Dans ce travail, nous construisons et étudions des familles de polynômes orthogonaux généralisés définis dans l'espace des matrices hermitiennes qui sont associées à une famille de polynômes orthogonaux sur R. Nous considérons plusieurs normalisations pour ces polynômes, et obtenons des formules classiques à partir des formules correspondantes pour des polynômes définis sur R. Nous construisons également des semi-groupes d'opérateurs associés aux polynômes orthogonaux généralisés, et donnons l'expression du générateur infinitésimal de ce semi-groupe ; nous prouvons que ce semi-groupe est markovien dans les cas classiques. En ce qui concerne les expansions d-dimensionnelles de Jacobi nous étudions les notions d'intégrale fractionnelle (potentiel de Riesz), de potentiel de Bessel et de dérivées fractionnelles. Nous donnons une nouvelle décomposition de l'espace L2 associé à la mesure de Jacobi d-dimensionnelle, et obtenons un analogue du théorème du multiplicateur de Meyer dans ce cadre. Nous étudions aussi les espaces de Jacobi-Sobolev.

Thèse de doctorat : Automatique et traitement du signal : INPL : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr.

Les polynômes orthogonaux sont introduits par la théorie de Sturm-Liouville, puis les équivalences existantes entre leurs définitions classiques sont montrées. Certains résultats de base de la théorie sont ensuite décortiqués. On termine en introduisant des résultats préliminaires de la théorie analytique des polynômes, qui étudie les liens entre les coefficients d'un polynôme, ses zéros et ses points critiques.

Reproduction de : Habilitation à diriger des recherches : Sciences mathématiques : Lille 1 : 2006. / N° d'ordre (Lille 1) : 532. Résumé. Titre provenant de la page de titre du document numérisé. Bibliogr. p. 101-107. Liste des publications.

On étudie dans cette thèse les espaces de modules de fibrés orthogonaux sur une courbe algébrique lisse.<br />On montre dans un premier temps que le morphisme d'oubli associant à un fibré orthogonal le fibré vectoriel sous-jacent est une immersion fermée : ce résultat repose sur un calcul d'invariants sur les espaces de représentations de certains carquois.<br />On présente ensuite, pour les fibrés orthogonaux de rang 3 et 4, des résultats plus concrets sur la géométrie de ces espaces, en accordant une attention particulière à l'application thêta.

Le but de ce travail est de construire et d'étudier des catégories de foncteurs associées aux espaces vectoriels munis de formes quadratiques non dégénérées sur F_2. Après avoir construit la catégorie de foncteurs Fquad, en utilisant des techniques similaires à celles utilisées pour les foncteurs de Mackey, on obtient plusieurs résultats concernant les objets simples de cette catégorie. <br /><br />On montre l'existence d'un foncteur, noté i, de F dans Fquad exact, fidèle et préservant les simples, où F est la catégorie des foncteurs entre la catégorie des espaces vectoriels finis sur F_2 et la catégorie de tous les espaces vectoriels.<br /><br />On introduit une autre catégorie de foncteurs, notée Fiso, dont les objets simples sont indexés par les représentations modulaires irréductibles des groupes orthogonaux, éventuellement dégénérés, sur F_2 et on montre l'existence d'un foncteur, noté k, de Fiso dans Fquad exact, fidèle et préservant les simples.<br /><br />En décomposant les deux générateurs projectifs les plus simples de la catégorie Fquad on obtient une classification des ``petits'' objets simples de Fquad qui nous permet de montrer que les foncteurs polynomiaux de Fquad sont dans l'image du foncteur i. De nouveaux foncteurs de Fquad, baptisés foncteurs mixtes, apparaissent dans la décomposition de ces deux générateurs projectifs et fournissent deux familles infinies de foncteurs simples de Fquad ne provenant ni de F, ni de Fiso.

