Cette thèse regroupe plusieurs travaux de combinatoire énumérative sur les permutations et permutations d'ensemble. Elle comporte 4 parties.Dans la première partie, nous répondons aux conjectures de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble. Plus précisément, nous montrons que les statistiques de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble ont la distribution euler-mahonienne. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions une nouvelle classe de statistiques sur les mots : les statistiques "maj-inv". Ces dernières sont des interpolations graphiques des célèbres statistiques "indice majeur" et "nombre d'inversions". Dans la troisième partie, nous montrons que la distribution conjointe des statistiques"nombre de croisements" et "nombre d'imbrications" sur les partitions d'ensemble est symétrique. Nous étendrons aussi ce dernier résultat dans le cadre beaucoup plus large des 01-remplissages de "polyominoes lunaires".La quatrième et dernière partie est consacrée à l'étude combinatoire des q-polynômes de Laguerre d'Al-Salam-Chihara. Nous donnerons une interprétation combinatoire de la suite de moments et des coefficients de linéarisations de ces polynômes.

Une large classe de systèmes physiques peut être représentée à l'aide du modèle de Volterra. Il a notamment été montré que tout système non-linéaire, invariant dans le temps et à mémoire évanouissante peut être représenté par un modèle de Volterra de mémoire et d¤ordre finis. Ce modèle est donc particulièrement attrayant pour les besoins de modélisation et d'identification de systèmes non-linéaires. Un des atouts majeurs du modèle de Volterra est la linéarité par rapport à ses paramètres, c¤est à dire les coefficients de ses noyaux. Cette caractéristique permet d'étendre à ce modèle certains résultats établis pour l'identification des modèles linéaires. Il est à noter que le modèle de Volterra peut, par ailleurs, être vu comme une extension naturelle de la notion de réponse impulsionnelle des systèmes linéaires aux systèmes non-linéaires. Toutefois, certaines limitations sont à circonvenir: un nombre de paramètres qui peut être très élevé et un mauvais conditionnement de la matrice des moments de l'entrée intervenant dans l¤estimation du modèle au sens de l¤erreur quadratique moyenne minimale (EQMM). Il est à noter que ce mauvais conditionnement est aussi à l¤origine de la lenteur de convergence des algorithmes adaptatifs de type LMS (Least Mean Squares). Cette thèse traite principalement de ces deux questions. Les solutions apportées sont essentiellement basées sur la notion d'orthogonalité. D'une part, l'orthogonalité est envisagée vis à vis de la structure du modèle en développant les noyaux de Volterra sur une base orthogonale de fonctions rationnelles. Ce développement est d'autant plus parcimonieux que la base est bien choisie. Pour ce faire, nous avons développé de nouveaux outils d'optimisation des bases de Laguerre et BFOR (Base de Fonctions Orthonormales Rationnelles) pour la représentation des noyaux de Volterra. D'autre part, l'orthogonalité est envisagée en rapport avec les signaux d'entrée. En exploitant les propriétés statistiques de l¤entrée, des bases de polynômes orthogonaux multivariables ont été construites. Les paramètres du modèle de Volterra développé sur de telles bases sont alors estimés sans aucune inversion matricielle, ce qui simplifie significativement l¤estimation paramétrique au sens EQMM. L¤orthogonalisation des signaux d¤entrée a aussi été envisagée via une procédure de Gram-Schmidt. Dans un contexte adaptatif, il en résulte une accélération de la convergence des algorithmes de type LMS sans un surcoût de calcul excessif. Certains systèmes physiques peuvent être représentés à l¤aide d¤un modèle de Volterra simplifié, à faible complexité paramétrique, tel que le modèle de Hammerstein et celui de Wiener. C¤est le cas d¤un canal de communication représentant l'accès à un réseau sans fil via une fibre optique. Nous montrons notamment que les liaisons montante et descendante de ce canal peuvent respectivement être représentées par un modèle de Wiener et par un modèle de Hammerstein. Dans le cas mono-capteur, en utilisant un précodage de la séquence d'entrée, nous développons une solution permettant de réaliser l'estimation conjointe du canal de transmission et des symboles transmis de manière semiaveugle. Il est à noter que, dans le cas de la liaison montante, une configuration multi-capteurs peut aussi être envisagée. Pour une telle configuration, grâce à un précodage spécifique de la séquence d¤entrée, nous exploitons la diversité spatiale introduite par les capteurs et la diversité temporelle de sorte à obtenir une représentation tensorielle du signal reçu. En appliquant la technique de décomposition tensorielle dite PARAFAC, nous réalisons l'estimation conjointe du canal et des symboles émis de manière aveugle. Mots clés: Modélisation, Identification, Bases orthogonales, Base de Laguerre, Base de fonctions orthonormales rationnelles, Polynômes orthogonaux, Optimisation de pôles, Réduction de complexité, Egalisation, Modèle de Volterra, Modèle de Wiener, Modèle de Hammerstein, Décomposition PARAFAC.

