Le but de cette thèse est de trouver des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs naturels agissant sur les fonctions d'une variété compacte $(M,g)$. Nous étudions l'opérateur de Laplace-Beltrami et des opérateurs du type laplacien. Dans le cas de l'opérateur de Laplace-Beltrami, deux aspects sont étudiés. Le premier aspect est d'étudier les relations entre la géométrie intrinsèque et les valeurs propres du laplacien. Nous obtenons des bornes supérieures ne dépendant que de la dimension et d'un invariant conforme qui s'appelle le volume conforme minimal. Asymptotiquement, ces bornes sont en cohérence avec la loi de Weyl. Elles améliorent également les résultats de Korevaar et de Yang et Yau. La preuve repose sur la construction d'une famille convenable de domaines disjoints fournissant des supports pour une famille de fonctions tests. Cette méthode est puissante et intéressante en soi. Le deuxième aspect est d'étudier la relation entre la géométrie extrinsèque et les valeurs propres du laplacien agissant sur des sous-variétés compactes de l'espace euclidien $R^N$ ou de l'espace projectif complexe $CP^N$. Nous étudions un invariant extrinsèque qui s'appelle l'indice d'intersection étudié par Colbois, Dryden et El Soufi. Pour des sous-variétés compactes de $R^N$, nous généralisons leurs résultats et obtenons des bornes supérieures qui sont stables l'effet de petites perturbations. Pour des sous-variétés de $CP^N$, nous obtenons une borne supérieure ne dépendant que du degré des sous-variétés et qui est optimale pour la première valeur propre non nulle. Comme autre application de la méthode introduite, nous obtenons une borne supérieure pour des valeurs propres du problème de Steklov sur des sous-domaines à bord $C^1$ d'une variété riemannienne complète, en termes du rapport isopérimétrique du domaine, et du volume conforme minimal. Une modification de notre méthode donne des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs de Schrödinger en termes du volume conforme minimal et de l'intégrale du potentiel. Nous obtenons également les bornes supérieures pour les valeurs propres du laplacien de Bakry-Emery dépendant d'invariants conformes.

Le contexte est la géométrie discrète dans Zn. Il s'agit de décrire les courbes et surfaces discrètes composées de voxels: les définitions usuelles de droites et plans discrets épais se comportent mal quand on passe à des ensembles courbes. Comment garantir un bon comportement topologique, les connexités requises, dans une situation qui généralise les droites et plans discrets?Le calcul de données sur ces courbes, normales, tangentes, courbure, ou des fonctions plus générales, fait appel à des moyennes utilisant des masques. Une question est la pertinence théorique et pratique de ces masques. Une voie explorée, est le calcul de masques fondés sur la marche aléatoire. Une marche aléatoire partant d'un centre donné sur une courbe ou une surface discrète, permet d'affecter à chaque autre voxel un poids, le temps moyen de visite. Ce noyau permet de calculer des moyennes et par là, des dérivées. L'étude du comportement de ce processus de diffusion, a permis de retrouver des outils classiques de géométrie sur des surfaces maillées, et de fournir des estimateurs de tangente et de courbure performants. La diversité du champs d'applications de ce processus de diffusion a été mise en avant, retrouvant ainsi des méthodes classiques mais avec une base théorique identique.} motsclefs{Processus Markovien, Géométrie discrète, Estimateur tangentes, normales, courbure, Noyau de diffusion, Analyse d'images / The context of discrete geometry is in Zn. We propose to discribe discrete curves and surfaces composed of voxels: how to compute classical notions of analysis as tangent and normals ? Computation of data on discrete curves use average mask. A large amount of works proposed to study the pertinence of those masks. We propose to compute an average mask based on random walk. A random walk starting from a point of a curve or a surface, allow to give a weight, the time passed on each point. This kernel allow us to compute average and derivative. The studied of this digital process allow us to recover classical notions of geometry on meshes surfaces, and give accuracy estimator of tangent and curvature. We propose a large field of applications of this approach recovering classical tools using in transversal communauty of discrete geometry, with a same theorical base.