Je définis tout d'abord les polynômes vectoriels orthogonaux relativement à une matrice r x s de mesures ou de poids et je rappelle les propriétés habituelles : la récurrence à r+s+1 termes, le théorème de Shohat-Favard ou l'égalité de Christoffel-Darboux. Ces polynômes permettent, par l'utilisation d'approximants de Padé, de caractériser l'ensemble résolvant de l'opérateur aux différences associé aux récurrences. Cette caractérisation a déjà été donnée par Duren mais la démonstration utilisée ici est novatrice. Je définis ensuite des fonctions homographiques sur l'ensemble des matrices $r\times s$. J'uniformise ainsi tous les cas connus de fractions continues: scalaire, vectoriel ou matriciel. Elles permettent aussi de démontrer un théorème d'accélération de convergence de fractions continues matricielles, généralisation d'un théorème similaire pour les fractions généralisées donné par de Bruin et Jacobsen. J'utilise alors les polynômes vectoriels pour calculer les coefficients de récurrence d'autres polynômes par l'algorithme de Chebyshev modifié vectoriel, généralisation du cas scalaire pour lequel nous démontrons des critères de stabilité. Finalement, l'algorithme de Chebyshev modifié est utilisé pour étudier l'évolution temporelle du système dynamique semi-infini de Toda-Langmuir. Dans ce système, les particules sont sur le semi-axe réel et elles interagissent suivant une loi exponentielle décroissante. L'approche utilisée pour résoudre le problème est, encore une fois, innovante. En effet, j'étudie seulement les n premières particules et je m'intéresse à l'erreur commise sur l'évolution lorsque l'on tronque le système à N>>n quantités c'est-à-dire que l'on travaille avec un système fini. Je présente l'étude théorique de l'erreur, où je réutilise nos résultats sur la stabilité de l'algorithme de Chebyshev modifié, ainsi que des exemples numériques.

La relation scalaire entre contrainte et déformation obtenue par le cisaillement simple dans les rhéomètres classiques n'est pas assez riche pour décrire les écoulements complexes. Pour obtenir plus d'information, nous superposons deux écoulements orthogonaux en utilisant la géométrie plan-plan. Le fluide, sous forme cylindrique, peut alors être cisaillé par la rotation mais aussi écrasé par le rapprochement (ou étiré par l'éloignement) des disques. Nous détaillons les calculs théoriques permettant de déterminer les liens entre contraintes et taux de cisaillement et les efforts et vitesses macroscopiques associés. Ensuite, nous décrivons précisément le dispositif expérimental mis en place pour imposer toutes sortes d'écoulements combinant des cisaillements stationnaires ou oscillants, en rotation ou en écrasement. Puis nous présentons les résultats de la comparaison entre l'écoulement de rotation et l'écoulement d'écrasement. Nous présentons enfin les expériences de superposition des deux écoulements. Nous créons des écoulements complexes et divers afin, entre autres, de mesurer et comprendre la loi d'écoulement 3D et le critère d'écoulement 3D des fluides à seuil