Les systèmes d’imagerie microonde suscitent un grand intérêt actuellement dans le domaine de la recherche, notamment pour des applications de sécurité (scanners corporels, vision à travers les murs, etc). Plusieurs techniques d’acquisition déjà existantes permettent d’optimiser l’ouverture rayonnante afin de garantir une bonne résolution sur l’image finale. Cependant, le verrou actuel des systèmes d’imagerie est de pouvoir atteindre un temps de rafraîchissement temps réel et d’adresser un grand nombre d’antennes. La majorité des systèmes actuels peinent à concilier la rapidité et la résolution, tout en garantissant une bonne sensibilité. Les travaux réalisés dans ce manuscrit visent à proposer une alternative aux systèmes existants en se basant sur des techniques de codage analogique des signaux d’antennes. Globalement, l’objectif est de minimiser le nombre de récepteurs sans affecter les performances. Les architectures proposées sont essentiellement basées sur le concept du Radar MIMO (pour les systèmes actifs) et du radiomètre à synthèse d’ouverture interférométrique ou SAIR (pour les systèmes passifs). Ces deux systèmes permettent de réduire considérablement le nombre d’antennes sans affecter la résolution de l’image, ce qui permet une première levée de contraintes. En sus, des composants compressifs entièrement passifs sont utilisés pour réduire le nombre de récepteurs des systèmes Radar MIMO et SAIR. Ces composants à diversité spatiale et fréquentielle présentent des fonctions de transfert orthogonales. Utilisés en émission, ils permettent un adressage simultané et indépendant des antennes du réseau. En réception, ils permettent de coder les signaux reçus par les antennes vers un nombre de voies RF considérablement réduit. En appliquant des techniques de décodage appropriées, les signaux reçus par chacune des antennes peuvent être estimées afin d’appliquer les algorithmes dédiés à la reconstruction de l’image. Ces composants offrent l’avantage de réduire fortement le nombre de voies RF tout en conservant la même ouverture rayonnante et en autorisant une acquisition simultanée des signaux. Des démonstrateurs laboratoires ont été réalisés en bande S afin de montrer une preuve de faisabilité des alternatives proposées. Enfin, les résultats obtenus ont fait l'objet d'une demande de brevet et un prototype d'imageur radiométrique à ondes millimétriques est en cours de prototypage dans le cadre du projet ANR-PIXEL. / Microwave imaging systems are currently attracting great attention in the field of research, especially for security applications (body scanners, vision through walls, etc.). Several acquisition techniques already exist to optimize the antenna aperture in order to guarantee a good resolution on the final image. However, the current lock of imaging systems is to be able to achieve a real-time acquisition and address numerous antennas. Most of the current systems struggle to reconcile fast imaging and resolution while ensuring good sensitivity. The work carried out in this manuscript aims at proposing an alternative to the existing systems based on analog coding techniques of the antenna signals. Overall, the goal is to minimize the number of receivers without affecting performances. The proposed architectures are based essentially on the concept of the MIMO radar (for active systems) and the Synthetic Aperture Interferometric Radiometer or SAIR (for passive systems). These two systems allow a significant reduction of the number of antennas without affecting the resolution of the image, thus enabling a first lifting of constraints. In addition, passive compressive components are used to reduce the number of receivers in the MIMO Radar and the SAIR systems. These components with spatial and frequency diversity exhibit orthogonal transfer functions. Used in transmission, they allow simultaneous and independent addressing of each element of the antenna array. In reception, they allow the signals received by the antennas to be coded into a considerably reduced number of aggregate waveforms. By applying suitable decoding techniques, the signals received by each antenna can be estimated in order to apply imaging algorithms. These components offer the advantage of greatly reducing the number of RF channels while keeping the same number of antennas and allowing simultaneous acquisition of the signals. Laboratory demonstrators were carried out in S-band to demonstrate the feasibility of the proposed alternatives. Finally, the results obtained were the subject of a patent application and a prototype of a millimeter-wave radiometric imager is being developed in the framework of the ANR-PIXEL project.