Cette thèse se place dans le cadre du vaste domaine s'intitulant géométrie non commutative, domaine dont l'étude est motivée par l'opinion courante des mathématiciens et physiciens selon laquelle les méthodes de la géométrie non commutative peuvent être utiles pour décrire certains processus dynamiques à l'échelle de Planck. Aussi l'objectif principal de cette thèse est de généraliser quelques modèles dynamiques définis sur l'espace de Minkowski sur son q-analogue. Des tentatives d'introduire des modèles dynamiques qui seraient covariants par rapport à l'action de groupes quantiques ont été entrepris juste après la création de la théorie sur les groupes quantiques par Drinfeld. Les modèles les plus intéressants sont ceux qui sont liés au q-analogue de l'espace de Minkowski. C'est P. Kulish qui définit cette algèbre comme étant un cas particulier d'une algèbre appelée modified Reflection Equation Algebra (mREA) elle-même liée à un opérateur appelé symétrie de Hecke. Nous définissons donc certains modèles dynamiques qui sont des déformations de modèles classiques, l'espace des phases de nos modèles déformés n'est autre alors que notre espace de q-Minkowski. Nous recherchons par la suite des intégrales de mouvement de ces dynamiques, ce qui nous amène à définir des analogues de l'énergie et du vecteur de Runge-Lenz. Nous généralisons pour terminer les équations aux dérivées partielles de la théorie des champs et en particulier l'opérateur de Maxwell.

Dans tout ce qui suit, nous considérons une variété riemannienne compacte de dimension au moins égale à 2. A tout domaine (suffisamment régulier) $\Omega$, on peut associer la première valeur propre $\lambda_\Omega$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous dirons qu'un domaine $\Omega$ est extrémal (sous entendu, pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami) si $\Omega$ est un point critique de la fonctionnelle $\Omega \rightarrow \lambda_\Omega$ sous une contrainte de volume $Vol (\Omega) = c_0$. Autrement dit, $\Omega$ est extrémal si, pour toute famille régulière $\{\Omega_t\}_{t \in (-t_0,t_0)}$ de domaines de volume constant, telle que $\Omega_0 = \Omega$, la dérivée de la fonction $t \rightarrow \lambda_{\Omega_t}$ en $0$ est nulle. Rappelons que les domaines extrémaux sont caractérisés par le fait que la fonction propre, associée à la première valeur propre sur le domaine avec condition de Dirichlet au bord, a une donnée de Neumann constante au bord. Ce résultat a été démontré par A. El Soufi et S. Ilias en 2007. Les domaines extrémaux sont donc des domaines sur lesquels peut être résolu un problème elliptique surdéterminé. L'objectif principal de cette thèse est la construction de domaines extrémaux pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous donnons des résultats d'existence de domaines extrémaux dans le cas de petits volumes ou bien dans le cas de volumes proches du volume de la variété. Nos résultats permettent ainsi de donner de nouveaux exemples non triviaux de domaines extrémaux. Le premier résultat que nous avons obtenu affirme que si une variété admet un point critique non dégénéré de la courbure scalaire, alors pour tout volume petit il existe un domaine extrémal qui peut être construit en perturbant une boule géodésique centrée en ce point critique non dégénéré de la courbure scalaire. La méthode que nous utilisons pour construire ces domaines extrémaux revient à étudier l'opérateur (non linéaire) qui à un domaine associe la donnée de Neumann de la première fonction propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur le domaine. Il s'agit d'un opérateur (hautement non linéaire), nonlocal, elliptique d'ordre 1. Dans $\mathbb R^n \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, le domaine cylindrique $B_r \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, où $B_r$ est la boule de rayon $r >0$ dans $\mathbb{R}^{n}$, est un domaine extrémal. En étudiant le linéarisé de l'opérateur elliptique du premier ordre défini par le problème précédent et en utilisant un résultat de bifurcation, nous avons démontré l'existence de domaines extrémaux nontriviaux dans $\mathbb R^{n}\times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$. Ces nouveaux domaines extrémaux sont proches de domaines cylindriques $B_r \times \mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. S'ils sont invariants par rotation autour de l'axe vertical, ces domaines ne sont plus invariants par translations verticales. Ce deuxième résultat donne un contre-exemple à une conjecture de Berestycki, Caffarelli et Nirenberg énoncée en 1997. Pour de grands volumes la construction de domaines extrémaux est techniquement plus difficile et fait apparaître des phénomènes nouveaux. Dans ce cadre, nous avons dû distinguer deux cas selon que la première fonction propre $\phi_0$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété est constante ou non. Les résultats que nous avons obtenus sont les suivants : $\phi_0$ a des points critiques non dégénérés (donc en particulier n'est pas constante), alors pour tout volume assez proche du volume de la variété, il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de $\phi_0$. Si $\phi_0$ est constante et la variété admet des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire, alors pour tout volume assez proche du volume de la variété il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire.

