis de préciser les mécanismes de transferts de charges au sein du remblai, la géométrie de la distribution de contrainte sur le renforcement géosynthétique et les mécanismes de rupture pour le cas des sols traités. Au final, la combinaison des approches expérimentales et numériques a abouti à une meilleure compréhension de certains mécanismes de transfert de charges ce qui a permis d'apporter des améliorations aux méthodes de dimensionnement analytiques que ce soit pour le cas des remblais granulaires non cohésifs ou pour le cas d'une couche de sol traité renforcé. Des avancées et un enrichissement des codes de calcul ont été également réalisés notamment par l'intégration des grilles de renforcement. / Constructions of transport infrastructures more and more occurs in areas where soils have rather low mechanical characteristics, leading to considerable settlements or the formation of voids. Geosynthetic reinforcements then provide a technical solution over sinkholes or within a load transfer platform over rigid inclusions. This CIFRE (French Research Education by Industrial Convention) PhD is lead as part of the French FUI (Inter-Ministry Fund) research project GeoInov. The purpose is to get better understanding of the mechanical behaviour of geosynthetic-reinforced structures in order to optimise their design. During this thesis, different full-scale experimentations enabled to understand the kinematic and mechanical behaviour of geosynthetic reinforcements over sinkholes under a non-cohesive embankment or a treated soil layer, or geosynthetic-reinforced load transfer platforms over rigid inclusions. Thus a consequent experimental data base was built. The experimentations were then simulated using discrete numerical models in order to specify the role of the geosynthetic reinforcement and mechanical mechanisms within the reinforced structures. For sinkholes, the numerical model could be fitted with experimental data, which enabled to point out load transfer mechanisms within the embankment, the of the load distribution on the geosynthetic reinforcement and failure mechanisms for the case of reinforced treated soil layers. Finally, the combined experimental and numerical approaches lead to a better understanding of some aspects of load transfers within the embankment, which enabled to optimise analytical design methods for geosynthetic reinforcements within a non-cohesive embankment or a treated soil layer overlying a void. Progresses were also made and discrete calculation codes enriched by the integration of geogrids.