Cette thèse porte sur l’étude des familles de polynômes orthogonaux et leurs liens avec les modèles exactement résolubles. Elle se décline en deux parties. Dans la première, on caractérise quatre nouvelles familles de polynômes orthogonaux à l’aide de processus limites appliqués à des familles appartenant aux schéma d’Askey et de Bannai-Ito. Des troncations singulières des polynômes de Wilson et d’Askey-Wilson sont considérées. Deux premières extensions bivariées de polynômes appartenant au tableau de Bannai-Ito sont également introduites. La deuxième partie présente quatre modèles exactement résolubles en lien avec la théorie des polynômes orthogonaux. Les propriétés de transfert parfait d’information quantique et de partage d’intrication d’un modèle de chaîne de spin XX dont les couplage sont liés aux polynômes de para-Racah sont examinées. Deux modèles superintégrables contenant des opérateurs de réflexions sont proposés. Leurs solutions sont obtenues et leurs symétries s’encodent respectivement dans l’algèbre de Bannai-Ito de rang deux et de rang arbitraire ce qui mène à conjecturer l’apparition des polynômes de Bannai-Ito multivariés comme coefficients de connection. Finalement, par la théorie des représentations de la superalgèbre osp(1|2), deux identités de convolution pour des familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito sont offertes. Une réalisation en termes d’opérateurs de Dunkl conduit à une fonction génératrice bilinéaire pour les polynômes de Big −1 Jacobi. / This thesis is concerned with the study of families of orthogonal polynomials and their connection to exactly solvable models. It comprises two parts. In the first one, four novel families of orthogonal polynomials are caracterized through limit processes applied to families belonging to the Askey and Bannai-Ito schemes. Singular truncations of the Wilson and Askey-Wilson polynomials are considered. The first two bivariate extensions of families of the Bannai-Ito tableau are also introduced. The second part presents four exactly solvable models connected to the theory of orthogonal polynomials. The perfect transfer of quantum information and entanglement generation properties of an XX spin chain model whose couplings are linked to the para-Racah polynomials are examined. Two superintegrable models containing reflexion operators are proposed. Their solutions are obtained and their symmetries are encoded respectively in the rank two and arbitrary rank Bannai-Ito algebra which leads to conjecture the apparition of multivariate Bannai-Ito polynomials as overlaps. Finally, via the representation theory of the osp(1|2) Lie superalgebra, two convolution identities for families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito tableau are offered. Realizations in terms of Dunkl operators lead to a bilinear generating function for the Big −1 Jacobi polynomials.

