In this thesis, a variety of Fokker--Planck (FP) optimal control problems are investigated. Main emphasis is put on a first-- and second--order analysis of different optimal control problems, characterizing optimal controls, establishing regularity results for optimal controls, and providing a numerical analysis for a Galerkin--based numerical scheme. The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) of linear parabolic type deeply connected to the theory of stochastic processes and stochastic differential equations. In essence, it describes the evolution over time of the probability distribution of the state of an object or system of objects under the influence of both deterministic and stochastic forces. The FP equation is a cornerstone in understanding and modeling phenomena ranging from the diffusion and motion of molecules in a fluid to the fluctuations in financial markets. Two different types of optimal control problems are analyzed in this thesis. On the one hand, Fokker--Planck ensemble optimal control problems are considered that have a wide range of applications in controlling a system of multiple non--interacting objects. In this framework, the goal is to collectively drive each object into a desired state. On the other hand, tracking--type control problems are investigated, commonly used in parameter identification problems or stemming from the field of inverse problems. In this framework, the aim is to determine certain parameters or functions of the FP equation, such that the resulting probability distribution function takes a desired form, possibly observed by measurements. In both cases, we consider FP models where the control functions are part of the drift, arising only from the deterministic forces of the system. Therefore, the FP optimal control problem has a bilinear control structure. Box constraints on the controls may be present, and the focus is on time--space dependent controls for ensemble--type problems and on only time--dependent controls for tracking--type optimal control problems. In the first chapter of the thesis, a proof of the connection between the FP equation and stochastic differential equations is provided. Additionally, stochastic optimal control problems, aiming to minimize an expected cost value, are introduced, and the corresponding formulation within a deterministic FP control framework is established. For the analysis of this PDE--constrained optimal control problem, the existence, and regularity of solutions to the FP problem are investigated. New $L^\infty$--estimates for solutions are established for low space dimensions under mild assumptions on the drift. Furthermore, based on the theory of Bessel potential spaces, new smoothness properties are derived for solutions to the FP problem in the case of only time--dependent controls. Due to these properties, the control--to--state map, which associates the control functions with the corresponding solution of the FP problem, is well--defined, Fréchet differentiable and compact for suitable Lebesgue spaces or Sobolev spaces. The existence of optimal controls is proven under various assumptions on the space of admissible controls and objective functionals. First--order optimality conditions are derived using the adjoint system. The resulting characterization of optimal controls is exploited to achieve higher regularity of optimal controls, as well as their state and co--state functions. Since the FP optimal control problem is non--convex due to its bilinear structure, a first--order analysis should be complemented by a second--order analysis. Therefore, a second--order analysis for the ensemble--type control problem in the case of $H^1$--controls in time and space is performed, and sufficient second--order conditions are provided. Analogous results are obtained for the tracking--type problem for only time--dependent controls. The developed theory on the control problem and the first-- and second--order optimality conditions is applied to perform a numerical analysis for a Galerkin discretization of the FP optimal control problem. The main focus is on tracking-type problems with only time--dependent controls. The idea of the presented Galerkin scheme is to first approximate the PDE--constrained optimization problem by a system of ODE--constrained optimization problems. Then, conditions on the problem are presented such that the convergence of optimal controls from one problem to the other can be guaranteed. For this purpose, a class of bilinear ODE--constrained optimal control problems arising from the Galerkin discretization of the FP problem is analyzed. First-- and second--order optimality conditions are established, and a numerical analysis is performed. A discretization with linear finite elements for the state and co--state problem is investigated, while the control functions are approximated by piecewise constant or piecewise quadratic continuous polynomials. The latter choice is motivated by the bilinear structure of the optimal control problem, allowing to overcome the discrepancies between a discretize--then--optimize and optimize--then--discretize approach. Moreover, second--order accuracy results are shown using the space of continuous, piecewise quadratic polynomials as the discrete space of controls. Lastly, the theoretical results and the second--order convergence rates are numerically verified. / In dieser Dissertation werden verschiedene