Les discrétisations adaptatives sont importantes dans les problèmes de fluxcompressible/incompressible puisqu'il est souvent nécessaire de résoudre desdétails sur plusieurs niveaux, en permettant de modéliser de grandes régionsd'espace en utilisant un nombre réduit de degrés de liberté (et en réduisant letemps de calcul).Il existe une grande variété de méthodes de discrétisation adaptative, maisles grilles cartésiennes sont les plus efficaces, grâce à leurs stencilsnumériques simples et précis et à leurs performances parallèles supérieures.Et telles performance et simplicité sont généralement obtenues en appliquant unschéma de différences finies pour la résolution des problèmes, mais cetteapproche de discrétisation ne présente pas, au contraire, un chemin faciled'adaptation.Dans un schéma de volumes finis, en revanche, nous pouvons incorporer différentstypes de maillages, plus appropriées aux raffinements adaptatifs, en augmentantla complexité sur les stencils et en obtenant une plus grande flexibilité.L'opérateur de Laplace est un élément essentiel des équations de Navier-Stokes,un modèle qui gouverne les écoulements de fluides, mais il se produit égalementdans des équations différentielles qui décrivent de nombreux autres phénomènesphysiques, tels que les potentiels électriques et gravitationnels. Il s'agitdonc d'un opérateur différentiel très important, et toutes les études qui ontété effectuées sur celui-ci, prouvent sa pertinence.Dans ce travail seront présentés des approches de différences finies et devolumes finis 2D pour résoudre l'opérateur laplacien, en appliquant des patchsde grilles superposées où un niveau plus fin est nécessaire, en laissant desmaillages plus grossiers dans le reste du domaine de calcul.Ces grilles superposées auront des formes quadrilatérales génériques.Plus précisément, les sujets abordés seront les suivants:1) introduction à la méthode des différences finies, méthode des volumes finis,partitionnement des domaines, approximation de la solution;2) récapitulatif des différents types de maillages pour représenter de façondiscrète la géométrie impliquée dans un problème, avec un focussur la structure de données octree, présentant PABLO et PABLitO. Le premier estune bibliothèque externe utilisée pour gérer la création de chaque grille,l'équilibrage de charge et les communications internes, tandis que la secondeest l'API Python de cette bibliothèque, écrite ad hoc pour le projet en cours;3) la présentation de l'algorithme utilisé pour communiquer les données entreles maillages (en ignorant chacune l'existence de l'autre) en utilisant lesintercommunicateurs MPI et la clarification de l'approche monolithique appliquéeà la construction finale de la matrice pour résoudre le système, en tenantcompte des blocs diagonaux, de restriction et de prolongement;4) la présentation de certains résultats; conclusions, références.Il est important de souligner que tout est fait sous Python comme framework deprogrammation, en utilisant Cython pour l'écriture de PABLitO, MPI4Py pour lescommunications entre grilles, PETSc4py pour les parties assemblage et résolutiondu système d'inconnues, NumPy pour les objets à mémoire continue.Le choix de ce langage de programmation a été fait car Python, facile àapprendre et à comprendre, est aujourd'hui un concurrent significatif pourl'informatique numérique et l'écosystème HPC, grâce à son style épuré, sespackages, ses compilateurs et pourquoi pas ses versions optimisées pour desarchitectures spécifiques. / Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels,allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time).There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due totheir simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances.Such performance and simplicity are in general obtained applying afinite-difference scheme for the resolution of the problems involved, but this discretization approach does not present, by contrast, an easy adapting path.In a finite-volume scheme, instead, we can incorporate different types of grids,more suitable for adaptive refinements, increasing the complexity on thestencils and getting a greater flexibility.The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows, but it occurs also in differential equations that describe many other physical phenomena, such as electric and gravitational potentials, and quantum mechanics. So, it is a very importantdifferential operator, and all the studies carried out on it, prove