La compression des signaux ECG trouve encore plus d'importance avec le développement de la télémédecine. En effet, la compression permet de réduire considérablement les coûts de la transmission des informations médicales à travers les canaux de télécommunication. Notre objectif dans ce travail de thèse est d'élaborer des nouvelles méthodes de compression des signaux ECG à base des polynômes orthogonaux. Pour commencer, nous avons étudié les caractéristiques des signaux ECG, ainsi que différentes opérations de traitements souvent appliquées à ce signal. Nous avons aussi décrit de façon exhaustive et comparative, les algorithmes existants de compression des signaux ECG, en insistant sur ceux à base des approximations et interpolations polynomiales. Nous avons abordé par la suite, les fondements théoriques des polynômes orthogonaux, en étudiant successivement leur nature mathématique, les nombreuses et intéressantes propriétés qu'ils disposent et aussi les caractéristiques de quelques uns de ces polynômes. La modélisation polynomiale du signal ECG consiste d'abord à segmenter ce signal en cycles cardiaques après détection des complexes QRS, ensuite, on devra décomposer dans des bases polynomiales, les fenêtres de signaux obtenues après la segmentation. Les coefficients produits par la décomposition sont utilisés pour synthétiser les segments de signaux dans la phase de reconstruction. La compression revient à utiliser un petit nombre de coefficients pour représenter un segment de signal constitué d'un grand nombre d'échantillons. Nos expérimentations ont établi que les polynômes de Laguerre et les polynômes d'Hermite ne conduisaient pas à une bonne reconstruction du signal ECG. Par contre, les polynômes de Legendre et les polynômes de Tchebychev ont donné des résultats intéressants. En conséquence, nous concevons notre premier algorithme de compression de l'ECG en utilisant les polynômes de Jacobi. Lorsqu'on optimise cet algorithme en supprimant les effets de bords, il dévient universel et n'est plus dédié à la compression des seuls signaux ECG. Bien qu'individuellement, ni les polynômes de Laguerre, ni les fonctions d'Hermite ne permettent une bonne modélisation des segments du signal ECG, nous avons imaginé l'association des deux systèmes de fonctions pour représenter un cycle cardiaque. Le segment de l'ECG correspondant à un cycle cardiaque est scindé en deux parties dans ce cas: la ligne isoélectrique qu'on décompose en séries de polynômes de Laguerre et les ondes P-QRS-T modélisées par les fonctions d'Hermite. On obtient un second algorithme de compression des signaux ECG robuste et performant.