Fokker--Planck (FP) optimale Steuerungsprobleme untersucht. Die Schwerpunkte liegen auf einer Analyse von Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung, der Charakterisierung optimaler Steuerungen, dem Herleiten höhere Regularität von optimalen Kontrollen sowie einer theoretischen numerischen Analyse für ein numerisches Verfahren basierend auf einer Galerkin Approximation. Die Fokker--Planck Gleichung ist eine lineare, parabolische, partielle Differentialgleichung (PDE), die aus dem Gebiet stochastischer Differentialgleichungen und stochastischer Prozesse stammt. Im Wesentlichen beschreibt sie die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zustands eines Objekts bzw. eines Systems von Objekten unter dem Einfluss sowohl deterministischer als auch stochastischer Kräfte. Die Fokker--Planck Gleichung ist ein Eckpfeiler zum Verständnis und Modellieren von Phänomenen, die von der Diffusion und Bewegung von Molekülen in einer Flüssigkeit bis hin zu den Schwankungen in Finanzmärkten reichen. Zwei verschiedene Arten von optimalen Kontrollproblemen werden in dieser Arbeit umfassend analysiert. Einerseits werden Fokker--Planck Ensemble Steuerungsprobleme betrachtet, die in der Kontrolle von Systemen mit mehreren nicht wechselwirkenden Objekten vielfältige Anwendungen haben. In diesem Gebiet ist das Ziel, alle Objekte gemeinsam in einen gewünschten Zustand zu lenken. Andererseits werden Tracking Kontrollprobleme untersucht, die häufig bei Parameteridentifikationsproblemen auftreten oder aus dem Bereich inverser Probleme stammen. Hier besteht das Ziel darin, bestimmte Parameter oder Funktionen der Fokker--Planck Gleichung derart zu bestimmen, dass die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung eine gewünschte Form annimmt, welche beispielsweise durch Messungen beobachtet wurde. In beiden Fällen betrachten wir FP Modelle, bei denen die Kontrollfunktion Teil des sogenannten Drifts ist, das heißt der Teil, der nur aus den deterministischen Kräften des Systems resultiert. Daher hat das FP Kontrollproblem eine bilineare Struktur. Untere und obere Schranken für die Kontrollfunktionen können vorhanden sein, und der Fokus liegt auf zeit-- und raumabhängigen Steuerungen für Ensemble Kontrollprobleme, sowie auf nur zeitlich abhängigen Steuerungen für Tracking Kontrollprobleme. Am Anfang der Dissertation wird ein Beweis für den Zusammenhang zwischen der FP Gleichung und stochastischen Differentialgleichungen dargelegt. Darüber hinaus werden stochastische optimale Steuerungsprobleme eingeführt, deren Ziel es ist, einen erwarteten Kostenwert zu minimieren. Zusätzlich wird das Problem als ein deterministisches FP Kontrollproblem formuliert. Für die Analyse dieses Kontrollproblems wird die Existenz und Regularität von Lösungen für die FP Differentialgleichung untersucht. Neue $L^\infty$--Abschätzungen für Lösungen werden für niedrige Raumdimensionen unter schwachen Annahmen an den Drift bewiesen. Zusätzlich werden, basierend auf der Theorie über Bessel Potentialräume, neue Glattheitseigenschaften für Lösungen des FP--Problems im Falle zeitabhängiger Steuerungen erarbeitet. Aufgrund dieser Eigenschaften ist die sogenannte control--to--state Abbildung, welche die Kontrollfunktion mit der entsprechenden Lösung des FP Problems verknüpft, wohldefiniert, Fréchet--differenzierbar und kompakt für geeignete Lebesgue--Räume oder Sobolev--Räume. Die Existenz optimaler Steuerungen wird unter verschiedenen Annahmen an den Funktionenraum der Kontrollen und des Kostenfunktionals bewiesen. Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden unter Verwendung des adjungierten Systems aufgestellt. Die daraus resultierende Charakterisierung optimaler Steuerungen wird genutzt, um eine höhere Regularität optimaler Steuerungen sowie ihrer Zustandsfunktion und des adjungierten Problems zu erhalten. Da das FP Kontrollproblem aufgrund der bilinearen Struktur nicht konvex ist, sollte eine Analyse von Optimalitätsbedingungen erster Ordnung durch eine Analyse von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung ergänzt werden. Dies wird für das Ensemble Kontrollproblem im Fall von zeit-- und ortsabhängigen Steuerungen mit $H^1$--Regularität durchgeführt, und hinreichende Bedingungen für lokale Minimierer werden hergeleitet. Analoge Ergebnisse werden für das Tracking--Problem für nur zeitabhängige Steuerungen bewiesen. Die entwickelte Theorie zu diesem optimalen Steuerungsproblem und dessen Optimalitätsbedingungen wird angewendet, um eine numerische Analyse für eine Galerkin--Diskretisierung des FP Kontrollproblems durchzuführen. Der Schwerpunkt liegt auf Tracking--Problemen mit nur zeitabhängigen Steuerungen. Die Idee des vorgestellten Galerkin--Verfahrens besteht darin, das PDE--Optimierungsproblem zunächst durch ein System von Optimierungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) als Nebenbedingung zu approximieren. Dann werden Bedingungen an das Problem präsentiert, sodass die Konvergenz optimaler Steuerungen von einem Problem zum anderen garantiert werden kann. Zu diesem Zweck wird eine Klasse bilinearer ODE--Kontrollprobleme analysiert, welche sich aus der Galerkin--Diskretisierung des FP Problems ergeben. Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung werden bewiesen, und eine numerische Analyse wird durchgeführt. Eine Diskretisierung mit linearen Finiten--Elementen der Zustands-- und Adjungiertengleichung wird untersucht, während die Kontrollfunktionen durch stückweise konstante oder stetige, stückweise quadratische Polynome approximiert werden. Diese Wahl wird durch die bilineare Struktur des optimalen Kontrollproblems begründet, da sie es ermöglicht, die Diskrepanzen zwischen einem Ansatz von ,,zuerst diskretisieren dann optimieren" und ,,zuerst optimieren, dann diskretisieren" zu überwinden. Durch die Verwendung stetiger, stückweise quadratischer Polynome als Diskretisierung der Steuerungen kann außerdem quadratische Konvergenzordnung gezeigt werden. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse und die Konvergenzraten zweiter Ordnung numerisch verifiziert.