itsrelevance.In this work will be presented 2D finite-difference and finite-volume approaches to solve the Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where amore fined level is needed, leaving coarser meshes in the rest of the computational domain.These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes.Specifically, the topics covered will be:1) introduction to the finite difference method, finite volume method, domainpartitioning, solution approximation;2) overview of different types of meshes to represent in a discrete way thegeometry involved in a problem, with a focuson the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is anexternal library used to manage each single grid’s creation, load balancing and internal communications, while the second one is the Python API ofthat library written ad hoc for the current project;3) presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (beingall of them unaware of each other’s existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the finalmatrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks;4) presentation of some results; conclusions, references.It is important to underline that everything is done under Python as programmingframework, using Cython for the writing of PABLitO, MPI4Py for the communications between grids, PETSc4py for the assembling and resolution partsof the system of unknowns, NumPy for contiguous memory buffer objects.The choice of this programming language has been made because Python, easy to learn and understand, is today a significant contender for the numerical computing and HPC ecosystem, thanks to its clean style, its packages, its compilers and, why not, its specific architecture optimized versions.

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse. / The main topic of the present thesis is spectral geometry. This area of mathematics is concerned with establishing links between the geometry of a Riemannian manifold and its spectrum. The spectrum of a closed Riemannian manifold M equipped with a Riemannian metric g associated with the Laplace-Beltrami operator is a sequence of non-negative numbers tending to infinity. The square root of any number of this sequence represents a frequency of vibration of the manifold. This thesis consists of four articles all related to various aspects of spectral geometry. The first paper, “Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunction”, is presented in Chapter 1. Nodal geometry of various elliptic operators, such as the Laplace-Beltrami operator, is studied. The goal of this paper is to generalize a result due to L. Polterovich and M. Sodin that gives a bound on the distribution of nodal extrema on a Riemann surface for a large class of functions, including eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator. The proof given by L. Polterovich and M. Sodin is only valid for Riemann surfaces. Therefore, I present a different approach to the problem that works for eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds of arbitrary dimension. The second and the third papers of this thesis are focused on a different elliptic operator, namely the p-Laplacian. This operator has the particularity of being non-linear. The article “Principal frequency of the p-Laplacian and the inradius of Euclidean domains” is presented in Chapter 2. It discusses lower bounds on the first eigenvalue of the Dirichlet eigenvalue problem for the p-Laplace operator in terms of the inner radius of the domain. In particular, I show that if p is greater than the dimension, then it is possible to prove such lower bound without any hypothesis on the topology of the domain. Such bounds have previously been studied by well-known mathematicians, such as W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos, and T. Carroll. Their papers are mostly oriented toward the case of the usual Laplace operator. The generalization of such lower bounds for the p-Laplacian is done in my third paper, “Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian”. It is presented in Chapter 3. My fourth paper, “Wolf-Keller theorem of Neumann Eigenvalues”, is a joint work with Guillaume Roy-Fortin. This paper is concerned with the shape optimization problem in the case of the Laplace operator with Neumann boundary conditions. The main result of our paper is that eigenvalues of the Neumann boundary problem are not always maximized by disks among planar domains of given area. This joint work is presented in Chapter 4.

Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique et simulations numériques des écoulements sanguins dans des artères en présence d’une endoprothèse vasculaire de type stent. La présence de stent peut être considérée comme une perturbation locale d’un bord lisse d’écoulement, plus précisément les parois de l’artère sont assimilées à une surface fortement rugueuse. Nous nous sommes principalement intéressés au contrôle de la régularité H² sur un modèle simplifié permettant de prendre en compte l’effet de ces stents lorsque le flux sanguin est gouverné par une équation de Laplace (en lien avec la composante axiale de la vitesse d’écoulement) avec une condition aux limites de type Dirichlet, dans un domaine à bord rugueux (en fonction d’un petit paramètre ε). Dans une première partie, nous soulevons la question d’existence et d’unicité de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin et nous traitons la régularité H² par des techniques d’analyse variationnelle. Une étude minutieuse permet de contrôler la régularité H² en O(ε−1). Le deuxième axe est dédié à l’étude de la régularité H² par des analyse asymptotiques multiéchelles. Nous montrons que la norme H² de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin est singulière en O(ε−½ ). D’autre part, nous améliorons les ordres de convergence des résultats existants concernant la construction des approximations multiéchelles. Dans un troisième temps, nous présentons des estimations d’erreur et des résultats numériques. Ces résultats illustrent le bien fondé des estimations d’erreur sur le plan pratique. Nous montrons bien l’importance des méthodes asymptotiques qui se révèlent plus efficaces qu’un calcul direct. / This thesis is devoted to mathematical modeling and numerical simulations of the blood-flows in arteries in the presence of a vascular prosthesis of type stent. The presence of stent can be considered as a local perturbation of a smooth edge of flow, more precisely the walls artery can be seen as a strongly rough surface.Weare mainly interested in controlling the H² regularity of a simplified model which takes into account the impact of these stents when the blood flow is controlled by a Laplace equation (in link with the axial component rateof flow) with a Dirichlet boundary condition, in a domain with a rough board (according to a small parameter ε). First, we raise the question of existence and unicity of the solution of this model of blood-flow and we study the H² regularity using variational analysis methods. By a detailed study, we control the H² regularity of order O(ε−1). The second part is devoted to the study of the regularity H² regularity using multi-scale analysis.We prove that the H² norm of the solution of this model is singular of order O(ε−½). Moreover, we improve the convergence rate of the existing results on the construction of the multi-scale approximation. Finally, we present an error estimation and numerical results. These numerical results illustrate the well-founded of the error estimates on a practical level. We show the importance of the asymptotic methods that seem to be more effective than a direct computation.

Dans tout ce qui suit, nous considérons une variété riemannienne compacte de dimension au moins égale à 2. A tout domaine (suffisamment régulier) , on peut associer la première valeur propre ?Ù de l’opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous dirons qu’un domaine est extrémal (sous entendu, pour la première valeur propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami) si est un point critique de la fonctionnelle Ù? ?O sous une contrainte de volume V ol(Ù) = c0. Autrement dit, est extrémal si, pour toute famille régulière {Ot}te (-t0,t0) de domaines de volume constant, telle que Ù 0 = Ù, la dérivée de la fonction t ? ?Ot en 0 est nulle. Rappelons que les domaines extrémaux sont caractérisés par le fait que la fonction propre, associée à la première valeur propre sur le domaine avec condition de Dirichlet au bord, a une donnée de Neumann constante au bord. Ce résultat a été démontré par A. El Soufi et S. Ilias en 2007. Les domaines extrémaux sont donc des domaines sur lesquels peut être résolu un problème elliptique surdéterminé. L’objectif principal de cette thèse est la construction de domaines extrémaux pour la première valeur propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous donnons des résultats d’existence de domaines extrémaux dans le cas de petits volumes ou bien dans le cas de volumes proches du volume de la variété. Nos résultats permettent ainsi de donner de nouveaux exemples non triviaux de domaines extrémaux. Le premier résultat que nous avons obtenu affirme que si une variété admet un point critique non dégénéré de la courbure scalaire, alors pour tout volume petit il existe un domaine extrémal qui peut être construit en perturbant une boule géodésique centrée en ce point critique non dégénéré de la courbure scalaire. La méthode que nous utilisons pour construire ces domaines extrémaux revient à étudier l’opérateur (non linéaire) qui à un domaine associe la donnée de Neumann de la première fonction propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur le domaine. Il s’agit d’un opérateur (hautement non linéaire), nonlocal, elliptique d’ordre 1. Dans Rn × R/Z, le domaine cylindrique Br × R/Z, o`u Br est la boule de rayon r > 0 dans Rn, est un domaine extrémal. En étudiant le linéarisé de l’opérateur elliptique du premier ordre défini par le problème précédent et en utilisant un résultat de bifurcation, nous avons démontré l’existence de domaines extrémaux nontriviaux dans Rn × R/Z. Ces nouveaux domaines extrémaux sont proches de domaines cylindriques Br × R/Z. S’ils sont invariants par rotation autour de l’axe vertical, ces domaines ne sont plus invariants par translations verticales. Ce deuxi`eme r´esultat donne un contre-exemple à une conjecture de Berestycki, Caffarelli et Nirenberg énoncée en 1997. Pour de grands volumes la construction de domaines extrémaux est techniquement plus difficile et fait apparaître des phénomènes nouveaux. Dans ce cadre, nous avons dû distinguer deux cas selon que la première fonction propre Ø0 de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété est constante ou non. Les résultats que nous avons obtenus sont les suivants : 1. Si Ø0 a des points critiques non dégénérés (donc en particulier n’est pas constante), alors pour tout volume assez proche du volume de la variété, il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d’une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de Ø0. 2. Si Ø0 est constante et la variété admet des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire, alors pour tout volume assez proche du volume de la variété il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d’une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire / In what follows, we will consider a compact Riemannian manifold whose dimension is at least 2. Let Ù be a (smooth enough) domain and ?O the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on Ù with 0 Dirichlet boundary condition. We say that Ù is extremal (for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator) if is a critical point for the functional Ù? ?O with respect to variations of the domain which preserve its volume. In other words, Ù is extremal if, for all smooth family of domains { Ù t}te(-t0,t0) whose volume is equal to a constant c0, and Ù 0 = Ù, the derivative of the function t ? ?Ot computed at t = 0 is equal to 0. We recall that an extremal domain is characterized by the fact that the eigenfunction associated to the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator over the domain with 0 Dirichlet boundary condition, has constant Neumann data at the boundary. This result has been proved by A. El Soufi and S. Ilias in 2007. Extremal domains are then domains over which can be solved an elliptic overdeterminated problem. The main aim of this thesis is the construction of extremal domains for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator with 0 Dirichlet boundary condition. We give some existence results of extremal domains in the cases of small volume or volume closed to the volume of the manifold. Our results allow also to construct some new nontrivial exemples of extremal domains. The first result we obtained states that if the manifold has a nondegenerate critical point of the scalar curvature, then, given a fixed volume small enough, there exists an extremal domain that can be constructed by perturbation of a geodesic ball centered in that nondegenerated critical point of the scalar curvature. The methode used is based on the study of the operator that to a given domain associes the Neumann data of the first eigenfunction of the Laplace-Beltrami operator over the domain. It is a highly nonlinear, non local, elliptic first order operator. In Rn × R/Z, the circular-cylinder-type domain Br × R/Z, where Br is the ball of radius r > 0 in Rn, is an extremal domain. By studying the linearized of the elliptic first order operator defined in the previous problem, and using some bifurcation results, we prove the existence of nontrivial extremal domains in Rn × R/Z. Such extremal domains are closed to the circular-cylinder-type domains Br × R/Z. If they are invariant by rotation with respect to the vertical axe, they are not invariant by vertical translations. This second result gives a counterexemple to a conjecture of Berestycki, Caffarelli and Nirenberg stated in 1997. For big volumes the construction of extremal domains is technically more difficult and shows some new phenomena. In this context, we had to distinguish two cases, according to the fact that the first eigenfunction Ø0 of the Laplace-Beltrami operator over the manifold is constant or not. The results obtained are the following : 1. If Ø0 has a nondegenerated critical point (in particular it is not constant), then, given a fixed volume closed to the volume of the manifold, there exists an extremal domain obtained by perturbation of the complement of a geodesic ball centered in a nondegenerated critical point of Ø0. 2. If Ø0 is constant and the manifold has some nondegenerate critical points of the scalar curvature, then, for a given fixed volume closed to the volume of the manifold, there exists an extremal domain obtained by perturbation of the complement of a geodesic ball centered in a nondegenerate critical point of the scalar curvature