La biologie structurale est la branche de la biologie qui étudie la structure et l'organisation spatiale des macromolécules.La biologie structurale concerne en particulier la détermination à l'échelle atomiquede la structure 3D, aux changement de conformation des macromolécules, et à la dynamique de ces structures.De nos jours, les techniques expérimentales modernes telles que la résonance magnétique nucléaire, la cristallographie aux rayons X et plus récemmentla microscopie cryoélectronique peuvent produire des cartes de densité à haute résolution, qui combinées aux informations sur la séquence d'une moléculepermettent aux biologistes de résoudre les structures 3D de la molécule à l'étude.Cependant, dans certains cas, la résolution des cartes de densité n'est pas suffisante.Dans un tel cas, on alignegénéralement des sous-unités individuelles, obtenues à haute résolution, dans la carte de densité de base résolution.Mentionnons qu'il est également également possible de déterminer la structure 3D d'un assemblage biologique en ancrant plusieurs sous-unités ensemble.C'est cependant un problème beaucoup plus difficile.Ces problèmes d'amarrage et d'alignement peuvent être formulés comme un problème d'optimisation dont la fonction de coût est écrite comme la corrélation croisée de deux autres fonctions.Les algorithmes d'ancrage originaux ont été formulés comme des problèmes de "clé et verrou", dans lesquels les protéines étaient considérées comme des corps rigides.Il est cependant naïf de considérer les macromolécules comme des corps rigides. Les protéines sont flexibles et peuventsubir de grands changements conformationnels lors de la liaison à d'autres molécules. Considérer les problèmes d'ancrage comme des problèmes de"clé et verrou" n'est donc pas suffisant.Une méthode d'ancrage flexible standard utilise donc l'approche "aligner puis affiner", qui, dans certains cas, peut omettre de bonnes conformations.Cette thèse se concentre sur deux axes principaux.Le premier axe est le développement d'une nouvelle méthode qui échantillonne de manière exhaustive les mouvements de corps rigides et les mouvements collectifs, calculés par analyse en modes propres (AMP).Nous présentons d'abord une méthode qui utilise la transformée de Fourier rapide pour échantillonner une approximation quadratique de la fonction coût. Ensuite, la méthode effectuela recherche flexible en maximisant l'approximation quadratique de la fonction de coût dans un certain domaine de recherche. Cette méthode garantit de trouver la meilleure conformation flexible.Nous présentons ensuite une version en itterative de notre algorithme, qui trouve les mouvements collectifs qui maximisent le score d'amarrage par rapport aux degrés de liberté (DDLs) du corps rigide.La méthode échantillonne de manière exhaustive à la fois les mouvements de corps rigides et les mouvements collectifs en maximisant le maximum lisse selon les DDls correspondant aux transformations rigides de la fonction coût.Les deux méthodes ont été appliquées à des problèmes d'alignement sur des exemples réels et artificiels.De plus, nous présentons un exemple dans lequel l'approche "aligner puis raffiner" n'est pas capable de trouver la bonne conformation tandis quenotre méthode peut trouver ladite conformation.Le deuxième axe est le développement d'une nouvelle extrapolation des mouvements calculés par l'AMP.Nous montrons qu'il est possible, avec des calculs minimaux, d'extrapoler les mouvements instantanés calculés par l'AMP dans le sous espaces des rotations-traslations des blocs (RTB) comme une rotationpresque pure autour d'un certain axe.Nous avons appliqué cette méthode appelée NOLB sur différents systèmes biologiques et avons pu, d'une part, récupérer des mouvements biologiquement pertinents et d'autre part démontrer que la méthode NOLB génère des structures avec une meilleure topologie qu'une méthode d'AMP linéaire. / Structural biology is a branch of molecular biology, biochemistry, and biophysics concerned with the molecular structure of macromolecules, how they acquire the structures they have,and how alterations in their structures affect their function.These molecules are a topic of interest because they serve to keep the cellsalive and functioning.Nowadays, modern experimental techniques, such as nuclear magnetic resonance (NMR), X-ray crystallography and more recently cryo-electron microscopy (cryo-EM) canproduce high resolution density maps, which combined with the information about the sequence of a molecule allows biologists to solve thethree-dimensional (3D) structures of the molecule under study. However, when studding large biological assemblies, experimental techniques are notalways able to generate density maps with a high enough resolution. In such a case, one typically fits individual sub-units, which weresolved using at a higher resolution, into the lower-resolution density map.Let us also mention that it is also possible determine the 3D structure of a biological assembly by docking several sub-units together.This is a much more difficult problem though.These docking and fitting problems can be reformulated as an optimization problem whose cost function can be written as the cross-correlation of two functions.The first fitting and docking algorithms were formulated as "lock and key" problems, in which the proteins were considered as rigid body.However, considering macromolecules, especially proteins, as rigid bodies is not realistic.Proteins are indeed flexible and can undergo large conformational changesupon binding to other molecules.Considering docking and fitting problems as "lock and key" problems is therefore not sufficient.Therefore, a standard flexible docking/fitting method first uses a six-dimensional (6D) rigid body docking/fitting algorithm and then flexibly relaxes the top docking/fitting poses.This approach will be thus refereed to as to the fit then refine approach.However, in some cases, such an approach can miss good conformations.This thesis focuses on two main axes.The first axis is the development of a new method that exhaustively samples both rigid-body and collective motions computed via normal mode analysis (NMA).We first present a method that combines the advantages of the Fourier transform (FFT)-based exhaustive search, which samples all the conformations of a system under study on a grid, with a local optimization technique thatguarantees to find the nearest optimal off-grid and flexible conformation.The algorithm first samples a quadratic approximation of a scoring function on a 6D grid. Then, the method performs the flexible search by maximizing the quadratic approximation of the cost functionwithin a certain search space.We then present a multi-step version of our algorithm, which finds the collective motions that maximize the docking score with respect to the rigid-body degrees of freedom (DOFs).The method exhaustively samples both rigid-body and collective motions by maximizing the soft maximum over the rigid body DOFs of the docking/fitting cost function.Both methods were applied to docking problems on both real and artificial example and we were able to design a benchmark in which the fit then refine approach fails at finding the correct conformation whileour method succeeds.The second axis is the development of a new extrapolation of motions computed by NMA.We show that it is possible, with minimal computations, to extrapolate the instantaneous motions computed by NMA in the the rotations-translations of blocks (RTB) subspace as an almost pure rotation around a certain axis.We applied this non-linear block (NOLB) method on various biological systems and were able to, firstly, retrieve biologically relevant motions andsecondly, to demonstrate that the NOLB method generates structures with a better topology than a linear NMA method.