In the dissertation the solution approaches for different fuzzy optimization problems are presented. The single-level optimization problem with fuzzy objective is solved by its reformulation into a biobjective optimization problem. A special attention is given to the computation of the membership function of the fuzzy solution of the fuzzy optimization problem in the linear case. Necessary and sufficient optimality conditions of the the convex nonlinear fuzzy optimization problem are derived in differentiable and nondifferentiable cases. A fuzzy optimization problem with both fuzzy objectives and constraints is also investigated in the thesis in the linear case. These solution approaches are applied to fuzzy bilevel optimization problems. In the case of bilevel optimization problem with fuzzy objective functions, two algorithms are presented and compared using an illustrative example. For the case of fuzzy linear bilevel optimization problem with both fuzzy objectives and constraints k-th best algorithm is adopted.

In the dissertation the solution approaches for different fuzzy optimization problems are presented. The single-level optimization problem with fuzzy objective is solved by its reformulation into a biobjective optimization problem. A special attention is given to the computation of the membership function of the fuzzy solution of the fuzzy optimization problem in the linear case. Necessary and sufficient optimality conditions of the the convex nonlinear fuzzy optimization problem are derived in differentiable and nondifferentiable cases. A fuzzy optimization problem with both fuzzy objectives and constraints is also investigated in the thesis in the linear case. These solution approaches are applied to fuzzy bilevel optimization problems. In the case of bilevel optimization problem with fuzzy objective functions, two algorithms are presented and compared using an illustrative example. For the case of fuzzy linear bilevel optimization problem with both fuzzy objectives and constraints k-th best algorithm is adopted.:1 Introduction 1 1.1 Why optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Fuzziness as a concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2 1.3 Bilevel problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Preliminaries 11 2.1 Fuzzy sets and fuzzy numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Fuzzy order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Fuzzy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 3 Optimization problem with fuzzy objective 19 3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Solution method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Local optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Existence of an optimal solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Linear optimization with fuzzy objective 27 4.1 Main approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4 Membership function value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4.1 Special case of triangular fuzzy numbers . . . . . . . . . . . . 36 4.4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 5 Optimality conditions 47 5.1 Differentiable fuzzy optimization problem . . . . . . . . . . .. . . . 48 5.1.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.1.2 Necessary optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49 5.1.3 Suffcient optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Nondifferentiable fuzzy optimization problem . . . . . . . . . . . . 51 5.2.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.2 Necessary optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.3 Suffcient optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6 Fuzzy linear optimization problem over fuzzy polytope 59 6.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2 The fuzzy polytope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 6.3 Formulation and solution method . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 65 6.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7 Bilevel optimization with fuzzy objectives 73 7.1 General formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.2 Solution approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 7.3 Yager index approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.4 Algorithm I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.5 Membership function approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 7.6 Algorithm II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 7.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8 Linear fuzzy bilevel optimization (with fuzzy objectives and constraints) 87 8.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.2 Solution approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9 Conclusions 95 Bibliography 97