Aujourd’hui, les systèmes MSPSR (Multi-Static Primary Surveillance Radar) passifs se sont installés de manière durable dans le paysage de la surveillance aérienne [1]. L’intérêt que suscitent ces nouveaux systèmes provient du fait qu’en comparaison aux radars mono-statiques utilisés actuellement, les systèmes MSPSR reposent sur une distribution spatiale d’émetteurs et de récepteurs offrant des avantages en termes de fiabilité (redondance), de coûts (absence de joints tournants et émetteurs moins puissants) et de performances (diversité spatiale). Toutefois, le défaut majeur du MSPSR passif réside en l’absence de formes d’ondes dédiées due à l’exploitation d’émetteurs d’opportunités tels que les émetteurs de radio FM (Frequency Modulation) et/ou de DVB-T (Digital Video Broadcasting-Terrestrial) [2]. Afin de pallier à ce défaut, il est envisagé d’utiliser des émetteurs dédiés permettant l’emploi de formes d’ondes optimisées pour une application radar, on parle alors de MSPSR actif. Cette thèse se place dans ce cadre et a pour objectif d’étudier et de définir la ou les formes d’ondes ainsi que les traitements associés permettant d’atteindre de meilleurs performances : une meilleure flexibilité sur la disposition du système (positionnement des émetteurs libres), une continuité de service (non dépendance d’un système tiers) et de meilleurs performances radars (e.g. en terme de précision des mesures, détections, …). Dans ce but, cette thèse étudie : - Les critères de sélection des codes : comportement des fonctions d’ambiguïtés, PAPR (Peak to Average Power Ratio), efficacité spectrale, etc... ; - Les formes d’ondes utilisées en télécommunication (scrambling code, OFDM) afin d’identifier leur possible réemploi pour une application radar ; - L’utilisation d’algorithmes cycliques pour générer des familles de séquences adaptées à notre problème ; - Une approche basée sur une descente de gradient afin de générer des familles de codes de manière plus efficiente ; - Et l’évaluation des performances de ces différents algorithmes à travers l’établissement d’une borne supérieure sur le niveau maximum des lobes secondaires et à travers le dépouillement des données enregistrées suite à des campagnes d’essais / Nowadays, MSPSR (Multi-Static Primary Surveillance Radar) systems are sustainably settled in air surveillance program [1]. Compared to mono-static radar currently in use, an MSPSR system is based on a sparse network of transmitters (Tx) and receivers (Rx) interconnected to a Central Unit and offers advantages in terms of reliability, cost and performance.Two kinds of MSPSR systems exist: the Passive form and the Active one. While the Passive MSPSR uses transmitters of opportunity such as radio Frequency Modulation (FM) transmitters and/or Digital Video Broadcasting-Terrestrial (DVB-T) transmitters [2], the Active MSPSR uses dedicated transmitters, which emit a waveform that is controlled and designed for a radar application. Each receiver processes the signal coming from all transmitters and reflected on the targets; and the Central Unit restores the target location by intersecting “ellipsoids” from all (transmitter, receiver) pairs. Compared to passive MSPSR, the main advantages of the active MSPSR are the use of dedicated waveforms that allow reaching better performances (like a better association of the transmitters’ contributions at the receiver level); more flexibility in the deployment of transmitters and receivers station (in order to meet the requirements in localisation accuracy and in horizontal and altitude coverages); and the guarantee of having a service continuity. On this purpose, this thesis analyses the differents codes criteria such as the ambiguity function behaviour, the PAPR (Peak to Average Power Ratio), the spectrum efficiency, etc... . Then, in order to find dedicated waveforms for MSPSR systems, one solution is to find easily-constructed families of sequences. Thus building on the works carried out by the Telecommunication field for solving multi-user issues, this document investigates the application of spreading codes and OFDM signals in MSPSR concept. Besides, another solution is to directly generate a set of sequences. Based on cyclic algorithms in [3] we derive a new algorithm that allows to optimize sets of sequences. Similarly, using a gradient descent approach, we develop a more efficient algorithm than the cyclic one. Finally, in order to evaluate the performances of the different algorithms, this thesis generalizes the Levenshtein Bound, establishes new lower bounds on the PSLR (Peak Sidelobe Level Ratio) in mismatched filter case, and studies real data recorded during some trials

Ce mémoire est composé de deux articles qui ont pour but commun de lever le voile et de compléter le schéma d’Askey des q–polynômes orthogonaux dans la limite q = −1. L’objectif est donc de trouver toutes les familles de polynômes orthogonaux dans la limite −1, de caractériser ces familles et de les connecter aux autres familles de polynômes orthogonaux −1 déjà introduites. Dans le premier article, une méthode basée sur la prise de limites dans les relations de récurrence est présentée. En utilisant cette méthode, plusieurs nouvelles familles de polynômes orthogonaux sur des intervals continus sont introduites et un schéma est construit reliant toutes ces familles de polynômes −1. Dans le second article, un ensemble de polynômes, orthogonaux sur l’agencement de quatre grilles linéaires, nommé les polynômes de para-Bannai-Ito est introduit. Cette famille de polynômes complète ainsi la liste des parapolynômes. / This master thesis contains two articles with the common goal of unveiling and completing the Askey scheme of q–orthogonal polynomials in the q = −1 limit. The main objective is to find and characterize new families of -1 orthogonal polynomials and connect them to other already known families. In the first article, a method based on applying limits in recurrence relations is presented. This method is used to find many new families of polynomials orthogonal with respect to continuous measure. A −1 scheme containing them is constructed and a compendium containing the properties of all such families is included. In the second article, a new set of polynomials named the para–Bannai–Ito polynomials is introduced. This new set, orthogonal on a linear quadri–lattice, completes the list of parapolynomials, but it is also a step toward the finalization of the -1 scheme of polynomials orthogonal on finite grids.

Cette thèse regroupe plusieurs travaux de combinatoire énumérative sur les permutations et permutations d'ensemble. Elle comporte 4 parties.Dans la première partie, nous répondons aux conjectures de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble. Plus précisément, nous montrons que les statistiques de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble ont la distribution euler-mahonienne. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions une nouvelle classe de statistiques sur les mots : les statistiques "maj-inv". Ces dernières sont des interpolations graphiques des célèbres statistiques "indice majeur" et "nombre d'inversions". Dans la troisième partie, nous montrons que la distribution conjointe des statistiques"nombre de croisements" et "nombre d'imbrications" sur les partitions d'ensemble est symétrique. Nous étendrons aussi ce dernier résultat dans le cadre beaucoup plus large des 01-remplissages de "polyominoes lunaires".La quatrième et dernière partie est consacrée à l'étude combinatoire des q-polynômes de Laguerre d'Al-Salam-Chihara. Nous donnerons une interprétation combinatoire de la suite de moments et des coefficients de linéarisations de ces polynômes. / This thesis consists of four chapters, each on a different topic in enumerative combinatorics, all related in some way to the enumeration of permutations or set partitions. In the first chapter, we prove and generalize Steingrimsson's conjectures on Euler-Mahonian statistics on ordered set partitions. In the second chapter, we introduce and study a new class of statistics on words: the "maj-inv" statistics. These are graphical interpolation of the well-known "major index" and "inversion number".In the third chapter, we show that the joint distribution of the numbers of crossings and nestings on set partitions is symmetric. We also put this result in the larger context of enumeration of increasing and decreasing chains in 01-fillings of moon polyominoes.In the last chapter, we decribe various aspects of the Al-Salam-Chihara q-Laguerre polynomials. These include combinatorial descriptions of the polynomials, the moments, the orthogonality relation and a combinatorial interpretation of the linearization coefficients.

Ce mémoire concerne la construction et l'analyse d'estimateurs robustes pour le calcul numérique des dérivés de signaux bruités et des paramètres de signaux sinusoïdaux bruités. Ces estimateurs, originalement introduits par Fliess, Mboup et Sira Ramirez, sont actuellement étudiés au sein de l'équipe projet NON-A de l'INRIA Lille Nord Europe. Pour une classe d'entre eux, nous les obtenons à partir de la réécriture dans le domaine opérationnel de Laplace des équations différentielles linéaires des signaux analysés. Par des manipulations algébriques simples dans l'anneau R(s)[d/ds] des polynômes différentiels en d/ds à coefficients rationnels en la variable opérationnelle s, nous montrons que ces estimateurs sont non-asymptotiques et que les estimations numériques obtenues, même en présence de bruits, sont robustes pour un faible nombre d'échantillons des signaux. Nous montrons, de plus, que ces propriétés sont vérifiées pour une large classe de type de bruits. Ces estimateurs exprimés dans le domaine temporel s'écrivent en général via des fractions d'intégrales itérées des signaux analysés. Dans la première partie du mémoire, nous étudions des familles d'estimateurs de dérivées obtenus par ces méthodes algébriques. Nous montrons que pour une classe d'entre eux, il est possible de les formuler directement en tronquant une série orthogonale de polynômes de Jacobi. Cette considération nous permet alors d'étendre à IR le domaine de définition des paramètres de ces estimateurs. Nous analysons ensuite l'influence de ces paramètres étendus sur l'erreur de troncature, qui produit un retard d'estimation dans le cas causal, puis sur l'erreur due aux bruits, considérés comme des processus stochastiques, et enfin sur l'erreur numérique de discrétisation des intégrales. Ainsi, nous montrons comment réduire le retard d'estimation et l'effet du aux bruits. Une validation de cette approche est réalisée par la construction d'un observateur non asymptotique de variables d'état d'un système non linéaire. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous construisons par cette approche algébrique des estimateurs des paramètres d'un signal sinusoïdal bruité dont l'amplitude varie avec le temps. Nous montrons que les méthodes classiques de fonctions modulatrices sont un cas particulier de cette approche. Nous étudions ensuite l'influence des paramètres algébriques sur l'erreur d'estimation due au bruit et l'erreur numérique d'intégration. Des majorations de ces erreurs sont données pour une classe d'estimateurs. Finalement, une comparaison entre ces estimateurs et la méthode classique de détection synchrone est réalisée pour démontrer l'efficacité de notre approche sur ce type de signaux.

Dans ce mémoire, nous proposons une méthode permettant de modéliser, de façon globale, tout type de mouvement par des combinaisons linéaires de polynômes orthogonaux. Pour cela, nous projetons chaque champ de déplacement représentant le mouvement étudié sur une base orthogonale composée des polynômes de Legendre. Nous obtenons alors une expression polynomiale du mouvement considéré. Une modélisation d'ordre faible permet d'interpréter physiquement le mouvement dominant de séquences d'images. Cette caractéristique trouve un intérêt particulier dans des applications telles que la vidéo-surveillance, l'indexation ou l'étude du comportement. Nous montrons également que notre méthode permet de modéliser des mouvements complexes tels que des écoulements fluides. La représentation du mouvement sous forme polynomiale, les faibles temps de calcul ainsi que les taux de compression élevés sont alors des atouts importants pour traiter ce type de données.

No description available.